2024年山西省运城市盐湖区高考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年山西省运城市盐湖区高考数学一模试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z满足z(1−i)=4+2i，则z=( )
A. 1+3iB. 3+3iC. 2+3 2iD. 3 2+ 2i
2.已知集合A={x||x−1|≤k,k>0}，B={x|−3≤x≤3}，若A⊆B，则k的最大值是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
3.已知△ABC所在平面内一点P，满足PA+PB+PC=0，则AP=( )
A. 12AB+12ACB. 13AB+13ACC. 12AB+13ACD. 13AB+12AC
4.对变量x，y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,⋯,10)，得散点图2.r1表示变量x，y之间的样本相关系数，r2表示变量u，v之间的样本相关系数，则( )
A. −1C. 05.已知符号函数sgn(x)=1,x>0,0,x=0,−1,x<0.则函数f(x)=sgn(x)⋅ln(x+ x2+1)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.4sin140∘−tan220∘=( )
A. 3B. − 3C. 1D. −1
7.直线l1：mx−y+3m=0与直线l2：x+my−3=0相交于点P(x0,y0)，则y0x0−5的取值范围是( )
A. [−35,35]B. [−34,34]
C. [−43,43]D. (−∞,−43]∪[43,+∞)
8.某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月的基础上提高4%，产品合格率比去年12月增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的( )
A. 5月份B. 6月份C. 7月份D. 8月份
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有( )
A. 若a//α，b//α，则a//bB. 若a⊥α，b⊥α，则a//b
C. 若a//b，b//α，a⊄α，则a//αD. 若a//α，α//β，a⊄β，则a//β
10.抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，M是线段AB的中点，过M作C准线的垂线，垂足为N，则( )
A. 若AF=2FB，则直线AB的斜率为2 2或−2 2
B. 若AF//FB，则|MN|=12|AB|
C. 若AF和FB不平行，则|MN|<12|AB|
D. 若∠AFB=120∘，则|MN||AB|的最大值为 33
11.以0/1码的方式在信道内发送5位0/1码数据流，前4位为信息码，最后一位为奇检验码，使得5位0/1码数据流中1的个数为奇数，如若信息码为1100，则检验码为1，所发送数据流为11001.每位0/1码信号的传输相互独立，发送k(k=0,1)时，收到1−k的概率为α(0<α<1)，收到k的概率为1−α.接收方收到数据后，若数据流中1的个数是偶数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则( )
A. 5位0/1码数据流传输无误的概率为(1−α)5
B. 接收方要求重新发送该数据的概率为1−(1−2α)52
C. 若所接收数据流中1的个数是奇数个，则信息码传输正确的概率为2(1−α)51+(1−2α)5
D. 若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为α(1−α)4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的高为5，其顶点和底面圆周都在直径为6的球面上，则圆锥的体积为______.
13.已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)，在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为23，则函数f(x)的最小正周期是______.
14.已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|=3|PF2|，|OP|= 32|F1F2|，则椭圆的离心率e等于______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}各项均不为零，前n项和为Sn，满足a1=12，Sn=anan+12(n∈N*).
(1)求an；
(2)求S2n−1.
16.(本小题15分)
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=2，沿AC将△ADC折起，使点D到达点P的位置，点P在平面ABC的射影H落在边AB上.
(1)求AH的长度；
(2)若M是边PC上的一个动点，是否存在点M，使得平面AMB与平面PBC的夹角余弦值为 34？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由.
17.(本小题15分)
一袋中有6个均匀硬币，其中有n(2≤n≤5,n∈N*)个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余6−n个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件A表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件B表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复6次试验.
(1)若n=3，
①求1次试验中摸出普通硬币个数X的分布列；
②求6次试验中事件A发生的次数Y的期望；
(2)设6次试验中事件B恰好发生1次的概率为P，当n取何值时，P最大？
18.(本小题17分)
已知F1、F2是双曲线x2−y23=1的左、右焦点，直线l经过双曲线的左焦点F1，与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)若F1B=54AB，求△AOB的面积.
