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2024年上海市宝山区高考数学二模试卷（含详细答案解析）
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这是一份2024年上海市宝山区高考数学二模试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a>b>0，则( )
A. a2>b2B. 2a<2bC. a12lg12b
2.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2)，若P(X≤a)=56，则P(|X|≤a)=( )
A. 23B. 12C. 13D. 16
3.已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是( )
A. 若α//β，l⊂α，n⊂β，则l//nB. 若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C. 若l⊥n，m⊥n则l//mD. 若l⊥α，l//β，则α⊥β
4.数列{an}中，Sn是其前n项的和，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称数列{an}为“某数列”.现有如下两个命题：
①等比数列{2n}为“某数列”；
②对任意的等差数列{an}，总存在两个“某数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn.
则下列选项中正确的是( )
A. ①为真命题，②为真命题B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题D. ①为假命题，②为假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.抛物线x2=4y的焦点坐标为______.
6.已知tanα=3，则tan(α−π4)=______.
7.将 a2 a(其中a>0)化为有理数指数幂的形式为______.
8.已知向量a=(2m,2)，b=(1,m+1)，若a⋅b=10，则实数m=______.
9.设实数x、y满足(x+yi)i−2+4i=(x−yi)(1+i)(i为虚数单位)，则x+y=______.
10.有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为______.
11.已知集合A={2,|a+1|,a+3}，且1∈A，则实数a的值为______.
12.在数列{an}中，a1=2，且an=an−1+lgnn−1(n≥2)，则a100=______.
13.某公司为了了解某商品的月销售量y(单位：万件)与月销售单价x(单位：元/件)之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：
由表中数据可得回归方程y=ax+b中a =−0.32，试预测当月销售单价为40元/件时，月销售量为______万件.
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60∘，则C的离心率为__________.
15.某区域的地形大致如图1，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.
假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地A1AnBnB1；
假设2：视探照灯为点M，且距离地面20米；
假设3：探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.
当探照灯M以某一俯角从AkAk+1侧扫描到BkBk+1侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环Sk(k=1,2,3,…).由此，通过调整M的俯角，逐次扫描形成扇环S1、S2、S3….
第一次扫描时，光斑的长轴为EF，|OE|=30米，此时在探照灯M处测得点F的俯角为30∘(如图2).记|AkAk+1|=dk，经测量知|A1An|=80米，且{dk}是公差约为0.1米的等差数列，则至少需要经过______次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.
16.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a、b满足：a⋅b=2，|b|=1，且存在实数t，使得|a|−2|a+tb|≥0成立，则由a构成的空间几何体的体积是______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积为 3，求a+c的最小值，并判断此时△ABC的形状.
18.(本小题14分)
如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径.
(1)求证：BP⊥A1P；
(2)若OA=2，∠BOP=60∘，圆柱的体积为16 2π，求异面直线AP与A1B所成角的大小.
19.(本小题16分)
在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为12，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为12，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为35，若前一次没投进，则该次投进的概率为25.
(1)求甲投篮3次得2分的概率；
(2)若乙投篮3次得分为X，求X的分布和期望；
(3)比较甲、乙的比赛结果.
20.(本小题16分)
已知双曲线x2−y22=1的左、右顶点分别为A、B，设点P在第一象限且在双曲线上，O为坐标原点.
(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
(2)若PA⋅PB≤9，求|OP|的取值范围；
(3)椭圆C的长轴长为2 2，且短轴的端点恰好是A、B两点，直线AP与椭圆的另一个交点为Q.记△POA、△QAB的面积分别为S1、S2.求S12−S22的最小值，并写出取最小值时点P的坐标.
21.(本小题18分)
函数y=g(x)的表达式为g(x)=sin(ωx)(ω>0).
(1)若ω=1，直线l与曲线y=g(x)相切于点(π2,1)，求直线l的方程；
(2)函数y=g(x)的最小正周期是2π，令h(x)=x⋅g(x)−lnx，将函数y=h(x)的零点由小到大依次记为x1，x2，⋯，xn，⋯(n≥1,n∈N)，证明：数列{sinxn}是严格减数列；
(3)已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+2a)=−f(x)(a>0)，对任意x∈[0,2a]，当x≠a时，都有f(x)记F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)+g(x+12).
当ω=π时，是否存在x1、x2∈R，使得F(x1)=G(x2)+4成立？若存在，求出符合题意的x1、x2；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：a>b>0，
则a2>b2，故A正确；
2a>2b，故B错误；
a12>b12，故C错误；
lg12a故选：A.
根据已知条件，结合不等式的性质，以及函数单调性，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，以及函数单调性，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由随机变量X服从正态分布N(0,σ2)，
因为P(X≤a)=56，可得P(X>a)=P(X<−a)=1−P(X≤a)=1−56=16，
所以P(|X|≤a)=1−2P(X>a)=1−2×16=23.
故选：A.
根据题意，利用正态分布曲线的对称性，结合P(|X|≤a)=1−2P(X>a)，即可求解．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，l与n可能平行，也可能异面，A错误；
对于B，l与β可能平行、也能相交，B错误；
对于C，l与m可以平行、也可以相交或异面，C错误；
对于D，若l⊥α，l//β，必有α⊥β，D正确；
故选：D.
