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2024年上海市金山区高考数学二模试卷（含详细答案解析）
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这是一份2024年上海市金山区高考数学二模试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x216+y24=1的一个顶点，则p的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 8
2.下列说法不正确的是( )
A. 若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，则P(3B. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
C. 若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D. 对具有线性相关关系的变量x，y，且线性回归方程为y =0.3x−m，若样本点的中心为(m,2.8)，则实数m的值是−4
3.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则以下命题中正确的是( )
A. BM=EN
B. CD⊥MN
C. A、M、N三点共线
D. 直线BM与EN相交
4.设f(x)=x3−3x，有如下两个命题：
①函数y=f(x)的图像与圆x2+y2=1有且只有两个公共点；
②存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数y=f(x)的图像上.
则下列说法正确的是( )
A. ①正确，②正确B. ①正确，②不正确
C. ①不正确，②正确D. ①不正确，②不正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合M={1,3,5,7,9}，N={x|2x=8}，则M∩N=______.
6.已知向量a=(1,−3)，b=(m,1)，若a⊥b，则实数m的值为______.
7.函数y=lg22+x1−x的定义域是______.
8.已知复数z满足z+2z−=3−i，则z−的模为______.
9.设公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2024−S2022=6，则a2024=______.
10.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E−BCD的体积是__________.
11.设f(x)=x3+ax2+x(a∈R)，若y=f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为______.
12.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，给定的四点P1(4,−3)、P2(3,4)、P3(−4,3)、P4(−2,0)中恰有三个点在双曲线C上，则该双曲线C的离心率是______.
13.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如图所示列联表：
取显著性水平α=0.05，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则m(m≥40,m∈N)的最小值为______.(参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)；参考值：P(χ2≥3.841)≈0.05)
14.在(1+x)5(1+y)3的展开式中，记xmyn项的系数为f(m,n)，则f(3,0)+f(2,1)=______.
15.某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC、CD是救生栈道的一部分，其中BC=300m，CD=800m，B在A的北偏东30∘方向，C在A的正北方向，D在A的北偏西80∘方向，且∠B=90∘.若救生艇在A处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B−C−D，则最短距离为______m.(结果精确到1m)
16.已知平面向量a、b、c满足：|a|=|b|=1，a⋅c=b⋅c=1，则a⋅b+c2的最小值为______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数y=f(x)，记f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，0<φ<π，x∈R.
(1)若函数y=f(x)的最小正周期为π，当f(π6)=1时，求ω和φ的值；
(2)若ω=1，φ=π6，函数y=f2(x)−2f(x)−a有零点，求实数a的取值范围.
18.(本小题14分)
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120∘得到的，点G是DF的中点，点P在CE上，异面直线BP与AD所成的角是30∘.
(1)求证：AE⊥BP；
(2)若AB=3，AD=2，求二面角E−AG−C的大小.
19.(本小题14分)
有标号依次为1，2，…，n(n≥2,n∈N)的n个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n−1号盒子里取出2个球放入n号盒子为止.
(1)当n=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)设n号盒子中红球个数为随机变量Xn，求X3的分布及E[X3]，并猜想E[Xn]的值(无需证明此猜想).
20.(本小题18分)
已知椭圆Γ:x24+y23=1的右焦点为F，直线l与椭圆Γ交于不同的两点M(x1,y1)、N(x2,y2).
(1)证明：点M到右焦点F的距离为2−x12；
(2)设点Q(0,12)，当直线l的斜率为12，且QF与QM+QN平行时，求直线l的方程；
(3)当直线l与x轴不垂直，且△MNF的周长为4时，试判断直线l与圆C：x2+y2=3的位置关系，并证明你的结论.
21.(本小题18分)
已知函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域D.若存在常数a(a∈R)，使得对于任意的x1∈D，都存在x2∈D，满足f(x1)+g(x2)=a，则称函数y=g(x)是函数y=f(x)关于a的“S函数”.
(1)若f(x)=lnx，g(x)=ex，试判断函数y=g(x)是否是y=f(x)关于0的“S函数”，并说明理由；
(2)若函数y=f(x)与y=g(x)均存在最大值与最小值，且函数y=g(x)是y=f(x)关于a的“S函数”，y=f(x)又是y=g(x)关于a的“S函数”，证明：[f(x)]min+[g(x)]max=a；
(3)已知f(x)=|x−1|，g(x)= x，其定义域均为[0,t].给定正实数t，若存在唯一的a，使得y=g(x)是y=f(x)关于a的“S函数”，求t的所有可能值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(p2,0)，x216+y24=1中a=4，
∴p2=4，
∴p=8.
故选：D.
先求出抛物线的焦点坐标，再利用椭圆方程求出a，即可求出p的值．
本题主要考查了抛物线的焦点坐标，考查了椭圆的标准方程，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：对A：若随机变量X服从正态分布X(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，
则P(X>4)=1−P(X≤4)=0.3，
则P(34)=0.2，A正确；
对B：因为10×60%=6，所以第60百分位数为14+162=15，B错误；
对C：若线性相关系数|r|越接近1，
则两个变量的线性相关性越强，C正确；
对于D，样本点的中心为(x−,y−)，
所以x−=m，y−=2.8，
而对于回归直线方程y =b x+a ，
因为此时线性回归方程为y =0.3x−m，
所以b =0.3，2.8=0.3m−m，
所以m=−4，D正确．
故选：B.
利用正态分布的性质即可判断选项A，利用百分位数的定义即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D.