19.(本小题17分)
已知a<1，函数f(x)=xsinx+acsx，x∈(0,π).
(1)求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；
(2)证明：f(x)存在唯一的极值点；
(3)若存在a，使得f(x)<−12a+b对任意x∈(0,π)成立，求实数b的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵z(1−i)=4+2i，则z=2(2+i)1−i=2(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i.
故选：A.
利用复数的除法化简可得复数z.
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为k≥0，由|x−1|≤k可得−k≤x−1≤k，解得1−k≤x≤1+k，
即A={x|1−k≤x≤1+k,k>0}，
又因为B={x|−3≤x≤3}，A⊆B，则1−k≥−31+k≤3k>0，解得0故k的最大值为2.
故选：C.
解出集合A，由集合的包含关系可得出关于实数k的不等式组，解之即可得出实数k的最大值．
本题主要考查集合的包含关系，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：因为PA+PB+PC=0，
即−AP+AB−AP+AC−AP=0，
即3AP=AB+AC，
解得AP=13AB+13AC.
故选：B.
由已知条件结合平面向量的加法可得出AP关于AB、AC的表达式．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：从图像中看出y随x增大而减少(图像下降)，u随v增大而减少(图像下降)，则y与x呈负相关关系，u与v呈负相关关系，即r1<0，r2<0，故C，D不正确；
另外对比两图，容易看出y与x相关性更强，故r1越接近−1，所以得−1故选：A.
利用散点图，结合相关系数知识容易得出答案．
本题主要考查相关系数，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：sgn(x)定义域为R，且为奇函数，故sgn(−x)=−sgn(x)，
f(x)=sgn(x)⋅ln(x+ x2+1)的定义域为R，
且f(−x)=sgn(−x)⋅ln(−x+ (−x)2+1)=−sgn(x)⋅ln(−x+ x2+1)
=−sgn(x)⋅ln(1 x2+1+x)=sgn(x)⋅ln( x2+1+x)=f(x)，
故f(x)=sgn(x)⋅ln(x+ x2+1)为偶函数，AB错误；
当x=1时，f(1)=sgn(1)⋅ln2=ln2>0，C错误，D正确．
故选：D.
先得到f(x)为偶函数，排除AB，再计算出f(1)=ln2>0，得到正确答案．
本题主要考查函数奇偶性和图像，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：原式=4sin40∘−tan40∘=4sin40∘−sin40∘cs40∘
=4sin40∘cs40∘−sin40∘cs40∘=2sin80∘−sin40∘cs40∘=2cs10∘−cs50∘cs40∘
=2cs10∘−cs(60∘−10∘)cs40∘=2cs10∘−cs60∘cs10∘−sin60∘sin10∘cs40∘
=2cs10∘−12cs10∘− 32sin10∘cs40∘=32cs10∘− 32sin10∘cs40∘= 3cs(10∘+30∘)cs40∘
= 3cs40∘cs40∘= 3.
故选：A.
利用诱导公式，余弦和差公式，二倍角公式，辅助角公式等化简求值．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：直线l1的方程可化为m(x+3)−y=0，可知直线l1经过x+3=0与y=0的交点A(−3,0)
同理可得直线l2经过x−3=0与y=0的交点B(3,0)，
因为m×1+(−1)×m=0，所以l1⊥l2，即PA⊥PB，
因为AP=(x0+3,y0)，BP=(x0−3,y0)，
所以AP⋅BP=x02−9+y02=0，整理x02+y02=9，
当x0=−3，y0=0，点(−3,0)不在直线l2上，所以点P的轨迹是曲线x2+y2=9(x≠−3)，
设y0x0−5=k，可得kx0−y0−5k=0，
由题意得直线kx−y−5k=0与曲线x2+y2=9(x≠−3)有公共点，
曲线x2+y2=9是圆心为原点，半径为3的圆，所以|5k| k2+1≤3，解得−34≤k≤34，
当x0=−3，y0=0时，y0x0−5=0；当x0=3，y0=0时，y0x0−5=0，所以y0x0−5的取值范围是[−34,34].
故选：B.