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查直线、平面的位置关系，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于①，由等比数列{2n}可得Sn=2n+1−2，
若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则2n+1−2=2m，即2n+1=2m+2，显然不成立，故①为假命题；
对于②，设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+(n−1)d=na1+(n−1)(d−a1)(n∈N*).
令bn=na1，cn=(n−1)(d−a1)，则an=bn+cn(n∈N*).
下面证{bn}是“某数列”．
设{bn}的前n项和为Tn，则Tn=n(n+1)2a1(n∈N*).
于是对任意的正整数n，总存在正整数m=n(n+1)2，使得Tn=bn，所以{bn}是“某数列”．
同理，可证{cn}也是“H数列”．
所以对任意的等差数列{an}，总存在两个“某数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)成立，故②为真命题．
故选：C.
由等比数列{2n}结合新定义即可判断①，若an=a1+(n−1)d，设bn=na1，cn=(n−1)(d−a1)，再由新定义可得则an=bn+cn，即可判断②．
本题考查新定义的理解和运用，考查等比数列的通项和求和，考查推理和运算能力，属于中档题．
5.【答案】(0,1)
【解析】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴p2=1
∴抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1)
故答案为：(0,1)
由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．
本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，属于基础题．
6.【答案】12
【解析】解：因为tanα=3，
所以tan(α−π4)=tanα−11+tanα=3−11+3=12.
故答案为：12.
由已知结合两角差的正切公式进行化简即可求解．
本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题．
7.【答案】a54
【解析】解： a2 a= a2⋅a12= a52=a54.
故答案为：a54.
利用根式与分数指数幂的互化求解．
本题主要考查了根式与分数指数幂的互化，属于基础题．
8.【答案】2
【解析】解：∵a=(2m,2)，b=(1,m+1)，a⋅b=10，
∴2m+2(m+1)=10，
∴m=2.
故答案为：2.
直接根据题意建立方程即可求解．
本题考查向量数量积的运算，方程思想，属基础题．
9.【答案】2
【解析】解：由(x+yi)i−2+4i=(x−yi)(1+i)，
得xi−y−2+4i=x−yi+xi+y，即(−y−2)+(x+4)i=(x+y)+(x−y)i，
则−y−2=x+yx+4=x−y，解得x=6y=−4.
∴x+y=6−4=2.
故答案为：2.
利用复数代数形式的乘法运算把已知等式变形，再由复数相等的条件列式求解．
本题考查复数相等的条件，考查方程组的解法，是基础题．
10.【答案】7.5
【解析】解：根据题意得：3+5+x+8+9+106=10−3，解得x=7，
∴这组数据的中位数为：7+82=7.5.
故答案为：7.5.
根据极差和中位数相等可求出x，然后根据中位数的计算方法即可求出中位数．
本题考查了极差、平均数和中位数的计算方法，考查了计算能力，是基础题．
11.【答案】0
【解析】解：因为集合A={2,|a+1|,a+3}，且1∈A，
所以|a+1|=1或a+3=1，
所以a=0或a=−2，
当a=0时，A={2,1,3}，符合题意，
当a=−2时，A={2,1,1}，与集合元素的互异性矛盾．
故答案为：0.
由已知结合元素与集合的关系即可求解．
本题主要考查了元素与集合关系及集合元素的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】4
【解析】解：在数列{an}中，a1=2，且an=an−1+lgnn−1(n≥2)，
∴a2=2+lg2，
a3=2+lg2+lg32=2+lg3，
a4=2+lg3+lg43=2+lg4，
由此猜想an=2+lgn.
下面用数学归纳法证明：
①a1=2+ln1=2，成立，
②假设ak=2+lgk成立，
则ak+1=2+lgk+lgk+kk=2+lg(k+1)成立，
由①②得an=2+lgn，
则a100=2+lg100=4.
故答案为：4.
利用递推公式求出数列{an}的前4项，由此猜想an=2+lgn.再用数学归纳法证明，由此能求出a100.
本题考查数列的递推公式、递推思想、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】1.6
【解析】解：由题意可知，x−=10+15+20+25+305=20，y−=11+10+8+6+55=8，
所以样本中心点坐标为(20,8)，代入回归方程y=−0.32x+b得，8=−0.32×20+b，
解得b=14.4，
所以回归方程为y=−0.32x+14.4，
当x=40时，y=1.6，
即当月销售单价为40元/件时，月销售量约为1.6万件．
故答案为：1.6.
先求出样本中心点坐标(x−,y−)，代入回归方程求出b的值，再进行预测即可．
本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题．
14.【答案】2 33
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，属于基础题．
利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：双曲线右顶点为A(a,0)，
∵∠MAN=60∘，故△MAN为等边三角形，
则A到渐近线的距离为b⋅cs30∘= 32b，
不妨设渐近线方程为bx+ay=0，
所以|ab| a2+b2= 32b，即ac= 32，
所以离心率为e=2 33.
故答案为2 33.
15.【答案】15
【解析】解：因为在Rt△MOF中，
∠F=30∘，OM=20，
所以OF=20 3，EF=20 3−30，
故AA1=20 3−30，
故{dk}是以20 3−30为首项，以0.1为公差的等差数列，
故Sk=(20 3−30)k+k(k−1)2×0.1，
而S14=74.06<80，S15≈80.1>80，
故kmin=15.
所以至少需要15次才能将整个警戒区域扫描完毕．
故答案为：15.
