2024年山西省晋城市高考数学二模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年山西省晋城市高考数学二模试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足(4−3i)z=1+2i，则|z|=( )
A. 55B. 15C. 25D. 2 55
2.已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为( )
A. 6 2πB. 16 2π3C. 6 3πD. 16 3π3
3.已知向量a和b满足|a|=3，|b|=2，|a+b|= 7，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. −13aB. −aC. 13aD. a
4.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2+8x+7=0相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A. x29−y27=1B. 4x29−4y27=1C. 4x27−4y29=1D. x27−y29=1
5.将函数f(x)=2sin(3x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0,φ)上恰有两个零点，则φ的取值范围是( )
A. [5π12,3π4)B. [3π4,13π12)C. (5π12,3π4]D. (3π4,13π12]
6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总共有( )
A. 360种B. 316种C. 288种D. 216种
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15>0，S16<0，则a2a1的取值范围是( )
A. (67,78)B. (67,1315)
C. (−∞,67)∪(78,+∞)D. (−∞,67)∪(1315,+∞)
8.已知正方形ABCD的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则|PB|2+|PC|2+|PD|2最小值为( )
A. 18−8 2B. 18−8 3C. 19−8 3D. 19−8 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数(每穗颖花数)、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下：
则下列说法正确的是( )
A. 甲种水稻产量的极差为70
B. 乙种水稻产量的中位数为240
C. 甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数
D. 甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差
10.已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的x，y∈R，都有f(xy)=xf(y)+yf(x)，若f(2)=2，则下列说法正确的是( )
A. f(1)=0B. f(x)的图象关于y轴对称
C. i=12024f(2i)=2023×22025+2D. i=12024f(2i)=2024×22026+2
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是侧面ADD1A1内的一点，点E是线段CC1上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 当点P是线段A1D的中点时，存在点E，使得A1E⊥平面PB1D1
B. 当点E为线段CC1的中点时，过点A，E，D1的平面截该正方体所得的截面的面积为94
C. 点E到直线BD1的距离的最小值为 2
D. 当点E为棱CC1的中点且PE=2 2时，则点P的轨迹长度为2π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x∈N|13<3x+1<27}，B={x|x2−3x+m=0}，若1∈A∩B，则A∪B的子集的个数为______.
13.已知tanα=2tanβ，sin(α+β)=14，则sin(β−α)=______.
14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于A，B两点，且|AF1|=|AB|，若△OAF1的面积为 36b2，其中O为坐标原点，则|AB||F1F2|的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，csinB+C2= 54bsin2C+ 52csinCcsB.
(1)求sinA的值；
(2)如图，a=6 5，点D为边AC上一点，且2DC=5DB，∠ABD=π2，求△ABC的面积.
16.(本小题15分)
长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7−8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到如表2×2列联表：
(1)试根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
17.(本小题15分)
如图1，在△ABC中，AC=BC=4，AB=4 2，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且DE⊥AB，将△ADE沿DE翻折到△PDE的位置，使得PE⊥BD，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点.
(1)若BF=2PF，求证：CF//平面PDE；
(2)若直线CF与平面PBD所成角的正弦值为4 3857，求线段BF的长.
18.(本小题17分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线与圆O：x2+y2=1相切.
(1)求C的方程；
(2)设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是△PAB的内切圆.
①若|AB|=2 5，求点P的横坐标；
②求△PAB面积的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x−a)ex+x+a(a∈R).
(1)若a=4，求f(x)的图象在x=0处的切线方程；
(2)若f(x)≥0对于任意的x∈[0,+∞)恒成立，求a的取值范围；
(3)若数列{an}满足a1=1且an+1=2anan+2(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn+13答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意，z=1+2i4−3i，则|z|=|1+2i4−3i|=|1+2i||4−3i|= 1+4 16+9= 55.
故选：A.
化简复数z，根据模长的性质求解．
本题考查复数的模长，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，
则有πrl=12π，2πrl=2π3，解得r=2，l=6，
所以此圆锥的高h= l2−r2=4 2，
所以此圆锥的体积V=13π×22×4 2=16 2π3.