本题考查了正态分布、百分位数和线性回归方程的计算，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】解：对于A，取CD中点O，连接ON，OE，则ON//BC，且ON=12BC=12，OE= 32，
∵BC⊥平面CDE，∴ON⊥平面CDE，
∵OE⊂平面CDE，∴ON⊥OE，
∴EN= OE2+ON2=1，∴BM≠EN，故A错误；
对于B，以O为坐标原点，分别以OD，ON，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则C(−1,0,0)，D(1,0,0)，M(12,0, 32)，N(0,1,0)，
CD=(2,0,0)，MN=(−12,1,− 32)，
∵CD⋅MN=−1≠0，∴CD与MN不垂直，故B错误；
对于C，A(1,2,0)，AN=(−1,−1,0)，MN=(−12,1,− 32)，
∴A、M、N三点不共线，故C错误；
对于D，连接BD，则点N为BD中点，
∴E，N∈平面BDE，∴EN⊂平面BDE，
同理可得BM⊂平面BDE，
∵BM与EN平行，∴BM与EN相交，故D正确．
故选：D.
对于A，取CD中点O，连接ON，OE，则ON//BC，BC⊥平面CDE，从而ON⊥平面CDE，ON⊥OE，由此推导出BM≠EN；
对于B，以O为坐标原点，分别以OD，ON，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，推导出CD与MN不垂直；
对于C，推导出AN=(−1,−1,0)，MN=(−12,1,− 32)，从而A、M、N三点不共线；
对于D，连接BD，则点N为BD中点，E，N∈平面BDE，EN⊂平面BDE，同理可得BM⊂平面BDE，从而BM与EN相交．
本题考查线面垂直的判定与性质、空间直角坐标系、三点共线等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4.【答案】B
【解析】解：对于①：f(x)为奇函数，f′(x)=3x2−3，
当x∈(−1,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，且f(−1)=2，f(1)=−2，
则函数f(x)的图像与圆x2+y2=1有且只有两个公共点，故①正确；
对于②：根据对称性，假设正方形的中心在原点，
设OA直线方程为y=kx，直线OB的方程y=−1kx，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kxy=x3−3x，则x12=k+3，同理可得x22=3−1k，
由|OA|=|OB|得， 1+k2 k+3= 1+1k2 3−1k，即k4+3k3−3k+1=0，
所以(k2+2k−1)(k2+k−1)=0，
解得k=−1± 52或k=−1± 2，
所以不止一个正方形ABCD，其四个顶点都在函数y=f(x)的图像上，故②不正确．
故选：B.
对于①：根据题意可得f(x)为奇函数，求导分析单调性，又f(−1)=2，f(1)=−2，即可判断①是否正确；
对于②：根据对称性，假设正方形的中心在原点，设OA直线方程为y=kx，直线OB的方程y=−1kx，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，分别联立y=x3−3x，解得x1，x2，由|OA|=|OB|，解得k，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
5.【答案】{3}
【解析】解：∵M={1,3,5,7,9}，N={x|2x=8}={3}，
∴M∩N={3}.
故答案为：{3}.
求解指数方程化简B，再由交集运算的定义得答案．
本题考查交集及其运算，考查指数方程的解法，是基础题．
6.【答案】3
【解析】解：a=(1,−3)，b=(m,1)，a⊥b，
则1×m+(−3)×1=0，解得m=3.
故答案为：3.
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
7.【答案】(−2,1)
【解析】解：y=lg22+x1−x，
则2+x1−x>0，解得−2故函数y的定义域为(−2,1).
故答案为：(−2,1).
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
8.【答案】 2
【解析】解：设z=a+bi，a，b为实数，则z−=a−bi，
所以z+2z−=a+bi+2a−2bi=3a−bi=3−i，
所以a=1，b=1，
所以z=1+i，z−=1−i，则|z−|= 2.
故答案为： 2.
根据共轭复数和复数相等的概念求得z=1+i，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
9.【答案】4
【解析】解：因为公比为2的等比数列{an}中，S2024−S2022=a2023+a2024=a20242+a2024=6，
则a2024=4.
故答案为：4.
由已知结合等比数列的求和及等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
10.【答案】10
【解析】【分析】
推导出VABCD−A1B1C1D1=AB×BC×DD1=120，三棱锥E−BCD的体积：VE−BCD=13×S△BCD×CE=13×12×BC×DC×CE=112×AB×BC×DD1，由此能求出结果．
本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
【解答】
解：如图，
∵长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，
∴VABCD−A1B1C1D1=AB×BC×DD1=120，
∴三棱锥E−BCD的体积：
VE−BCD=13×S△BCD×CE
=13×12×BC×DC×CE
=112×AB×BC×DD1
=10.
故答案为：10.
11.【答案】y=x
【解析】解：∵f(x)=x3+ax2+x(a∈R)为奇函数，
∴f(−x)+f(x)=−x3+ax2−x+x3+ax2+x=2ax2=0恒成立，
则a=0，∴f(x)=x3+x，
∴f′(x)=3x2+1，得f′(0)=1，
又f(0)=0，∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
故答案为：y=x.
由函数奇偶性的定义求解a值，可得函数解析式，再求其导函数，可得函数在x=0处的导数值，求出f(0)的值，然后利用直线方程的斜截式得答案．
本题考查函数奇偶性性质的应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
12.【答案】 72
【解析】解：根据双曲线的性质可得P3(−4,3)，P1(4,−3)在双曲线上，则P2(3,4)一定不在双曲线上，则P4(−2,0)在双曲线上，
所以a=2,164−9b2=1，解得b2=3，所以c2=a2+b2=7，则c= 7，
所以e=ca= 72.