由题意可得AA1=20 3−30，从而得故{dk}是以20 3−30为首项，以0.1为公差的等差数列，由等差数的求和公式可得Sk=(20 3−30)k+k(k−1)2×0.1，再由Sk≥80求解即可．
本题考查了数列在生活中的实际运用，属于中档题．
16.【答案】8π9
【解析】解：由已知得|a|2≥4|a+tb|2，所以3|a|2+8ta⋅b+4t2|b|2≤0，
所以存在实数t，使得不等式4t2+16t+3|a|2≤0有解，
则有Δ=162−4×4×(3a2)≥0，解得|a|≤4 3，
又因为a⋅b=2且|b|=1，所以a在b方向上的数量投影是2，
所以a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为4 3的圆锥，
故由a构成的空间几何体的体积为13π⋅(2 3)2⋅2=8π9.
故答案为：8π9.
由不等式有解，结合数量积运算，求得|a|≤4 3，又a⋅b=2且|b|=1，可得a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为4 3的圆锥，从而根据锥体体积公式求得结论．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查不等式能成立问题及锥体体积公式，属中档题．
17.【答案】解：(1)由正弦定理得a2+c2=b2+ac，
又由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
因为B是三角形内角，所以B=π3；
(2)由三角形面积公式得：
S△ABC=12acsinB=12acsinπ3= 34ac= 3，
解得ac=4，
因为a+c≥2 ac=4，当且仅当a=c=2时取等号，
所以a+c的最小值为4，此时△ABC为等边三角形．
【解析】(1)利用边角互化思想得a2+c2−b2=ac，由余弦定理求出csB的值，从而得出角B的值；
(2)由三角形的面积公式得出ac的值，再由基本不等式即可计算得解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：易知AP⊥BP，
又由AA1⊥平面PAB，得AA1⊥BP，
从而BP⊥平面PAA1，故BP⊥A1P；
(2)延长PO交圆O于点Q，连接BQ、A1Q、AQ，
易知BQ//AP，∠A1BQ(或其补角)即为所求的角，
由题知V=π⋅OA2⋅AA1=4π⋅AA1=16 2π，
解得AA1=4 2，
△A1BQ中，QB=2 3,A1Q=6,A1B=4 3，
由余弦定理得cs∠A1BQ=12+48−362⋅2 3⋅4 3=12，
从而∠A1BQ=60∘，
所以异面直线AP与A1B所成角的大小为60∘.
【解析】(1)根据圆柱的几何特征及圆周角定理，我们易根据已知中点P在圆柱OO1的底面圆周上，AB为圆O的直径，得到AP⊥BP，AA1⊥BP，结合线面垂直的判定定理得到BP⊥平面PAA1后，易进一步得到BP⊥A1P；
(2)延长PO交圆O于点Q，连接BQ，A1Q，结合圆柱的体积为16 2π，OA=2，∠BOP=120∘，我们易得∠A1BQ即为异面直线A1B与AP所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案．
本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及异面直线及其所成的角，其中熟练掌握圆柱的几何特征，并从中分析出相关直线之间的位置关系是解答本题的关键，是中档题．
19.【答案】解：(1)甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率p=C3112×(1−12)2=38；
(2)由题意知X的所有可能取值为0，2，4，6，
则P(X=0)=12×35×35=950，P(X=2)=12×25×35+12×25×25+12×35×25=825，
P(X=4)=12×35×25+12×25×25+12×25×35=825，P(X=6)=12×35×35=950，
随机变量X的分布为(0950282548256950)，
期望E(X)=0×950+2×825+4×825+6×950=3；
(3)设甲三次投篮的得分Y，则Y=0，2，4，6，
可求得随机变量Y的分布为(018238438618)，
所以E(Y)=0×18+2×38+4×38+6×18=3，
D(Y)=02×18+22×38+42×38+62×18−32=3，
又可算得D(X)=02×950+22×825+42×825+62×950−32=9725，
因为E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，
所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定．
【解析】(1)根据题意结合二项分布的概率公式求解；
(2)根据题意结合独立事件的概率乘法公式求分布列，进而可得期望．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布和期望，属于中档题．
20.【答案】解：(1)两条渐近线方程为 2x±y=0，
所以n1=( 2,1),n2=( 2,−1)
设两条直线夹角为θ，则csθ=|2−1 3⋅ 3|=13，
所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为13.
(2)设P(x1,y1)，(x1>1,y1>0)，由已知得A(−1,0)、B(1,0)，
PA=(−1−x1,−y1)，PB=(1−x1,−y1)，
则PA⋅PB=x12−1+y12≤9，
得x12+y12≤10，
又点P在双曲线上，有x12−y122=1，即y12=2(x12−1)，
从而x12+2(x12−1)≤10，
所以x12≤4，
又点P是双曲线在第一象限的点，
所以x12∈(1,4],
|OP|2=x12+y12=x12+2(x12−1)=3x12−2∈(1,10],
所以|OP|∈(1, 10].