故选：B.
根据题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆锥的结构特征可得r、l的值，进而求出圆锥的高，进而计算可得答案．
本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：设a与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
因为|a+b|= 7，
所以|a|2+2a⋅b+|b|2=7，
又|a|=3，|b|=2，所以9+2a⋅b+4=7，解得a⋅b=−3，
则csθ=a⋅b|a||b|=−33×2=−12，
所以向量b在向量a上的投影向量为|b|csθ⋅a|a|=−13a.
故选：A.
根据已知条件，将|a+b|= 7同时平方，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：圆C：x2+y2+8x+7=0，整理为(x+4)2+y2=9，圆心(−4,0)，半径r=3，双曲线的渐近线方程bx±ay=0，
由题意可知，|−4b| a2+b2=4bc=3c=4a2+b2=c2，解得：b2=9，c2=16，a2=7，
所以双曲线的方程为x27−y29=1.
故选：D.
根据条件转化为关于a，b，c的方程组，即可求解．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得，g(x)=2sin(3x+π4−3φ)，
当0因为g(x)在(0,φ)上恰有两个零点，
所以−2π≤π4−3φ<−π，
解得，5π12<φ≤3π4.
故选：C.
结合三角函数图象的平移先求出g(x)，然后结合正弦函数零点存在条件即可求解．
本题主要考查了三角函数图象的平移及函数零点的应用，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
若四人中，没有人选择“乔家大院”线路，有C42A43=144种报名情况，
若四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，有C41×C42×A32=144种报名情况，
所以他们报名的情况总共有144+144=288种．
故选：C.
根据题意，按有没有人选择“乔家大院”线路，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：等差数列{an}中，S15=15(a1+a15)2=15a8>0，解得a8>0，
又因为S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)<0，
所以a8+a9<0，所以a9<−a8<0.
设数列{an}的公差为d，则d=a9−a8<0，所以a1>0.
由a8>0a8+a9<0，得a1+7d>02a1+15d<0，解得−17a1又因为a1>0，所以−17所以a2a1=a1+da1=1+da1∈(67,1315)，
即a2a1的取值范围是(67,1315).
故选：B.
根据等差数列的前n项和公式，结合题意得出a1>0，且a8>0a8+a9<0，由此求出da1的取值范围，即可求出a2a1的取值范围．
本题考查了等差数列的前n项和公式应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
作出图像如下：
设P(x,y)，所以x2+y2=1，又B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，
所以|PB|2+|PC|2+|PD|2=(x−2)2+y2+(x−2)2+(y−2)2+x2+(y−2)2
=19−8(x+y)，
令x+y=t，即x+y−t=0，所以直线x+y−t=0与圆x2+y2=1有公共点，
即圆心到直线的距离d≤r，
所以|t| 1+1≤1，
解得− 2≤t≤ 2，
所以|PB|2+|PC|2+|PD|2最小值为19−8 2.
故选：D.
建立直角坐标系，求出点P的轨迹方程，求出|PB|2+|PC|2+|PD|2=19−8(x+y)，再结合几何意义即可求解．
本题考查两点间距离公式、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，甲种水稻产量的极差为270−200=70，故A选项正确；
对于选项B，乙种水稻产量从小到大排列为210，220，240，250，280，所以乙种水稻产量的中位数为240，故选项B正确；
对于选项C，甲种水稻产量的平均数为250+240+240+200+2705=240，乙种水稻产量的平均数为250+210+280+240+2205=240，
所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数，故C选项错误；
对于选项D，甲种水稻产量的方差为15×[(250−240)2+(240−240)2+(240−240)2+(200−240)2+(270−240)2]=520，
乙种水稻产量的方差为15×[(250−240)2+(210−240)2+(280−240)2+(240−240)2+(220−240)2]=600，
所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D选项正确．
故选：ABD.