求出直线l1、l2所过定点的坐标，分析可知l1⊥l2，即PA⊥PB，然后求出点P的轨迹方程，设y0x0−5=k，根据直线kx−y−5k=0与曲线x2+y2=9(x≠−3)有公共点，利用直线与圆的位置关系列出关于k的不等式，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设从今年1月份起，每月的产量和产品的不合格率都按题中的标准增长，
该工厂每月的产量、合格率分别用an、bn表示，月份用n(n∈N*)表示，
则an=1×(1+4%)n=1.004n，bn=1−(87%−n⋅0.4%)=−0.004n+0.13，其中n≤24，n∈N*，
则从今年1月份起，各月不合格产品数量为anbn=1.04n×(0.13−0.004n)，
因为an+1bn+1−anbn=1.04n+1×[0.13−0.004(n+1)]−1.04n×(0.13−0.004n)
=1.04n[1.04×0.13−1.04×0.004(n+1)−0.13+0.004n]
=1.04n(0.00104−0.00016n)=1.04n105(104−16n)=8×1.04n105(13−2n)，
当n≤6时，an+1bn+1−anbn>0，即an+1bn+1>anbn，此时，数列{anbn}单调递增，
即a1b1当7≤n≤23且n∈N*时，an+1bn+1−anbn<0，即an+1bn+1即a7b7>a8b8>⋯>a24b24，
因此，当n=7时，anbn最大，故该工厂的月不合格品数达到最大是今年的7月份．
故选：C.
该工厂每月的产量、合格率分别用an、bn表示，月份用n(n∈N*)表示，求出anbn的表达式，分析数列{anbn}，即可得出结论．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及数列的单调性在实际问题中的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对A选项，∵a//α，b//α，∴a//b或a与b相交或a与b异面，∴A选项错误；
对B选项，∵a⊥α，b⊥α，∴a//b，∴B选项正确；
对C选项，∵a//b，b//α，∴b与α内的某条直线平行，
∴a也平行该直线，又a⊄α，∴a//α，∴C选项正确；
对D选项，∵a//α，α//β，a⊄β，∴a//β，∴D选项正确．
故选：BCD.
根据空间中线线关系，线面关系，面面关系，即可分别求解．
本题考查空间中线线关系，线面关系，面面关系，属基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：易知抛物线C的焦点为F(p2,0)，
对于A选项，若直线AB与y轴垂直，则直线AB与抛物线C只有一个交点，不合乎题意，
因为AF=2FB，则F在直线AB上，设直线AB的方程为x=my+p2，
联立x=my+p2y2=2px可得y2−2mpy−p2=0，则Δ=4m2p2+4p2>0，
由韦达定理可得y1+y2=2mp，y1y2=−p2，
因为AF=2FB，即(p2−x1,−y1)=2(x2−p2,y2)，可得−y1=2y2，即y1=−2y2，
所以，y1+y2=2mp=−y2，可得y2=−2mp，y1y2=−2y22=−2×4m2p2=−p2，解得m=± 24，
此时，直线AB的斜率为1m=±2 2，A对；
对于B选项，当AF//FB时，则F在直线AB上，M(x1+x22,y1+y22)，
则|MN|=x1+x22+p2=12(x1+x2+p)=12|AB|，B对；
对于C选项，当AF和FB不平行时，则A、F、B三点不共线，
所以，|MN|=x1+x22+p2=12(x1+p2)+12(x2+p2)=12(|AF|+|BF|)>12|AB|，C错；
对于D选项，设|AF|=a，|BF|=b，
当∠AFB=120∘时，|AB|2=a2+b2−2abcs120∘=a2+b2+ab，
由C选项可得|MN|=a+b2，
所以，|MN|2|AB|2=(a+b2)2a2+b2+ab=14⋅a2+b2+2aba2+b2+ab=14(1+aba2+b2+ab)
=14(1+1ab+ba+1)≤14(1+12 ab⋅ba+1)=13，
即|MN||AB|≤ 33，当且仅当a=b时，等号成立，故|MN||AB|的最大值为 33，D对．
故选：ABD.