(3)椭圆C中a= 2,b=1，焦点在y轴上，标准方程为y22+x2=1，
设Q(x2,y2)，(x2>0,y2>0)，直线AP的斜率为k，(k>0)，
则直线AP的方程为y=k(x+1)，
联立方程组y=k(x+1)y22+x2=1，得(2+k2)x2+2k2x+k2−2=0，
该方程的两根分别为−1和x2=2−k22+k2，
同理可得x1=2+k22−k2，
所以x1⋅x2=1，
记S1=S△POA=12×1×y1=y12，S2=S△QAB=12×2×y2=y2，
则S12−S22=y124−y22=14×2(x12−1)−2(1−x22)=12x12+2x22−52=(x122+2x12)−52≥2 1−52=−12，当且仅当x122=2x12即x12=2时取等号，
所以S12−S22的最小值为−12，此时点P的坐标为( 2, 2).
另解：kAP=y1x1+1,kAQ=y2x2+1，
因为kAP=kAQ，
所以y1x1+1=y2x2+1，即(y1x1+1)2=(y2x2+1)2，
又y12=2(x12−1)，y22=2(1−x22)，
代入上式化简得x1−1x1+1=1−x2x2+1，整理得x1⋅x2=1，
记S1=S△POA=12×1×y1=y12，S2=S△QAB=12×2×y2=y2，
则S12−S22=y124−y22=14×2(x12−1)−2(1−x22)=12x12+2x22−52=(x122+2x12)−52≥2 1−52=−12，当且仅当x122=2x12即x12=2时取等号，
所以S12−S22的最小值为−12，此时点P的坐标为( 2, 2).
【解析】(1)根据题意可得两条渐近线方程为 2x±y=0，则n1=( 2,1),n2=( 2,−1)，设两条直线夹角为θ，则csθ=cs，即可得答案．
(2)设P(x1,y1)，(x1>1,y1>0)，由已知得PA⋅PB=x12−1+y12≤9，即x12+y12≤10，又点P在双曲线上，有y12=2(x12−1)，推出x12∈(1,4],进而可得答案．
(3)设Q(x2,y2)，(x2>0,y2>0)，直线AP的斜率为k，(k>0)，则直线AP的方程为y=k(x+1)，联立椭圆的方程，可得x2=2−k22+k2，同理可得x1=2+k22−k2，进而可得x1⋅x2=1，再结合基本不等式，计算S12−S22的最值．
另解：由kAP=kAQ，可得(y1x1+1)2=(y2x2+1)2，化简整理得x1⋅x2=1，再结合基本不等式，计算S12−S22的最值．
本题考查直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解(1)当ω=1时，g(x)=sinx，则g′(x)=csx，
所以k=g′(π2)=csπ2=0，
所以直线l的方程是y=1；
(2)证明：由2πω=2π，可知ω=1，则h(x)=xsinx−lnx(x>0)，
令h(x)=0，得sinx=lnxx，
①当00,lnxx<0，此时函数y=h(x)没有零点；
②当x≥1时，因为(lnxx)′=1−lnxx2，可知y=lnxx在[1,e]上严格单调递增，在[e,+∞)严格单调递减，
又y=sinx在[1,π2]上严格单调递增，在[π2,e]严格单调递减，
所以x∈[1,e]时，y=sinx在x=e时有最小值sine，y=lnxx在x=e时有最大值lnee=1e，
因为sine>1e，所以sinx=lnxx在[1,e]上没有交点，
即h(x)=xsinx−lnx在[1,e]上没有零点；
所以函数y=h(x)的零点xn满足e因为y=lnxx在[e,+∞)严格减，所以lnx1x1>lnx2x2>⋯>lnxnxn>⋯.
又因为sinxn=lnxnxn，所以数列{sinxn}是严格减数列；
(3)因为f(x)=−f(x+2a)=−[−f(x+4a)]=f(x+4a)，
所以y=f(x)是以4a为周期的周期函数，
因为任意x∈[0,2a]，当x≠a时，都有f(x)所以当x=a时，y=f(x)在[0,2a]上有唯一的最大值1，
由ω=π，得g(x)=sinπx，F(x)=f(x)+sinπx，G(x)=f(x)+csπx，
假设存在x1、x2∈R，使得F(x1)=G(x2)+4成立，
即f(x1)+sinπx1−[f(x2)+csπx2]=4成立，
故当x1=a+4ka(k∈Z)时，f(x1)取得最大值1；
当x1=12+2m(m∈Z)时，sinπx1取得最大值1，
由a+4ka=12+2m，可知a=4m+18k+2①时，(f(x1)+sinπx1)max=2，
又因为y=f(x)是奇函数，所以当x=−a时，f(x)在[−2a,0]上有唯一的最小值−1，
故当x2=−a+4na(k∈Z)时，f(x2)取得最小值−1；
当x2=1+2t(t∈Z)时，csπx2取得最小值−1，
由−a+4na=1+2t，可知a=2t+14n−1②时，(f(x2)+csπx2)min=−2，
若f(x1)+sinπx1−[f(x2)+csπx2]=4成立，
则由①②得：4m+18k+2=2t+14n−1，即(4m+1)(4n−1)=(2t+1)(8k+2)，
因为m，n，k，t∈Z，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立，
因此当ω=π时，不存在x1、x2∈R，使得F(x1)=G(x2)+4成立
【解析】(1)由导数的几何意义即可求得；
(2)题求出ω，利用导数研究函数y=sinx和y=lnxx的单调性，从而得到函数y=h(x)的零点xn满足e(3)由题可得g(x)=sinπx，F(x)=f(x)+sinπx，G(x)=f(x)+csπx，假设存在x1、x2∈R，使得F(x1)=G(x2)+4成立，结合条件和最值的求法的得到(4m+1)(4n−1)=(2t+1)(8k+2)，由m，n，k，t∈Z，得到等式不成立，从而求得．
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性等，属于难题．月销售单价x(元/件)
10
15
20
25
30
月销售量y(万件)
11
10
8
6
5
1.已知a>b>0，则( )
A. a2>b2B. 2a<2bC. a12
2.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2)，若P(X≤a)=56，则P(|X|≤a)=( )
A. 23B. 12C. 13D. 16
3.已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是( )
A. 若α//β，l⊂α，n⊂β，则l//nB. 若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C. 若l⊥n，m⊥n则l//mD. 若l⊥α，l//β，则α⊥β
4.数列{an}中，Sn是其前n项的和，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称数列{an}为“某数列”.现有如下两个命题：
①等比数列{2n}为“某数列”；
②对任意的等差数列{an}，总存在两个“某数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn.