利用极差、中位数、平均数和方差的定义求解．
本题主要考查了极差、中位数、平均数和方差的定义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：因为f(xy)=xf(y)+yf(x)，且函数f(x)的定义域为R，
对于选项A：令x=1，y=2，可得f(2)=f(2)+2f(1)，解得f(1)=0，故A正确；
对于选项B：令x=y=−1，可得f(1)=−f(−1)−f(−1)，解得f(−1)=0，
令x=2，y=−1，可得f(−2)=xf(−1)−f(2)=−f(2)=−2，
所以f(x)的图象不关于 y轴对称，故B错误；
对于选项CD：若x，y>0，可得f(xy)xy=f(x)x+f(y)y，
令x=2i，y=2，i∈N*，可得f(2i+1)2i+1=f(2i)2i+f(2)2=f(2i)2i+1，
可知数列{f(2i)2i}是以首项f(2)2=1，公差为1的等差数列，
可得f(2i)2i=1+i−1=i，
则f(2i)=i⋅2i=(i−1)⋅2i+1−(i−2)⋅2i，
所以i=12024f(2i)=[0−(−2)]+(23−0)+...+(2023×22025−2022×22024)=2023×22025+2，
故C正确，D错误．
故选：AC.
对于A：令x=1，y=2代入运算即可判断；
对于B：令x=y=−1解得f(−1)=0，令x=2，y=−1解得f(−2)=2，即可判断；
对于CD：若x，y>0，可得f(xy)xy=f(x)x+f(y)y，分析可知{f(2i)2i}是以首项f(2)2=1，公差为1的等差数列，结合等差数列以及裂项相消法分析求解．
本题主要考查抽象函数的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对A选项，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建系如图：
则根据题意可得D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，
当点P是线段A1D的中点时，P(1,0,1)，
设E(0,2,a)(0≤a≤2)，
所以PD1=(−1,0,1)，PB1=(1,2,1)，A1E=(−2,2,a−2)，
假设存在点E，使得A1E⊥平面PB1D1，
则PD1⋅A1E=2+a−2=0，PB1⋅A1E=−2+4+a−2=0，
解得a=0，
所以存在点E，使得A1E⊥平面PB1D1，此时点E与点C重合，故A正确；
对B选项，取BC的中点F，连接BC1，EF，FA，AD1，D1E，如图所示．
则EF//BC1，AD1//BC1，所以AD1//EF，
又易得AD1=2 2，EF= 2，AF=D1E= 5，
所以梯形AD1EF的面积为12×( 2+2 2)× ( 5)2−(2 2− 22)2=92，故B错误；
对C选项，如图，取A1A的中点Q，当E为C1C的中点时，
易知BE//QD1，且BE=ED1=D1Q=QB= 5，∴四边形D1QBE为菱形，
∴QE⊥BD1，又QE=AC=2 2，
∴点E到直线BD1的距离的最小值为QE2= 2，故C选项正确；
对D选项，取DD1的中点G，连接EG，EP，GP，
易得GE⊥平面AA1D1D，又GP⊂平面AA1D1D，
所以GE⊥GP，所以GP= PE2−GE2= (2 2)2−22=2，
则点P在侧面AA1D1D内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，
分别交AD，A1D1于P2，P1，
则∠P1GD1=∠P2GD=π3，则∠P1GP2=π3，
所以点P的轨迹长度为π3×2=2π3，故D选项正确．
故选：ACD.
对A选项：建系，利用向量法求解即可；对B选项：作出截面，利用梯形的面积公式计算即可；对C选项：作出异面直线的公垂线段，即可求解；对D选项，根据弧长公式即可求解．
本题考查立体几何的综合应用，线面垂直的证明，正方体的截面问题，距离最值的求解，动点轨迹问题，坐标法的应用，属难题．
12.【答案】16
【解析】解：因为A={x∈N|13<3x+1<27}={−1,0,1}，B={x|x2−3x+m=0}，
若1∈A∩B，则1∈B，
所以1−3+m=0，即m=2，B={1,2}，
A∪B={−1,0,1,2}，子集个数为24=16.