故答案为： 72.
先判断P3(−4,3)，P1(4,−3)在双曲线上，则P2(3,4)一定不在双曲线上，则P4(−2,0)在双曲线上，则可得a=2,164−9b2=1，求出b，c，再根据离心率公式计算即可．
本题考査了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题．
13.【答案】44
【解析】解：由题意可知，χ2=100×[m(m−30)−(50−m)(80−m)]280×20×50×50≥3.841，
整理得(100m−4000)2≥502×42×3.841，
解得m≥43.92或m≤36.08，
又因为m≥40，m∈N，
所以m的最小值为44.
故答案为：44.
由题意可知，χ2=100×[m(m−30)−(50−m)(80−m)]280×20×50×50≥3.841，求出m的范围，再结合m≥40，m∈N求解即可．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题．
14.【答案】40
【解析】解：根据(1+x)5的展开式Tr+1=C5r⋅xr(r=0,1,2,3,4,5)，
当r=3时，系数为C53=10；
根据(1+y)3的展开式Tk+1=C3kyk(k=0,1,2,3)，
当k=0时，系数为C30=1，
故f(3,0)=10，
同理f(2,1)=30；
故f(3,0)+f(2,1)=40.
故答案为：40.
直接利用二项式的展开式和组合数的运算求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15.【答案】475
【解析】解：作AE⊥CD交于E，
由题意可得∠B=90∘，∠CAB=30∘，BC=300m，
所以AB=BCtan30∘=300 33=300 3m，
AC=BCsin∠CAB=30012=600m，
在△ADC中，由正弦定理可得，CDsin∠ACD=ACsinD，
即800sin80∘=600sinD，
所以sinD=3sin80∘4，
所以cs∠EAD=3sin80∘4≈3×0.984=0.735，
所以sin∠EAD≈0.68，
所以cs∠CAE=cs(80∘−∠EAD)=cs80∘cs∠EAD+sin80∘sin∠EAD
≈0.17×0.735+0.98×0.68
=0.12495+0.6664=0.79135，
在直角△ACE中，AE=AC⋅cs∠CAE，
即AE=600×cs∠EAD≈600×0.79135=474.81≈475.
故答案为：475.
先在三角形ABC中求出AC，再利用正弦定理，在三角形ADC中求出sinD，进而转化到三角形ACE中求解即可．
本题考查解三角形的应用，属于中档题．
16.【答案】2 2−1
【解析】解：设a=OA，b=OB，c=OC，
由题意可知，a与c的夹角和b，c的夹角相等，设为α，
∵a⋅c=b⋅c=1，|a|=|b|=1，
∴|c|csα=OC⋅csα=OA=OB，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，
∴a⋅b+c2=cs2α+1cs2α=2cs2α−1+1cs2α≥2 2−1，
当且仅当2cs2α=1cs2α，即cs2α= 22时，取得等号．
故答案为：2 2−1.
由已知结合向量数量积的性质先表示a⋅b+c2，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为函数y=f(x)的最小正周期为π，
所以2πω=π，解得ω=2，
又因为当x=π6时，sin(π3+φ)=1，
所以π3+φ=2kπ+π2(k∈Z)，得φ=2kπ+π6(k∈Z)，
因为0<φ<π，所以取k=0，
得φ=π6，
所以ω=2，φ=π6；
(2)当ω=1，φ=π6时，f(x)=sin(x+π6)，x∈R，
设t=f(x)=sin(x+π6)∈[−1,1].
由题意得，t2−2t−a=0在t∈[−1,1]有解．
即a=t2−2t，
又因为g(t)=t2−2t在t∈[−1,1]上单调递减，
所以a∈[−1,3].
【解析】(1)由周期公式求解ω，由f(π6)=1，求解φ；
(2)设t=f(x)=sin(x+π6)∈[−1,1]，将问题转化为a=t2−2t，在t∈[−1,1]有解，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了三角函数的性质、二次函数的性质及转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：因为AD//BC，所以∠CBP是直线BP与AD所成角，为30∘，
所以∠EBP=120∘−30∘=90∘，得BP⊥BE，
又因为AB⊥BP，且BE∩AB=B，
所以BP⊥平面ABEF，
由AE⊂平面ABEF，得AE⊥BP.
(2)解法一：取EC的中点H，连接EH，GH，CH.
因为∠EBC=120∘，
所以四边形BEHC为菱形，
所以AE=GE=AC=GC= 32+22= 13.
取AG中点M，连接EM，CM，EC.
则EM⊥AG，CM⊥AG，
所以∠EMC为所求二面角的平面角．
又AM=1，所以EM=CM= 13−1=2 3.
在△BEC中，由于∠EBC=120∘，
由余弦定理得EC2=22+22−2×2×2×cs120∘=12，
所以EC=2 3，因此△EMC为等边三角形，
故所求的角为60∘.
解法二：以B为坐标原点，分别以BE、BP、BA的方向为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1, 3,3)，C(−1, 3,0)，
故AE=(2,0,−3)，AG=(1, 3,0)，CG=(2,0,3)，
设n1=(u1,v1,w1)是平面ACG的一个法向量．
由n1⋅AG=0n1⋅CG=0，可得u1+ 3v1=02u1+3w1=0，
取w1=−2，可得平面ACG的一个法向量n1=(3,− 3,−2).
设n2=(u2,v2,w2)是平面AEG的一个法向量．
由n2⋅AE=0n2⋅AG=0，可得2u2−3w2=0u2+ 3v2=0，
取w2=2，可得平面AEG的一个法向量n2=(3,− 3,2).