则下列选项中正确的是( )
A. ①为真命题，②为真命题B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题D. ①为假命题，②为假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.抛物线x2=4y的焦点坐标为______.
6.已知tanα=3，则tan(α−π4)=______.
7.将 a2 a(其中a>0)化为有理数指数幂的形式为______.
8.已知向量a=(2m,2)，b=(1,m+1)，若a⋅b=10，则实数m=______.
9.设实数x、y满足(x+yi)i−2+4i=(x−yi)(1+i)(i为虚数单位)，则x+y=______.
10.有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为______.
11.已知集合A={2,|a+1|,a+3}，且1∈A，则实数a的值为______.
12.在数列{an}中，a1=2，且an=an−1+lgnn−1(n≥2)，则a100=______.
13.某公司为了了解某商品的月销售量y(单位：万件)与月销售单价x(单位：元/件)之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：
由表中数据可得回归方程y=ax+b中a =−0.32，试预测当月销售单价为40元/件时，月销售量为______万件.
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60∘，则C的离心率为__________.
15.某区域的地形大致如图1，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.
假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地A1AnBnB1；
假设2：视探照灯为点M，且距离地面20米；
假设3：探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.
当探照灯M以某一俯角从AkAk+1侧扫描到BkBk+1侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环Sk(k=1,2,3,…).由此，通过调整M的俯角，逐次扫描形成扇环S1、S2、S3….
第一次扫描时，光斑的长轴为EF，|OE|=30米，此时在探照灯M处测得点F的俯角为30∘(如图2).记|AkAk+1|=dk，经测量知|A1An|=80米，且{dk}是公差约为0.1米的等差数列，则至少需要经过______次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.
16.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a、b满足：a⋅b=2，|b|=1，且存在实数t，使得|a|−2|a+tb|≥0成立，则由a构成的空间几何体的体积是______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积为 3，求a+c的最小值，并判断此时△ABC的形状.
18.(本小题14分)
如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径.
(1)求证：BP⊥A1P；
(2)若OA=2，∠BOP=60∘，圆柱的体积为16 2π，求异面直线AP与A1B所成角的大小.
19.(本小题16分)
在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为12，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为12，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为35，若前一次没投进，则该次投进的概率为25.
(1)求甲投篮3次得2分的概率；
(2)若乙投篮3次得分为X，求X的分布和期望；
(3)比较甲、乙的比赛结果.
20.(本小题16分)
已知双曲线x2−y22=1的左、右顶点分别为A、B，设点P在第一象限且在双曲线上，O为坐标原点.
(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
(2)若PA⋅PB≤9，求|OP|的取值范围；
(3)椭圆C的长轴长为2 2，且短轴的端点恰好是A、B两点，直线AP与椭圆的另一个交点为Q.记△POA、△QAB的面积分别为S1、S2.求S12−S22的最小值，并写出取最小值时点P的坐标.
21.(本小题18分)
函数y=g(x)的表达式为g(x)=sin(ωx)(ω>0).
(1)若ω=1，直线l与曲线y=g(x)相切于点(π2,1)，求直线l的方程；
(2)函数y=g(x)的最小正周期是2π，令h(x)=x⋅g(x)−lnx，将函数y=h(x)的零点由小到大依次记为x1，x2，⋯，xn，⋯(n≥1,n∈N)，证明：数列{sinxn}是严格减数列；
(3)已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+2a)=−f(x)(a>0)，对任意x∈[0,2a]，当x≠a时，都有f(x)
当ω=π时，是否存在x1、x2∈R，使得F(x1)=G(x2)+4成立？若存在，求出符合题意的x1、x2；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：a>b>0，
则a2>b2，故A正确；
2a>2b，故B错误；
a12>b12，故C错误；
lg12a
根据已知条件，结合不等式的性质，以及函数单调性，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，以及函数单调性，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由随机变量X服从正态分布N(0,σ2)，
因为P(X≤a)=56，可得P(X>a)=P(X<−a)=1−P(X≤a)=1−56=16，
所以P(|X|≤a)=1−2P(X>a)=1−2×16=23.
故选：A.
根据题意，利用正态分布曲线的对称性，结合P(|X|≤a)=1−2P(X>a)，即可求解．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，l与n可能平行，也可能异面，A错误；
对于B，l与β可能平行、也能相交，B错误；
对于C，l与m可以平行、也可以相交或异面，C错误；
对于D，若l⊥α，l//β，必有α⊥β，D正确；
故选：D.