故答案为：16.
先求出集合A，然后结合集合的交集运算及元素与集合关系先求出m，进而可求B，结合集合的并集及集合子集的个数规律即可求解．
本题主要考查了集合的交集及并集运算，还考查了集合子集个数的判断，属于基础题．
13.【答案】−112
【解析】解：因为tanα=2tanβ，
即sinαcsα=2sinβcsβ，
所以sinαcsβ=2sinβcsα，①
因为sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=14，②
由①②可得：csαsinβ=112，sinαcsβ=16，
所以sin(β−α)=sinβcsα−csβsinα=112−16=−112.
故答案为：−112.
由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
14.【答案】2 33
【解析】解：∵在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于A，B两点，且|AF1|=|AB|，△OAF1的面积为 36b2，
∴S△AF1F2=2× 36b2= 33b2，
在△AF1F2中，设∠F1AF2=θ，θ∈(0,π)，
由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1||AF2|csθ，
∴4c2=(|AF1|+|AF2|)2−2|AF1||AF2|−2|AF1||AF2|csθ=4a2+(−2−2csθ)|AF1||AF2|，
∴(2+2csθ)|AF1||AF2|=4a2−4c2=4b2，
∴△F1AF2的面积S=12|AF1||AF2|sinθ=sinθ1+csθb2= 33b2，
∴ 3sinθ−csθ=1，
即sin(θ−π6)=12，∵θ−π6∈(−π6,5π6)，
∴θ=π3，
又∵|AF1|=|AB|，
∴△AF1B是等边三角形，即|AF1|=|BF1|=|AB|，
由椭圆的定义可得|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，故|AF1|=43a，
则|AF2|=23a，|BF2|=2a3，∴AB⊥F1F2，
则|AB||F1F2|=2|AF2||F1F2|=2tan∠AF1F2=2 33.
根据题意，设∠F1AF2=θ，再利用余弦定理结合椭圆的性质可解．
本题考查椭圆的性质，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵csinB+C2= 54bsin2C+ 52csinCcsB，
由正弦定理得
sinCsinB+C2= 54sinBsin2C+ 52sin2CcsB，
∴sinCsinB+C2= 52sinBsinCcsC+ 52sin2CcsB，
∴sinCsinB+C2= 52sinC(sinBcsC+sinCcsB)= 52sinCsin(B+C)，
又sinC≠0，∴sinB+C2= 52sin(B+C)，∴sinπ−A2= 52sin(π−A)，
∴csA2= 52sinA= 5sinA2csA2，
又A2∈(0,π2)，csA2≠0，∴sinA2= 55，csA2= 1−sin2A2=2 55，
∴sinA=2sinA2csA2=45.
(2)设DB=2x(x>0)，∵2DC=5DB，
∴DC=5x，cs∠BDC=cs(A+π2)=−sinA=−45.
在△BDC中，由余弦定理得BC=BD2+CD2−2BD⋅CDcs∠BDC=4x2+25x2−2⋅2x⋅5x⋅(−45)=(6 5)2，
解得x=2，所以BD=4，DC=10，又sinA=DBDA=4DA=45，∴DA=5，AC=DA+DC=15，
又AB2+BD2=AD2，∴AB=3，∴△ABC的面积S=12AB⋅ACsinA=12×3×15×45=18.