所以cs=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=12.
因此所求的角为60∘.
【解析】(1)证明BP⊥BE，AB⊥BP，得出BP⊥平面ABEF，即可证明AE⊥BP.
(2)解法一：取EC的中点H，连接EH，GH，CH，取AG的中点M，连接EM，CM，EC，判断∠EMC为所求二面角的平面角，利用余弦定理求出EC，从而求出二面角的大小．
解法二：建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面一个法向量，利用法向量求二面角的大小．
本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了二面角的大小计算问题，是中档题．
19.【答案】解：(1)由题可知，要使2号盒子里有2个红球，则从1号盒子里取出2个球为1个红球，1个白球，
所以2号盒子里有2个红球的概率为P=C31×C31C62=35；
(2)由题可知X3可取1，2，3，
则P(X3=1)=C32C62×C32C42+C31C31C62×C22C42=15，P(X3=3)=C32C62×C32C42+C31C31C62×C22C42=15，P(X3=2)=1−P(X3=1)−P(X3=3)=35，
所以3号盒子里的红球的个数X3的分布为：123153515，
所以E[X3]=1×15+2×35+3×15=2，
猜想E[Xn]=2.
【解析】(1)要使2号盒子里有2个红球，则从1号盒子里取出2个球为1个红球，1个白球，再结合古典概型的概率公式求解；
(2)由题可知X3可取1，2，3，分布求出相应的概率，进而得到X3的分布，再结合期望公式求出E[X3]，根据E[X3]的值猜想E[Xn]的值．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：由题意知F(1,0)，−2≤x1≤2，
所以|MF|= (x1−1)2+y12= x12−2x1+1+3(1−x124)= x124−2x1+4=|x12−2|=2−x12.
(2)解：设直线l的方程为y=12x+m，
联立x24+y23=1,y=12x+m,消去y，得x2+mx+m2−3=0，
由Δ=m2−4(m2−3)>0，得−2所以x1+x2=−m，y1+y2=12(x1+x2)+2m=3m2，
又QF=(1,−12)，QM+QN=(x1+x2,y1+y2−1)=(−m,3m2−1)，
由QF与QM+QN平行，得1×(3m2−1)=−12×(−m)，解得m=1，
故直线l的方程为y=12x+1.
(3)解：直线l与圆C：x2+y2=3相切，证明过程如下：
设直线l的方程为y=kx+m，
联立x24+y23=1,y=kx+m,消去y，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，
所以x1+x2=−8km3+4k2,x1x2=4m2−123+4k2.
由|MF|+|NF|+|MN|=4，
得(2−x12)+(2−x22)+|MN|=4，即|MN|=x1+x22，
而|MN|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅ (−8km3+4k2)2−4⋅4m2−123+4k2，
所以 1+k2⋅ (−8km3+4k2)2−4⋅4m2−123+4k2=12⋅(−8km3+4k2)，
整理得12k4+21k2+9−3m2−4k2m2=0，
即(3+4k2)(3k2+3−m2)=0，
所以m2=3(1+k2)，
因为圆心C到直线l的距离d=|m| 1+k2= 3(1+k2) 1+k2= 3=r，
故直线l与圆C相切．
【解析】(1)根据两点间距离公式，结合椭圆的方程与配方法，化简即可得证；
(2)设直线l的方程为y=12x+m，将其与椭圆方程联立，由QF与QM+QN平行，根据向量共线的坐标表示，可得关于m的方程，解之即可；
(3)设直线l的方程为y=kx+m，将其与椭圆方程联立，运用韦达定理，结合弦长公式，点到直线的距离公式，求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握向量共线的坐标表示，弦长公式，点到直线的距离公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)y=g(x)不是y=f(x)关于0的“S函数”．
当x1>1时，lnx1+ex2>0，所以不存在x2，使得f(x1)+g(x2)=0，
(2)证明：设f(x1)=[f(x)]min，
由题意，存在x1∈D，使得f(x1)=[f(x)]min，
因为函数y=g(x)是y=f(x)关于a的“S函数”，
所以存在x2∈D，满足[f(x)]min+g(x2)=a，
从而[f(x)]min+[g(x)]max≥[f(x)]min+g(x2)=a，
同理，由y=f(x)是y=g(x)关于a的“S函数”，
可得[g(x)]max+[f(x)]min≤a，
综上，[f(x)]min+[g(x)]max=a.
(3)记集合A={y|y=f(x),x∈[0,t]}，B={y|y=a−g(x),x∈[0,t]}，
由y=g(x)是y=f(x)关于a的“S函数”，得A⊆B，
①当0从而1−t≥a− t1≤a，解得1≤a≤1−t+ t，
因a唯一，令1−t+ t=1，解得t=0(舍)或t=1(舍).
②当1≤t≤2时，A=[0,1]，B=[a− t,a]，
从而a− t≤0a≥1，解得1≤a≤ t，
因a唯一，令 t=1，解得t=1，符合题意．
③当t>2时，A=[0,t−1]，B=[a− t,a]，
从而a− t≤0a≥t−1，得t−1≤a≤ t，
因a唯一，令 t=t−1，解得t=3+ 52，符合题意，
综上，t的所有可能值为1或3+ 52.