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查直线、平面的位置关系，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于①，由等比数列{2n}可得Sn=2n+1−2，
若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则2n+1−2=2m，即2n+1=2m+2，显然不成立，故①为假命题；
对于②，设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+(n−1)d=na1+(n−1)(d−a1)(n∈N*).
令bn=na1，cn=(n−1)(d−a1)，则an=bn+cn(n∈N*).
下面证{bn}是“某数列”．
设{bn}的前n项和为Tn，则Tn=n(n+1)2a1(n∈N*).
于是对任意的正整数n，总存在正整数m=n(n+1)2，使得Tn=bn，所以{bn}是“某数列”．
同理，可证{cn}也是“H数列”．
所以对任意的等差数列{an}，总存在两个“某数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)成立，故②为真命题．
故选：C.
由等比数列{2n}结合新定义即可判断①，若an=a1+(n−1)d，设bn=na1，cn=(n−1)(d−a1)，再由新定义可得则an=bn+cn，即可判断②．
本题考查新定义的理解和运用，考查等比数列的通项和求和，考查推理和运算能力，属于中档题．
5.【答案】(0,1)
【解析】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴p2=1
∴抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1)
故答案为：(0,1)
由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．
本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，属于基础题．
6.【答案】12
【解析】解：因为tanα=3，
所以tan(α−π4)=tanα−11+tanα=3−11+3=12.
故答案为：12.
由已知结合两角差的正切公式进行化简即可求解．
本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题．
7.【答案】a54
【解析】解： a2 a= a2⋅a12= a52=a54.
故答案为：a54.
利用根式与分数指数幂的互化求解．
本题主要考查了根式与分数指数幂的互化，属于基础题．
8.【答案】2
【解析】解：∵a=(2m,2)，b=(1,m+1)，a⋅b=10，
∴2m+2(m+1)=10，
∴m=2.
故答案为：2.
直接根据题意建立方程即可求解．
本题考查向量数量积的运算，方程思想，属基础题．
9.【答案】2
【解析】解：由(x+yi)i−2+4i=(x−yi)(1+i)，
得xi−y−2+4i=x−yi+xi+y，即(−y−2)+(x+4)i=(x+y)+(x−y)i，
则−y−2=x+yx+4=x−y，解得x=6y=−4.
∴x+y=6−4=2.
故答案为：2.
利用复数代数形式的乘法运算把已知等式变形，再由复数相等的条件列式求解．
本题考查复数相等的条件，考查方程组的解法，是基础题．
10.【答案】7.5
【解析】解：根据题意得：3+5+x+8+9+106=10−3，解得x=7，
∴这组数据的中位数为：7+82=7.5.
故答案为：7.5.
根据极差和中位数相等可求出x，然后根据中位数的计算方法即可求出中位数．
本题考查了极差、平均数和中位数的计算方法，考查了计算能力，是基础题．
11.【答案】0
【解析】解：因为集合A={2,|a+1|,a+3}，且1∈A，
所以|a+1|=1或a+3=1，
所以a=0或a=−2，
当a=0时，A={2,1,3}，符合题意，
当a=−2时，A={2,1,1}，与集合元素的互异性矛盾．
故答案为：0.
由已知结合元素与集合的关系即可求解．
本题主要考查了元素与集合关系及集合元素的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】4
【解析】解：在数列{an}中，a1=2，且an=an−1+lgnn−1(n≥2)，
∴a2=2+lg2，
a3=2+lg2+lg32=2+lg3，
a4=2+lg3+lg43=2+lg4，
由此猜想an=2+lgn.
下面用数学归纳法证明：
①a1=2+ln1=2，成立，
②假设ak=2+lgk成立，
则ak+1=2+lgk+lgk+kk=2+lg(k+1)成立，
由①②得an=2+lgn，
则a100=2+lg100=4.
故答案为：4.
利用递推公式求出数列{an}的前4项，由此猜想an=2+lgn.再用数学归纳法证明，由此能求出a100.
本题考查数列的递推公式、递推思想、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】1.6
【解析】解：由题意可知，x−=10+15+20+25+305=20，y−=11+10+8+6+55=8，
所以样本中心点坐标为(20,8)，代入回归方程y=−0.32x+b得，8=−0.32×20+b，
解得b=14.4，
所以回归方程为y=−0.32x+14.4，
当x=40时，y=1.6，
即当月销售单价为40元/件时，月销售量约为1.6万件．
故答案为：1.6.
先求出样本中心点坐标(x−,y−)，代入回归方程求出b的值，再进行预测即可．
本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题．
14.【答案】2 33
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，属于基础题．
利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：双曲线右顶点为A(a,0)，
∵∠MAN=60∘，故△MAN为等边三角形，
则A到渐近线的距离为b⋅cs30∘= 32b，
不妨设渐近线方程为bx+ay=0，
所以|ab| a2+b2= 32b，即ac= 32，
所以离心率为e=2 33.
故答案为2 33.
15.【答案】15
【解析】解：因为在Rt△MOF中，
∠F=30∘，OM=20，
所以OF=20 3，EF=20 3−30，
故AA1=20 3−30，
故{dk}是以20 3−30为首项，以0.1为公差的等差数列，
故Sk=(20 3−30)k+k(k−1)2×0.1，
而S14=74.06<80，S15≈80.1>80，
故kmin=15.