设直线AB的方程为x=my+p2，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出m的值，可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；利用三角形三边关系可判断C选项；利用余弦定理、基本不等式可判断D选项．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查圆锥曲线中的最值问题解决方法，是中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A选项，每位数据码传输正确的概率均为1−α，传输错误的概率为α，
由独立事件的概率公式可知，5位0/1码数据流传输无误的概率为(1−α)5，A对；
对于B选项，设接收方要求重新发送该数据的概率为P，不用重新发数据的概率为Q，
接收方要求重新发送该数据，意味着数据码在传输时传错的数码的个数为5或3或1，
则P=C50⋅α5+C52⋅α3(1−α)2+C54⋅α(1−α)4，
Q=C51⋅α4(1−α)+C53⋅α2(1−α)3+C55⋅(1−α)5，
所以，P+Q=(α+1−α)5=1，①
P−Q=C50⋅α5−C51⋅α4(1−α)+⋯−C55⋅(1−α)5=[α−(1−α)]5=−(1−2α)5，②
①+②得2P=1−(1−2α)5，则P=1−(1−2α)52，B对；
对于C选项，由①-②可得2Q=1+(1−2α)5，则Q=1+(1−2α)52，
记事件A：所接收数据流中1的个数是奇数个，事件C：信息码传输正确，
则P(A)=1+(1−2α)52，
事件AC意味着，数据流前四位是正确的，最后一位也是正确的，
所以，P(AC)=(1−α)5，
由条件概率公式可得P(C|A)=P(AC)P(A)=(1−α)51+(1−2α)52=2(1−α)51+(1−2α)5，
所以，若所接收数据流中1的个数是奇数个，则信息码传输正确的概率为2(1−α)51+(1−2α)5，C对；
对于D选项，记事件B：所接收数据流中1的个数是偶数个，则P(B)=1−(1−2α)52，
事件BC意味着数据流前四位是正确的，最后一位是错误的，
则P(BC)=α(1−α)4，
由条件概率公式可得P(C|B)=P(BC)P(B)=α(1−α)41−(1−2α)52=2α(1−α)41−(1−2α)5，D错．
故选：ABC.
根据题意，利用独立事件的概率公式可判断A选项；设接收方要求重新发送该数据的概率为P，不用重新发数据的概率为Q，利用独立重复试验的概率公式可得出P+Q=1P−Q=−(1−2α)5，求出P，可判断B选项；利用条件概率公式可判断CD选项，综合可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的定义和计算公式，属于基础题．
12.【答案】25π3
【解析】解：取圆锥的轴截面如下图所示：
设圆锥PE的外接球为球O，易知PE⊥AB，且PE=5，OP=3，则OE=PE−OP=5−3=2，
故圆锥PE的底面半径为AE= OA2−OE2= 32−22= 5，
因此该圆锥的体积为V=13π×AE2×PE=13π×5×5=253π.
故答案为：25π3.
求出圆锥的底面半径，结合锥体的体积公式可求得该圆锥的体积．
本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了圆锥的体积公式，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：令f(x)=2sin(ωx+π3)=1，得sin(ωx+π3)=12，
∴ωx+π3=π6+2k1π(k1∈Z)或ωx+π3=5π6+2k2π(k1∈Z)，
设曲线y=f(x)与直线y=1两交点的横坐标分别为x1、x2，
∴ωx1+π3=π6+2k1π(k1∈Z)ωx2+π3=π6+2k2π(k2∈Z)，∴ω(x1−x2)=2(k1−k2)π，
∴x1−x2=2(k1−k2)πω(k1,k2∈Z)，此时，|x1−x2|min=2πω；
或ωx1+π3=5π6+2k1π(k1∈Z)ωx2+π3=5π6+2k2π(k2∈Z)，|x1−x2|min=2πω；
或ωx1+π3=π6+2k1π(k1∈Z)ωx2+π3=5π6+2k2π(k2∈Z)，∴ω(x2−x1)=2π3+2(k1−k2)π(k1,k2∈Z)，
∴x2−x1=2π3ω+2(k2−k1)ω(k1,k2∈Z)，此时，|x1−x2|min=2π3ω.