【解析】(1)根据y=f(x)关于0的“S函数”定义可得结果．
(2)分别求出最大值和最小值再证明结论即可．
(3)分别讨论t的范围可得t的所有可能值．
本题主要考查函数的最值和函数的应用，属于中档题．药物
疾病
合计
未患病
患病
服用
m
50−m
50
未服用
80−m
m−30
50
合计
80
20
100
1.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x216+y24=1的一个顶点，则p的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 8
2.下列说法不正确的是( )
A. 若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，则P(3
C. 若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D. 对具有线性相关关系的变量x，y，且线性回归方程为y =0.3x−m，若样本点的中心为(m,2.8)，则实数m的值是−4
3.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则以下命题中正确的是( )
A. BM=EN
B. CD⊥MN
C. A、M、N三点共线
D. 直线BM与EN相交
4.设f(x)=x3−3x，有如下两个命题：
①函数y=f(x)的图像与圆x2+y2=1有且只有两个公共点；
②存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数y=f(x)的图像上.
则下列说法正确的是( )
A. ①正确，②正确B. ①正确，②不正确
C. ①不正确，②正确D. ①不正确，②不正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合M={1,3,5,7,9}，N={x|2x=8}，则M∩N=______.
6.已知向量a=(1,−3)，b=(m,1)，若a⊥b，则实数m的值为______.
7.函数y=lg22+x1−x的定义域是______.
8.已知复数z满足z+2z−=3−i，则z−的模为______.
9.设公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2024−S2022=6，则a2024=______.
10.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E−BCD的体积是__________.
11.设f(x)=x3+ax2+x(a∈R)，若y=f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为______.
12.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，给定的四点P1(4,−3)、P2(3,4)、P3(−4,3)、P4(−2,0)中恰有三个点在双曲线C上，则该双曲线C的离心率是______.
13.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如图所示列联表：
取显著性水平α=0.05，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则m(m≥40,m∈N)的最小值为______.(参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)；参考值：P(χ2≥3.841)≈0.05)
14.在(1+x)5(1+y)3的展开式中，记xmyn项的系数为f(m,n)，则f(3,0)+f(2,1)=______.
15.某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC、CD是救生栈道的一部分，其中BC=300m，CD=800m，B在A的北偏东30∘方向，C在A的正北方向，D在A的北偏西80∘方向，且∠B=90∘.若救生艇在A处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B−C−D，则最短距离为______m.(结果精确到1m)
16.已知平面向量a、b、c满足：|a|=|b|=1，a⋅c=b⋅c=1，则a⋅b+c2的最小值为______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数y=f(x)，记f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，0<φ<π，x∈R.
(1)若函数y=f(x)的最小正周期为π，当f(π6)=1时，求ω和φ的值；
(2)若ω=1，φ=π6，函数y=f2(x)−2f(x)−a有零点，求实数a的取值范围.
18.(本小题14分)
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120∘得到的，点G是DF的中点，点P在CE上，异面直线BP与AD所成的角是30∘.
(1)求证：AE⊥BP；
(2)若AB=3，AD=2，求二面角E−AG−C的大小.
19.(本小题14分)
有标号依次为1，2，…，n(n≥2,n∈N)的n个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从n−1号盒子里取出2个球放入n号盒子为止.
(1)当n=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)设n号盒子中红球个数为随机变量Xn，求X3的分布及E[X3]，并猜想E[Xn]的值(无需证明此猜想).
20.(本小题18分)
已知椭圆Γ:x24+y23=1的右焦点为F，直线l与椭圆Γ交于不同的两点M(x1,y1)、N(x2,y2).
(1)证明：点M到右焦点F的距离为2−x12；
(2)设点Q(0,12)，当直线l的斜率为12，且QF与QM+QN平行时，求直线l的方程；
(3)当直线l与x轴不垂直，且△MNF的周长为4时，试判断直线l与圆C：x2+y2=3的位置关系，并证明你的结论.
21.(本小题18分)
已知函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域D.若存在常数a(a∈R)，使得对于任意的x1∈D，都存在x2∈D，满足f(x1)+g(x2)=a，则称函数y=g(x)是函数y=f(x)关于a的“S函数”.
(1)若f(x)=lnx，g(x)=ex，试判断函数y=g(x)是否是y=f(x)关于0的“S函数”，并说明理由；
(2)若函数y=f(x)与y=g(x)均存在最大值与最小值，且函数y=g(x)是y=f(x)关于a的“S函数”，y=f(x)又是y=g(x)关于a的“S函数”，证明：[f(x)]min+[g(x)]max=a；
(3)已知f(x)=|x−1|，g(x)= x，其定义域均为[0,t].给定正实数t，若存在唯一的a，使得y=g(x)是y=f(x)关于a的“S函数”，求t的所有可能值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(p2,0)，x216+y24=1中a=4，
∴p2=4，
∴p=8.
故选：D.
先求出抛物线的焦点坐标，再利用椭圆方程求出a，即可求出p的值．
本题主要考查了抛物线的焦点坐标，考查了椭圆的标准方程，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：对A：若随机变量X服从正态分布X(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，
则P(X>4)=1−P(X≤4)=0.3，
则P(3
对B：因为10×60%=6，所以第60百分位数为14+162=15，B错误；
对C：若线性相关系数|r|越接近1，
则两个变量的线性相关性越强，C正确；
对于D，样本点的中心为(x−,y−)，
所以x−=m，y−=2.8，
而对于回归直线方程y =b x+a ，
因为此时线性回归方程为y =0.3x−m，
所以b =0.3，2.8=0.3m−m，
所以m=−4，D正确．
故选：B.
利用正态分布的性质即可判断选项A，利用百分位数的定义即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D.