所以至少需要15次才能将整个警戒区域扫描完毕．
故答案为：15.
由题意可得AA1=20 3−30，从而得故{dk}是以20 3−30为首项，以0.1为公差的等差数列，由等差数的求和公式可得Sk=(20 3−30)k+k(k−1)2×0.1，再由Sk≥80求解即可．
本题考查了数列在生活中的实际运用，属于中档题．
16.【答案】8π9
【解析】解：由已知得|a|2≥4|a+tb|2，所以3|a|2+8ta⋅b+4t2|b|2≤0，
所以存在实数t，使得不等式4t2+16t+3|a|2≤0有解，
则有Δ=162−4×4×(3a2)≥0，解得|a|≤4 3，
又因为a⋅b=2且|b|=1，所以a在b方向上的数量投影是2，
所以a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为4 3的圆锥，
故由a构成的空间几何体的体积为13π⋅(2 3)2⋅2=8π9.
故答案为：8π9.
由不等式有解，结合数量积运算，求得|a|≤4 3，又a⋅b=2且|b|=1，可得a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为4 3的圆锥，从而根据锥体体积公式求得结论．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查不等式能成立问题及锥体体积公式，属中档题．
17.【答案】解：(1)由正弦定理得a2+c2=b2+ac，
又由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
因为B是三角形内角，所以B=π3；
(2)由三角形面积公式得：
S△ABC=12acsinB=12acsinπ3= 34ac= 3，
解得ac=4，
因为a+c≥2 ac=4，当且仅当a=c=2时取等号，
所以a+c的最小值为4，此时△ABC为等边三角形．
【解析】(1)利用边角互化思想得a2+c2−b2=ac，由余弦定理求出csB的值，从而得出角B的值；
(2)由三角形的面积公式得出ac的值，再由基本不等式即可计算得解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：易知AP⊥BP，
又由AA1⊥平面PAB，得AA1⊥BP，
从而BP⊥平面PAA1，故BP⊥A1P；
(2)延长PO交圆O于点Q，连接BQ、A1Q、AQ，
易知BQ//AP，∠A1BQ(或其补角)即为所求的角，
由题知V=π⋅OA2⋅AA1=4π⋅AA1=16 2π，
解得AA1=4 2，
△A1BQ中，QB=2 3,A1Q=6,A1B=4 3，
由余弦定理得cs∠A1BQ=12+48−362⋅2 3⋅4 3=12，
从而∠A1BQ=60∘，
所以异面直线AP与A1B所成角的大小为60∘.
【解析】(1)根据圆柱的几何特征及圆周角定理，我们易根据已知中点P在圆柱OO1的底面圆周上，AB为圆O的直径，得到AP⊥BP，AA1⊥BP，结合线面垂直的判定定理得到BP⊥平面PAA1后，易进一步得到BP⊥A1P；
(2)延长PO交圆O于点Q，连接BQ，A1Q，结合圆柱的体积为16 2π，OA=2，∠BOP=120∘，我们易得∠A1BQ即为异面直线A1B与AP所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案．
本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及异面直线及其所成的角，其中熟练掌握圆柱的几何特征，并从中分析出相关直线之间的位置关系是解答本题的关键，是中档题．
19.【答案】解：(1)甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率p=C3112×(1−12)2=38；
(2)由题意知X的所有可能取值为0，2，4，6，
则P(X=0)=12×35×35=950，P(X=2)=12×25×35+12×25×25+12×35×25=825，
P(X=4)=12×35×25+12×25×25+12×25×35=825，P(X=6)=12×35×35=950，
随机变量X的分布为(0950282548256950)，
期望E(X)=0×950+2×825+4×825+6×950=3；
(3)设甲三次投篮的得分Y，则Y=0，2，4，6，
可求得随机变量Y的分布为(018238438618)，
所以E(Y)=0×18+2×38+4×38+6×18=3，
D(Y)=02×18+22×38+42×38+62×18−32=3，
又可算得D(X)=02×950+22×825+42×825+62×950−32=9725，
因为E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，
所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定．
【解析】(1)根据题意结合二项分布的概率公式求解；
(2)根据题意结合独立事件的概率乘法公式求分布列，进而可得期望．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布和期望，属于中档题．
20.【答案】解：(1)两条渐近线方程为 2x±y=0，
所以n1=( 2,1),n2=( 2,−1)
设两条直线夹角为θ，则csθ=|2−1 3⋅ 3|=13，
所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为13.
(2)设P(x1,y1)，(x1>1,y1>0)，由已知得A(−1,0)、B(1,0)，
PA=(−1−x1,−y1)，PB=(1−x1,−y1)，
则PA⋅PB=x12−1+y12≤9，
得x12+y12≤10，
又点P在双曲线上，有x12−y122=1，即y12=2(x12−1)，
从而x12+2(x12−1)≤10，
所以x12≤4，
又点P是双曲线在第一象限的点，
所以x12∈(1,4],
|OP|2=x12+y12=x12+2(x12−1)=3x12−2∈(1,10],
所以|OP|∈(1, 10].