综上所述，|x1−x2|min=2π3ω=23，∴ω=π，∴函数f(x)的最小正周期为T=2ππ=2.
故答案为：2.
解方程f(x)=1，根据题意可得出关于ω的等式，解出ω的值，结合正弦型函数的周期公式可求得函数f(x)的最小正周期．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
14.【答案】 54
【解析】解：如下图所示：
由已知条件和椭圆的定义可得|PF1|=3|PF2||PF1|+|PF2|=2a，可得|PF1|=3a2，|PF2|=a2，
因为O为F1F2的中点，则OF1+OF2=0，
因为PF1=PO+OF1，PF2=PO+OF2，所以，PF1+PF2=2PO，
又因为F2F1=PF1−PF2，
所以，4|PO|2+|F2F1|2=(PF1+PF2)2+(PF1−PF2)2=2(|PF1|2+|PF2|2)，
即4×( 3c)2+4c2=2(9a24+a24)，即4c= 5a，解得e=ca= 54.
故答案为： 54.
利用已知条件和椭圆的定义求出|PF1|、|PF2|，由平面向量的线性运算可得出PF1+PF2=2PO，F2F1=PF1−PF2，利用平面向量数量积的运算性质可得出a、c的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值．
本题考查椭圆离心率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为数列{an}各项均不为零，前n项和为Sn，a1=12，Sn=anan+12(n∈N*)，
当n=1时，则a1=S1=a1a22，可得a2=2；
当n≥2时，由Sn=anan+12可得Sn−1=anan−12，
上述两个等式作差可得an=an(an+1−an−1)2，整理可得an+1−an−1=2，
所以，数列{an}中的奇数项成以12为首项，公差为2的等差数列，
数列{an}中的偶数项成以2为首项，公差为2的等差数列，
当n为奇数时，设n=2k−1(k∈N*)，
则an=a2k−1=a1+2(k−1)=12+2(k−1)=2k−1−12=n−12；
当n为偶数时，设n=2k(k∈N*)，则an=a2k=a2+2(k−1)=2+2(k−1)=2k=n.
综上所述，an={n−12,n为奇数n,n为偶数.
(2)S奇=12n+2n(n−1)2=n2−12n，S偶=(2+2n−2)(n−1)2=n2−n，
故S2n−1=S奇+S偶=n2−12n+n2−n=2n2−32n.
【解析】(1)利用an、Sn的关系推导可知，数列{an}的奇数项、偶数项分别成以2为公差的等差数列，对n分奇数、偶数两种情况讨论，综合可得出数列{an}的通项公式；
(2)分别求出S奇、S偶，相加即可得出S2n−1.
本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及等差数列的通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)作PE⊥AC，垂足为E，连接EH，如图所示：
由点P在平面ABC的射影H落在边AB上可得PH⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，所以PH⊥AC，
因为PH∩PE=E，且PH，PE⊂平面PHE，
所以AC⊥平面PHE，
又EH⊂平面PHE，所以AC⊥EH，
又因为ABCD为矩形，AB⊥BC，可得△ABC∼△AEH，
由AB=4，BC=2可得AP=2,PC=4,AC=2 5，
所以PE=AP⋅PCAC=4 55，AE= AP2−PE2=2 55；
由△ABC∼△AEH可得AEAH=ABAC，即AH=AE⋅ACAB=2 55×2 54=1；
即AH的长度为1.