本题考查了正态分布、百分位数和线性回归方程的计算，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】解：对于A，取CD中点O，连接ON，OE，则ON//BC，且ON=12BC=12，OE= 32，
∵BC⊥平面CDE，∴ON⊥平面CDE，
∵OE⊂平面CDE，∴ON⊥OE，
∴EN= OE2+ON2=1，∴BM≠EN，故A错误；
对于B，以O为坐标原点，分别以OD，ON，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则C(−1,0,0)，D(1,0,0)，M(12,0, 32)，N(0,1,0)，
CD=(2,0,0)，MN=(−12,1,− 32)，
∵CD⋅MN=−1≠0，∴CD与MN不垂直，故B错误；
对于C，A(1,2,0)，AN=(−1,−1,0)，MN=(−12,1,− 32)，
∴A、M、N三点不共线，故C错误；
对于D，连接BD，则点N为BD中点，
∴E，N∈平面BDE，∴EN⊂平面BDE，
同理可得BM⊂平面BDE，
∵BM与EN平行，∴BM与EN相交，故D正确．
故选：D.
对于A，取CD中点O，连接ON，OE，则ON//BC，BC⊥平面CDE，从而ON⊥平面CDE，ON⊥OE，由此推导出BM≠EN；
对于B，以O为坐标原点，分别以OD，ON，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，推导出CD与MN不垂直；
对于C，推导出AN=(−1,−1,0)，MN=(−12,1,− 32)，从而A、M、N三点不共线；
对于D，连接BD，则点N为BD中点，E，N∈平面BDE，EN⊂平面BDE，同理可得BM⊂平面BDE，从而BM与EN相交．
本题考查线面垂直的判定与性质、空间直角坐标系、三点共线等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4.【答案】B
【解析】解：对于①：f(x)为奇函数，f′(x)=3x2−3，
当x∈(−1,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，且f(−1)=2，f(1)=−2，
则函数f(x)的图像与圆x2+y2=1有且只有两个公共点，故①正确；
对于②：根据对称性，假设正方形的中心在原点，
设OA直线方程为y=kx，直线OB的方程y=−1kx，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kxy=x3−3x，则x12=k+3，同理可得x22=3−1k，
由|OA|=|OB|得， 1+k2 k+3= 1+1k2 3−1k，即k4+3k3−3k+1=0，
所以(k2+2k−1)(k2+k−1)=0，
解得k=−1± 52或k=−1± 2，
所以不止一个正方形ABCD，其四个顶点都在函数y=f(x)的图像上，故②不正确．
故选：B.
对于①：根据题意可得f(x)为奇函数，求导分析单调性，又f(−1)=2，f(1)=−2，即可判断①是否正确；
对于②：根据对称性，假设正方形的中心在原点，设OA直线方程为y=kx，直线OB的方程y=−1kx，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，分别联立y=x3−3x，解得x1，x2，由|OA|=|OB|，解得k，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
5.【答案】{3}
【解析】解：∵M={1,3,5,7,9}，N={x|2x=8}={3}，
∴M∩N={3}.
故答案为：{3}.
求解指数方程化简B，再由交集运算的定义得答案．
本题考查交集及其运算，考查指数方程的解法，是基础题．
6.【答案】3
【解析】解：a=(1,−3)，b=(m,1)，a⊥b，
则1×m+(−3)×1=0，解得m=3.
故答案为：3.
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
7.【答案】(−2,1)
【解析】解：y=lg22+x1−x，
则2+x1−x>0，解得−2
故答案为：(−2,1).
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
8.【答案】 2
【解析】解：设z=a+bi，a，b为实数，则z−=a−bi，
所以z+2z−=a+bi+2a−2bi=3a−bi=3−i，
所以a=1，b=1，
所以z=1+i，z−=1−i，则|z−|= 2.
故答案为： 2.
根据共轭复数和复数相等的概念求得z=1+i，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
9.【答案】4
【解析】解：因为公比为2的等比数列{an}中，S2024−S2022=a2023+a2024=a20242+a2024=6，
则a2024=4.
故答案为：4.
由已知结合等比数列的求和及等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
10.【答案】10
【解析】【分析】
推导出VABCD−A1B1C1D1=AB×BC×DD1=120，三棱锥E−BCD的体积：VE−BCD=13×S△BCD×CE=13×12×BC×DC×CE=112×AB×BC×DD1，由此能求出结果．
本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
【解答】
解：如图，
∵长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，
∴VABCD−A1B1C1D1=AB×BC×DD1=120，
∴三棱锥E−BCD的体积：
VE−BCD=13×S△BCD×CE
=13×12×BC×DC×CE
=112×AB×BC×DD1
=10.
故答案为：10.
11.【答案】y=x
【解析】解：∵f(x)=x3+ax2+x(a∈R)为奇函数，
∴f(−x)+f(x)=−x3+ax2−x+x3+ax2+x=2ax2=0恒成立，
则a=0，∴f(x)=x3+x，
∴f′(x)=3x2+1，得f′(0)=1，
又f(0)=0，∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
故答案为：y=x.
由函数奇偶性的定义求解a值，可得函数解析式，再求其导函数，可得函数在x=0处的导数值，求出f(0)的值，然后利用直线方程的斜截式得答案．
本题考查函数奇偶性性质的应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
12.【答案】 72
【解析】解：根据双曲线的性质可得P3(−4,3)，P1(4,−3)在双曲线上，则P2(3,4)一定不在双曲线上，则P4(−2,0)在双曲线上，
所以a=2,164−9b2=1，解得b2=3，所以c2=a2+b2=7，则c= 7，
所以e=ca= 72.