【解析】(1)根据正弦定理，两角和差公式，二倍角公式即可求值；(2)根据余弦定理，三角函数比值即可确定边长，确定三角形面积．
本题考查正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，属于中档题．
16.【答案】解：(1)零假设为H0：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联．……………………1分
根据列联表中的数据，经计算得到χ2=400×(120×100−80×100)2200×200×220×180=40099≈4.040>3.841=x0.050，………3分
根据小概率值α=0.050的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050.………………………………………4分
(2)从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，
其中男生的人数为：9×8080+100=4人，女生人数为：9×10080+100=5人，………………………………5分
X的所有可能取值为0，1，2，3，…………………6分
所以P(X=0)=C43C93=121，
P(X=1)=C42C51C93=514，
P(X=2)=C41C52C93=1021，P(X=3)=C53C93=542，
所以X的分布列为：
………………………………………………………………………………………………………………………10分
(3)由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率p=1120，
所以Y∼B(12,1120)，所以E(Y)=12×1120=335.………………15分
【解析】(1)根据表中数据计算χ2的值，与临界值比较，解求得结论；
(2)由分层抽样可得抽取的9人中男生人数和女生人数，确定X的所有可得取值，求出对应的概率，从而可得分布列；
(3)由二项分布的期望公式求解即可．
本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：过点C作CH⊥ED，垂足为H，
在PE上取一点M，使得PM=13PE，连接HM，FM，
如图所示．
∵PM=13PE，PF=13PB，
∴FM//EB且FM=13EB，
∵D是AC的中点，且DE⊥AB，
∴CH//EB且CH=13EB，
∴CH//FM且CH=FM，
∴四边形CFMH是平行四边形，
∴CF//HM，
又CF⊄平面PDE，HM⊂平面PDE，
∴CF//平面PDE.
(2)解：∵PE⊥ED，PE⊥BD，ED∩BD=D，ED，BD⊂平面BCDE，
∴PE⊥平面BCDE，
又BE⊂平面BCDE，
∴PE⊥BE，PB= PE2+BE2=2 5.
又EB⊥ED，
∴EB，ED，EP两两垂直，
故以E为坐标原点，EB，ED，EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图：
∴B(3 2,0,0)，D(0, 2,0)，P(0,0, 2)，C( 2,2 2,0)，
设平面PBD的一个法向量n=(x,y,z)，
又BP=(−3 2,0, 2)，BD=(−3 2, 2,0)，
∴n⋅BP=0n⋅BD=0，即−3 2x+ 2z=0−3 2x+ 2y=0，
令x=1，则y=3，z=3，
∴平面PBD的一个法向量n=(1,3,3)，
设BF=λBP=(−3 2λ,0, 2λ)(0≤λ≤1)，
∴CF=CB+BF=(2 2,−2 2,0)+(−3 2λ,0, 2λ)
=(2 2−3 2λ,−2 2, 2λ)，
设直线CF与平面PBD所成角的大小为θ，
∴sinθ=|cs⟨n,CF⟩|=|n⋅CF||n||CF|
=4 2 1+9+9× (2 2−3 2λ)2+(−2 2)2+( 2λ)2=4 3857，
解得λ=12或λ=710，
∴BF=12BP= 5或BF=710BP=7 55.
【解析】(1)过点C作CH⊥ED，垂足为H，在PE上取一点M，使得PM=13PE，连接HM，FM，先证四边形CFMH是平行四边形，得出CF//HM，再利用先线面平行的判定定理即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBD的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查线面平行的判定以及向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)易知抛物线C的准线为x=−p2，
因为抛物线C的准线与圆O相切，
所以|−p2|=1，
解得p=2，
则C的方程为y2=4x；
(2)不妨设P(x0,y0)，A(−1,m)，B(−1,n)，
可得直线PA方程为y−m=y0−mx0+1(x+1)，
即(y0−m)x−(x0+1)y+(y0−m)+m(x0+1)=0，
因为圆O是△PAB的内切圆，
所以圆心O到直线PA的距离为1，
即|y0−m+m(x0+1)| (y0−m)2+(x0+1)2=1，
又x0>1，
整理得(x0−1)m2+2y0m−(x0+1)=0，
同理得(x0−1)n2+2y0n−(x0+1)=0，
所以m，n是关于t的方程(x0−1)t2+2y0t−(x0+1)=0的两个不同的根，
此时m+n=−2y0x0−1，mn=−(x0+1)x0−1，
所以|AB|2=(m−n)2=(m+n)2−4mn=4y02(x0−1)2+4(x0+1)x0−1，
因为点P是C上的一点，
所以y02=4x0，
此时|AB|= 16x0(x0−1)2+4(x0+1)x0−1=2 x02+4x0−1(x0−1)2，
①若|AB|=2 5，
解得x0=3或x0=12(舍去)，
则点P的横坐标为3；
②已知点P(x0,y0)到直线x=−1的距离d=x0+1，
则△PAB的面积S=12|AB|⋅d=12×2 x02+4x0−1(x0−1)2(x0+1)= (x0+1)2(x02+4x0−1)(x0−1)2，
不妨令t=x0−1，t>0，
则S= (t2+4t+4)(t2+6t+4)t2= t2+10t+40t+16t2+32，
因为t2+16t2≥2 t2⋅16t2=8，10t+40t≥2 10t⋅40t=40，
当且仅当t=2时，等号成立，
所以S≥ 8+40+32=4 5.