(2)根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于BC的直线为y轴，分别以HB，PH所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A(−1,0,0),P(0,0, 3),B(3,0,0),C(3,2,0)，
所以CP=(−3,−2, 3)，设CM=λCP,λ∈[0,1]，
则CM=λCP=λ(−3,−2, 3)=(−3λ,−2λ, 3λ)，所以M(3−3λ,2−2λ, 3λ)；
易知AB=(4,0,0),MB=(3λ,2λ−2,− 3λ)，PB=(3,0,− 3),BC=(0,2,0)，
设平面AMB的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，则AB⊥m，MB⊥m，
所以AB⋅m=4x1=0MB⋅m=3λx1+(2λ−2)y1− 3λz1=0，
解得x1=0，取y1= 3λ，则z1=2λ−2，所以m=(0, 3λ,2λ−2)，
设平面PBC的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，则PB⊥n，BC⊥n，
所以PB⋅n=3x2− 3z1=0BC⋅n=2y2=0，
解得y2=0，取x2=1，则z2= 3，所以n=(1,0, 3)，
因此可得|cs|=|m⋅n||m||n|=2 3|λ−1|2× 7λ2−8λ+4= 34，整理可得3λ2−8λ+4=0，
解得λ=2(舍)或λ=23；
因此CM=23CP，即可得|CM|=23|CP|=83.
所以CM的长度为83.
【解析】(1)利用投影性质以及线面垂直性质可得AC⊥EH，再利用三角形相似可求得AH=1；
(2)建立空间直角坐标系，设CM=λCP,λ∈[0,1]，并根据坐标分别求得平面AMB与平面PBC的法向量，由两平面夹角的余弦值列方程解得λ=23，可得CM=83.
本题考查空间中两点间的距离，二面角的求法，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当n=3时，
①由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2，
则P(X=0)=C32C62=15，P(X=1)=C31C31C62=35，P(X=2)=C32C62=15，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
②由题意可知，一次试验中事件A发生的概率为P(A)=C32+C32⋅(12)2+C31C31⋅12C62=1120，
所以，Y∼B(6,1120)，则E(Y)=6×1120=3310；
(2)一次试验中，事件B发生的概率为P(B)=Cn2⋅(12)2C62=n(n−1)120(2≤n≤5,n∈N*)，
所以，6次试验中事件B恰好发生1次的概率P=C61⋅n(n−1)120⋅[1−n(n−1)120]5(2≤n≤5,n∈N*)，
令f(x)=x(1−x)5，其中0当00，此时，函数f(x)单调递增，
当16所以，当x=16时，函数f(x)取最大值，
因为2≤n≤5且n∈N*时，n(n−1)120∈{160,120,110,16}，
故当n=5时，P取最大值．
【解析】(1)①分析可知，随机变量X的可能取值有0、1、2，利用超几何分布可得出随机变量X的分布列；
②求出P(A)的值，分析可知，随机变量Y∼B(6,P(A))，利用二项分布的期望公式可求得E(Y)的值；
(2)求出P的表达式，构造函数f(x)=x(1−x)5，其中0本题考查了考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，属于中档题．
18.【答案】解：(1)在双曲线x2−y23=1中，a=1，b= 3，则c= a2+b2= 1+3=2，
该双曲线的左焦点为F1(−2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，
设直线l的方程为y=k(x+2)，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，
联立y=k(x+2)3x2−y2=3可得(k2−3)x2+4k2x+(4k2+3)=0，
因为直线l与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点，
所以，k2−3≠0Δ=16k4−4(k2−3)(4k2+3)=36(k2+1)>0x1x2=4k2+3k2−3<0，解得− 3因此，直线l的斜率的取值范围是(− 3, 3).
(2)因为F1B=(x2+2,y2)，AB=(x2−x1,y2−y1)，
由F1B=54AB可得y2=54(y2−y1)，则y2=5y1，
当直线l与x轴重合时，则点A(−1,0)、B(1,0)，F1B=(3,0)，AB=(2,0)，
此时，F1B≠54AB，不合乎题意，
设直线l的方程为x=my−2(m≠0)，联立x=my−23x2−y2=3可得(3m2−1)y2−12my+9=0，
由(1)可得1m=k∈(− 3,0)∪(0, 3)，则m<− 33或m> 33，
由韦达定理可得y1+y2=6y1=12m3m2−1，则y1=2m3m2−1，
y1y2=5y12，即93m2−1=5×4m2(3m2−1)2，解得m=±3 77，则|y1|=|2m3m2−1|=3 710，
所以，S△AOB=S△BOF1−S△AOF1=12|OF|⋅|y2−y1|=4|y1|=6 75.