故答案为： 72.
先判断P3(−4,3)，P1(4,−3)在双曲线上，则P2(3,4)一定不在双曲线上，则P4(−2,0)在双曲线上，则可得a=2,164−9b2=1，求出b，c，再根据离心率公式计算即可．
本题考査了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题．
13.【答案】44
【解析】解：由题意可知，χ2=100×[m(m−30)−(50−m)(80−m)]280×20×50×50≥3.841，
整理得(100m−4000)2≥502×42×3.841，
解得m≥43.92或m≤36.08，
又因为m≥40，m∈N，
所以m的最小值为44.
故答案为：44.
由题意可知，χ2=100×[m(m−30)−(50−m)(80−m)]280×20×50×50≥3.841，求出m的范围，再结合m≥40，m∈N求解即可．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题．
14.【答案】40
【解析】解：根据(1+x)5的展开式Tr+1=C5r⋅xr(r=0,1,2,3,4,5)，
当r=3时，系数为C53=10；
根据(1+y)3的展开式Tk+1=C3kyk(k=0,1,2,3)，
当k=0时，系数为C30=1，
故f(3,0)=10，
同理f(2,1)=30；
故f(3,0)+f(2,1)=40.
故答案为：40.
直接利用二项式的展开式和组合数的运算求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15.【答案】475
【解析】解：作AE⊥CD交于E，
由题意可得∠B=90∘，∠CAB=30∘，BC=300m，
所以AB=BCtan30∘=300 33=300 3m，
AC=BCsin∠CAB=30012=600m，
在△ADC中，由正弦定理可得，CDsin∠ACD=ACsinD，
即800sin80∘=600sinD，
所以sinD=3sin80∘4，
所以cs∠EAD=3sin80∘4≈3×0.984=0.735，
所以sin∠EAD≈0.68，
所以cs∠CAE=cs(80∘−∠EAD)=cs80∘cs∠EAD+sin80∘sin∠EAD
≈0.17×0.735+0.98×0.68
=0.12495+0.6664=0.79135，
在直角△ACE中，AE=AC⋅cs∠CAE，
即AE=600×cs∠EAD≈600×0.79135=474.81≈475.
故答案为：475.
先在三角形ABC中求出AC，再利用正弦定理，在三角形ADC中求出sinD，进而转化到三角形ACE中求解即可．
本题考查解三角形的应用，属于中档题．
16.【答案】2 2−1
【解析】解：设a=OA，b=OB，c=OC，
由题意可知，a与c的夹角和b，c的夹角相等，设为α，
∵a⋅c=b⋅c=1，|a|=|b|=1，
∴|c|csα=OC⋅csα=OA=OB，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，
∴a⋅b+c2=cs2α+1cs2α=2cs2α−1+1cs2α≥2 2−1，
当且仅当2cs2α=1cs2α，即cs2α= 22时，取得等号．
故答案为：2 2−1.
由已知结合向量数量积的性质先表示a⋅b+c2，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为函数y=f(x)的最小正周期为π，
所以2πω=π，解得ω=2，
又因为当x=π6时，sin(π3+φ)=1，
所以π3+φ=2kπ+π2(k∈Z)，得φ=2kπ+π6(k∈Z)，
因为0<φ<π，所以取k=0，
得φ=π6，
所以ω=2，φ=π6；
(2)当ω=1，φ=π6时，f(x)=sin(x+π6)，x∈R，
设t=f(x)=sin(x+π6)∈[−1,1].
由题意得，t2−2t−a=0在t∈[−1,1]有解．
即a=t2−2t，
又因为g(t)=t2−2t在t∈[−1,1]上单调递减，
所以a∈[−1,3].
【解析】(1)由周期公式求解ω，由f(π6)=1，求解φ；
(2)设t=f(x)=sin(x+π6)∈[−1,1]，将问题转化为a=t2−2t，在t∈[−1,1]有解，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了三角函数的性质、二次函数的性质及转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：因为AD//BC，所以∠CBP是直线BP与AD所成角，为30∘，
所以∠EBP=120∘−30∘=90∘，得BP⊥BE，
又因为AB⊥BP，且BE∩AB=B，
所以BP⊥平面ABEF，
由AE⊂平面ABEF，得AE⊥BP.
(2)解法一：取EC的中点H，连接EH，GH，CH.
因为∠EBC=120∘，
所以四边形BEHC为菱形，
所以AE=GE=AC=GC= 32+22= 13.
取AG中点M，连接EM，CM，EC.
则EM⊥AG，CM⊥AG，
所以∠EMC为所求二面角的平面角．
又AM=1，所以EM=CM= 13−1=2 3.
在△BEC中，由于∠EBC=120∘，
由余弦定理得EC2=22+22−2×2×2×cs120∘=12，
所以EC=2 3，因此△EMC为等边三角形，
故所求的角为60∘.
解法二：以B为坐标原点，分别以BE、BP、BA的方向为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1, 3,3)，C(−1, 3,0)，
故AE=(2,0,−3)，AG=(1, 3,0)，CG=(2,0,3)，
设n1=(u1,v1,w1)是平面ACG的一个法向量．
由n1⋅AG=0n1⋅CG=0，可得u1+ 3v1=02u1+3w1=0，
取w1=−2，可得平面ACG的一个法向量n1=(3,− 3,−2).
设n2=(u2,v2,w2)是平面AEG的一个法向量．
由n2⋅AE=0n2⋅AG=0，可得2u2−3w2=0u2+ 3v2=0，
取w2=2，可得平面AEG的一个法向量n2=(3,− 3,2).