故△PAB面积的最小值为4 5.
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而即可求解；
(2)①设出P，A，B三点，得到直线PA的方程，利用点到直线的距离公式推出m，n是关于t的方程(x0−1)t2+2y0t−(x0+1)=0的两个不同的根，结合弦长公式再进行求解即可；
②结合①中所得信息，利用三角形面积公式和换元法进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】(1)解：若a=4，则f(x)=(x−4)ex+x+4，所以f′(x)=(x−4)ex+ex+1=(x−3)ex+1，
所以f′(0)=(0−3)e0+1=−2，f(0)=(0−4)e0+4=0，
所以f(x)的图象在x=0处的切线方程为y−0=−2(x−0)，即2x+y=0.
(2)解：f′(x)=(x−a)ex+ex+1=(x−a+1)ex+1，
令g(x)=f′(x)，所以g′(x)=(x−a+1)ex+ex=(x−a+2)ex，
当a−2≤0，即a≤2时，g′(x)≥0在x∈[0,+∞)上恒成立，
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，即f′(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以f′(x)≥f′(0)=2−a≥0，所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=0，符合题意；
当a−2>0，即a>2时，当x>a−2时，g′(x)>0，当0所以g(x)在(0,a−2)上单调递减，在(a−2,+∞)上单调递增，
即f′(x)在(0,a−2)上单调递减，在(a−2,+∞)上单调递增，
又f′(0)=2−a<0，f′(a)=(a−a+1)ea+1=ea+1>0，
所以存在x0∈(0,a)，使得f′(x0)=0，
当0所以f(x0)综上，a的取值范围是(−∞,2].
(3)证明：因为an+1=2anan+2(n∈N*)，所以1an+1=an+22an=1an+12，即1an+1−1an=12，
所以数列{1an}是公差为12的等差数列，
又1a1=1，所以1an=1+12(n−1)=n+12，所以an=2n+1.
由(2)知当x>0时，(x−2)ex+x+2>0，所以当n≥1，n∈N*时，[ln(1+2n)−2]eln(1+2n)+ln(1+2n)+2>0，即ln(1+2n)>2n+1.
所以Sn=21+1+22+1+23+1+…+2n−1+1+2n+1=ln(3×42×53×64×…×n+1n−1×n+2n)=ln(n+1)(n+2)2=ln[(n+1)(n+2)]−ln2，
所以Sn+13又−ln2+13<0，所以Sn+13【解析】(1)a=4时，利用导数求f(x)在x=0处的导数，计算f(0)，利用点斜式写出切线方程即可．
(2)求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，求函数f(x)在x∈[0,+∞)满足f(x)≥0恒成立，从而求出a的取值范围．
(3)由数列的递推公式得出数列{1an}是等差数列，由此求出通项公式，再利用(2)的结论，求解即可证明结论成立．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，也考查了不等式与数列的应用问题，是难题．甲(单位：kg)
250
240
240
200
270
乙(单位：kg)
250
210
280
240
220
喜欢
不喜欢
合计
男生
120
80
200
女生
100
100
200
合计
220
180
400
α
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
121
514
1021
542