【解析】(1)设直线l的方程为y=k(x+2)，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位置关系可得出关于实数k的不等式组，即可解得k的取值范围；
(2)设直线l的方程为x=my−2，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，由平面向量的坐标运算可得出y2=5y1，将直线l的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出m的值，可得出|y1|的值，然后利用三角形的面积公式可求得△AOB的面积．
本题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意知，f′(x)=sinx+xcsx−asinx=(1−a)sinx+xcsx，
所以f′(π2)=(1−a)sinπ2+π2csπ2=1−a，
又f(π2)=π2，
所以曲线在点(π2,f(π2))处的切线方程为y−π2=(1−a)(x−π2)，即(1−a)x−y+aπ2=0.
证明：(2)由f′(x)=(1−a)sinx+xcsx，a<1，
①当x∈(0,π2]时，f′(x)>xcsx≥0，则f(x)在(0,π2]上单调递增，
②当x∈(π2,π)时，设g(x)=(1−a)sinx+xcsx，则g′(x)=(1−a)csx+csx−xsinx=(2−a)csx−xsinx，
所以g′(x)<−xsinx<0，故g(x)在(π2,π)上单调递减，
又g(π2)=1−a>0，g(π)=−π<0，
所以由零点存在性定理可知，存在唯一x0∈(π2,π)，使得g(x0)=0，即f′(x0)=0.
所以当π20，即f′(x)>0；当x0所以f(x)在(π2,x0)上单调递增，在(x0,π)上单调递减，
综述：f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,π)上单调递减，存在唯一x0∈(π2,π)，使得f′(x0)=0.
故f(x)存在唯一的极值点．
解：(3)由(2)可知，f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,π)上单调递减，
故f(x)max=f(x0)=x0sinx0+acsx0，
因为f′(x0)=(1−a)sinx0+x0csx0=0，所以a=1+x0csx0sinx0，
由题意知，f(x)max=f(x0)=x0sinx0+acsx0<−12a+b，
即x0sinx0+(1+x0csx0sinx0)csx0<−12(1+x0csx0sinx0)+b，
化简得b>x0sinx0+csx0+x0csx02sinx0+12，x0∈(π2,π)，
设g(x)=xsinx+csx+xcsx2sinx+12，x∈(π2,π)，
由题存在x0∈(π2,π)，使得g(x0)所以g(x)min又g′(x)=sinx−xcsxsin2x−sinx+(csx−xsinx)sinx−xcs2x2sin2x=sinx(1−sin2x)−xcsxsin2x+sinxcsx−x2sin2x=sinxcs2x−xcsxsin2x+sinxcsx−x2sin2x=(2csx+1)(sin2x−2x)4sin2x
设h(x)=sin2x−2x，x∈(π2,π)，则h′(x)=2cs2x−2<0，
所以h(x)在(π2,π)上单调递减，
故h(x)当π20，g′(x)<0；当2π30，
故g(x)在(π2,2π3)上单调递减，在(2π3,π)上单调递增，
所以g(x)min=g(2π3)= 3π3，所以b> 3π3.
故b的取值范围为( 3π3,+∞).
【解析】(1)求f′(x)，代入计算f′(π2)即为斜率，求f(π2)的值，结合点斜式即可求得切线方程．
(2)①研究当x∈(0,π2]时，f(x)的单调性，②研究当x∈(π2,π)时，令f′(x)=g(x)，运用导数研究g(x)单调性，结合零点存在性定理可知存在唯一x0∈(π2,π)，使得g(x0)=0，即f′(x0)=0，进而可证得f(x)的单调性，进而可证得结果．
(3)将问题转化为f(x)max<−12a+b，由(2)可知，f(x)max=f(x0)=x0sinx0+acsx0，a=1+x0csx0sinx0，进而可得存在x0∈(π2,π)，使得b>x0sinx0+csx0+x0csx02sinx0+12，设g(x)=xsinx+csx+xcsx2sinx+12，x∈(π2,π)，进而将问题转化为求g(x)min，运用导数求g(x)min即可．
本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，导数与单调性及极值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．X
0
1
2
P
15
35
15