所以cs
因此所求的角为60∘.
【解析】(1)证明BP⊥BE，AB⊥BP，得出BP⊥平面ABEF，即可证明AE⊥BP.
(2)解法一：取EC的中点H，连接EH，GH，CH，取AG的中点M，连接EM，CM，EC，判断∠EMC为所求二面角的平面角，利用余弦定理求出EC，从而求出二面角的大小．
解法二：建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面一个法向量，利用法向量求二面角的大小．
本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了二面角的大小计算问题，是中档题．
19.【答案】解：(1)由题可知，要使2号盒子里有2个红球，则从1号盒子里取出2个球为1个红球，1个白球，
所以2号盒子里有2个红球的概率为P=C31×C31C62=35；
(2)由题可知X3可取1，2，3，
则P(X3=1)=C32C62×C32C42+C31C31C62×C22C42=15，P(X3=3)=C32C62×C32C42+C31C31C62×C22C42=15，P(X3=2)=1−P(X3=1)−P(X3=3)=35，
所以3号盒子里的红球的个数X3的分布为：123153515，
所以E[X3]=1×15+2×35+3×15=2，
猜想E[Xn]=2.
【解析】(1)要使2号盒子里有2个红球，则从1号盒子里取出2个球为1个红球，1个白球，再结合古典概型的概率公式求解；
(2)由题可知X3可取1，2，3，分布求出相应的概率，进而得到X3的分布，再结合期望公式求出E[X3]，根据E[X3]的值猜想E[Xn]的值．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：由题意知F(1,0)，−2≤x1≤2，
所以|MF|= (x1−1)2+y12= x12−2x1+1+3(1−x124)= x124−2x1+4=|x12−2|=2−x12.
(2)解：设直线l的方程为y=12x+m，
联立x24+y23=1,y=12x+m,消去y，得x2+mx+m2−3=0，
由Δ=m2−4(m2−3)>0，得−2
又QF=(1,−12)，QM+QN=(x1+x2,y1+y2−1)=(−m,3m2−1)，
由QF与QM+QN平行，得1×(3m2−1)=−12×(−m)，解得m=1，
故直线l的方程为y=12x+1.
(3)解：直线l与圆C：x2+y2=3相切，证明过程如下：
设直线l的方程为y=kx+m，
联立x24+y23=1,y=kx+m,消去y，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，
所以x1+x2=−8km3+4k2,x1x2=4m2−123+4k2.
由|MF|+|NF|+|MN|=4，
得(2−x12)+(2−x22)+|MN|=4，即|MN|=x1+x22，
而|MN|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅ (−8km3+4k2)2−4⋅4m2−123+4k2，
所以 1+k2⋅ (−8km3+4k2)2−4⋅4m2−123+4k2=12⋅(−8km3+4k2)，
整理得12k4+21k2+9−3m2−4k2m2=0，
即(3+4k2)(3k2+3−m2)=0，
所以m2=3(1+k2)，
因为圆心C到直线l的距离d=|m| 1+k2= 3(1+k2) 1+k2= 3=r，
故直线l与圆C相切．
【解析】(1)根据两点间距离公式，结合椭圆的方程与配方法，化简即可得证；
(2)设直线l的方程为y=12x+m，将其与椭圆方程联立，由QF与QM+QN平行，根据向量共线的坐标表示，可得关于m的方程，解之即可；
(3)设直线l的方程为y=kx+m，将其与椭圆方程联立，运用韦达定理，结合弦长公式，点到直线的距离公式，求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握向量共线的坐标表示，弦长公式，点到直线的距离公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)y=g(x)不是y=f(x)关于0的“S函数”．
当x1>1时，lnx1+ex2>0，所以不存在x2，使得f(x1)+g(x2)=0，
(2)证明：设f(x1)=[f(x)]min，
由题意，存在x1∈D，使得f(x1)=[f(x)]min，
因为函数y=g(x)是y=f(x)关于a的“S函数”，
所以存在x2∈D，满足[f(x)]min+g(x2)=a，
从而[f(x)]min+[g(x)]max≥[f(x)]min+g(x2)=a，
同理，由y=f(x)是y=g(x)关于a的“S函数”，
可得[g(x)]max+[f(x)]min≤a，
综上，[f(x)]min+[g(x)]max=a.
(3)记集合A={y|y=f(x),x∈[0,t]}，B={y|y=a−g(x),x∈[0,t]}，
由y=g(x)是y=f(x)关于a的“S函数”，得A⊆B，
①当0
因a唯一，令1−t+ t=1，解得t=0(舍)或t=1(舍).
②当1≤t≤2时，A=[0,1]，B=[a− t,a]，
从而a− t≤0a≥1，解得1≤a≤ t，
因a唯一，令 t=1，解得t=1，符合题意．
③当t>2时，A=[0,t−1]，B=[a− t,a]，
从而a− t≤0a≥t−1，得t−1≤a≤ t，
因a唯一，令 t=t−1，解得t=3+ 52，符合题意，
综上，t的所有可能值为1或3+ 52.
【解析】(1)根据y=f(x)关于0的“S函数”定义可得结果．
(2)分别求出最大值和最小值再证明结论即可．
(3)分别讨论t的范围可得t的所有可能值．
本题主要考查函数的最值和函数的应用，属于中档题．药物
疾病
合计
未患病
患病
服用
m
50−m
50
未服用
80−m
m−30
50
合计
80
20
100
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