(3)椭圆C中a= 2,b=1，焦点在y轴上，标准方程为y22+x2=1，
设Q(x2,y2)，(x2>0,y2>0)，直线AP的斜率为k，(k>0)，
则直线AP的方程为y=k(x+1)，
联立方程组y=k(x+1)y22+x2=1，得(2+k2)x2+2k2x+k2−2=0，
该方程的两根分别为−1和x2=2−k22+k2，
同理可得x1=2+k22−k2，
所以x1⋅x2=1，
记S1=S△POA=12×1×y1=y12，S2=S△QAB=12×2×y2=y2，
则S12−S22=y124−y22=14×2(x12−1)−2(1−x22)=12x12+2x22−52=(x122+2x12)−52≥2 1−52=−12，当且仅当x122=2x12即x12=2时取等号，
所以S12−S22的最小值为−12，此时点P的坐标为( 2, 2).
另解：kAP=y1x1+1,kAQ=y2x2+1，
因为kAP=kAQ，
所以y1x1+1=y2x2+1，即(y1x1+1)2=(y2x2+1)2，
又y12=2(x12−1)，y22=2(1−x22)，
代入上式化简得x1−1x1+1=1−x2x2+1，整理得x1⋅x2=1，
记S1=S△POA=12×1×y1=y12，S2=S△QAB=12×2×y2=y2，
则S12−S22=y124−y22=14×2(x12−1)−2(1−x22)=12x12+2x22−52=(x122+2x12)−52≥2 1−52=−12，当且仅当x122=2x12即x12=2时取等号，
所以S12−S22的最小值为−12，此时点P的坐标为( 2, 2).
【解析】(1)根据题意可得两条渐近线方程为 2x±y=0，则n1=( 2,1),n2=( 2,−1)，设两条直线夹角为θ，则csθ=cs
(2)设P(x1,y1)，(x1>1,y1>0)，由已知得PA⋅PB=x12−1+y12≤9，即x12+y12≤10，又点P在双曲线上，有y12=2(x12−1)，推出x12∈(1,4],进而可得答案．
(3)设Q(x2,y2)，(x2>0,y2>0)，直线AP的斜率为k，(k>0)，则直线AP的方程为y=k(x+1)，联立椭圆的方程，可得x2=2−k22+k2，同理可得x1=2+k22−k2，进而可得x1⋅x2=1，再结合基本不等式，计算S12−S22的最值．
另解：由kAP=kAQ，可得(y1x1+1)2=(y2x2+1)2，化简整理得x1⋅x2=1，再结合基本不等式，计算S12−S22的最值．
本题考查直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解(1)当ω=1时，g(x)=sinx，则g′(x)=csx，
所以k=g′(π2)=csπ2=0，
所以直线l的方程是y=1；
(2)证明：由2πω=2π，可知ω=1，则h(x)=xsinx−lnx(x>0)，
令h(x)=0，得sinx=lnxx，
①当0
②当x≥1时，因为(lnxx)′=1−lnxx2，可知y=lnxx在[1,e]上严格单调递增，在[e,+∞)严格单调递减，
又y=sinx在[1,π2]上严格单调递增，在[π2,e]严格单调递减，
所以x∈[1,e]时，y=sinx在x=e时有最小值sine，y=lnxx在x=e时有最大值lnee=1e，
因为sine>1e，所以sinx=lnxx在[1,e]上没有交点，
即h(x)=xsinx−lnx在[1,e]上没有零点；
所以函数y=h(x)的零点xn满足e
又因为sinxn=lnxnxn，所以数列{sinxn}是严格减数列；
(3)因为f(x)=−f(x+2a)=−[−f(x+4a)]=f(x+4a)，
所以y=f(x)是以4a为周期的周期函数，
因为任意x∈[0,2a]，当x≠a时，都有f(x)
由ω=π，得g(x)=sinπx，F(x)=f(x)+sinπx，G(x)=f(x)+csπx，
假设存在x1、x2∈R，使得F(x1)=G(x2)+4成立，
即f(x1)+sinπx1−[f(x2)+csπx2]=4成立，
故当x1=a+4ka(k∈Z)时，f(x1)取得最大值1；
当x1=12+2m(m∈Z)时，sinπx1取得最大值1，
由a+4ka=12+2m，可知a=4m+18k+2①时，(f(x1)+sinπx1)max=2，
又因为y=f(x)是奇函数，所以当x=−a时，f(x)在[−2a,0]上有唯一的最小值−1，
故当x2=−a+4na(k∈Z)时，f(x2)取得最小值−1；
当x2=1+2t(t∈Z)时，csπx2取得最小值−1，
由−a+4na=1+2t，可知a=2t+14n−1②时，(f(x2)+csπx2)min=−2，
若f(x1)+sinπx1−[f(x2)+csπx2]=4成立，
则由①②得：4m+18k+2=2t+14n−1，即(4m+1)(4n−1)=(2t+1)(8k+2)，
因为m，n，k，t∈Z，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立，
因此当ω=π时，不存在x1、x2∈R，使得F(x1)=G(x2)+4成立
【解析】(1)由导数的几何意义即可求得；
(2)题求出ω，利用导数研究函数y=sinx和y=lnxx的单调性，从而得到函数y=h(x)的零点xn满足e
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性等，属于难题．月销售单价x(元/件)
10
15
20
25
30
月销售量y(万件)
11
10
8
6
5
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