2024年中考数学二轮题型突破练习题型2 规律探索（复习讲义）（2份打包，原卷版+教师版）

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探索实数中的规律
关于数式规律性问题的一般解题思路：
(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较；
(2)根据观察猜想、归纳出一般规律；
(3)用得到的规律去解决其他问题。
对数式进行观察的角度及方法：
(1)横向观察：看等号左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系；
(2)纵向观察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系。
给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。这类问题成为探索规律性问题。主要采用归纳法解决。
1.数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题。
2.数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容.
3.图形规律型:多形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合.
4.数形结合猜想型:数形结合猜想型问题首先要观察冬形，从中发现冬形的变化方式，再将冬形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题.
1.根据图中数字的规律，若第 SKIPIF 1 < 0 个图中的 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．100B．121C．144D．169
2．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，正方形 SKIPIF 1 < 0 ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025B．2023C．2021D．2019
4.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
5.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）
A．148B．152C．174D．202
6.已知 SKIPIF 1 < 0 为实数﹐规定运算： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ．按上述方法计算：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过 SKIPIF 1 < 0 个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为 SKIPIF 1 < 0 ，乙烷的化学式为 SKIPIF 1 < 0 ，丙烷的化学式为 SKIPIF 1 < 0 ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
6.人们把 SKIPIF 1 < 0 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 SKIPIF 1 < 0 法就应用了黄金分割数．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ____．
9.观察下列等式： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
……
根据以上规律，计算 SKIPIF 1 < 0 ______．
10.观察以下等式：
第1个等式： SKIPIF 1 < 0 ，
第2个等式： SKIPIF 1 < 0 ，
第3个等式： SKIPIF 1 < 0 ，
第4个等式： SKIPIF 1 < 0 ，……
按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
11.正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第27行的第21个数是______．
12．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，若点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 均为等边三角形．则点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 ．

13．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 的顶点A在直线 SKIPIF 1 < 0 上，顶点B在x轴上， SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 轴，且 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ；过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，交x轴于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直x轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到第一个 SKIPIF 1 < 0 ；过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，交x轴于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直x轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到第二个 SKIPIF 1 < 0 ；如此下去，……，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是 ．
14.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．
15．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l： SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在y轴上，延长 SKIPIF 1 < 0 交直线l于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在y轴上，以同样的方式依次作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，…，正方形 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标是 ．

16.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
17.人们把 SKIPIF 1 < 0 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
18．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆弧； SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆弧， SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆弧， SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆弧，继续以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆心按上述作法得到的曲线 SKIPIF 1 < 0 称为正方形的“渐开线”，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 ．
19．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．把 SKIPIF 1 < 0 按如图所示的方式放置，并将 SKIPIF 1 < 0 进行变换：第一次变换将 SKIPIF 1 < 0 绕着原点O顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，同时边长扩大为 SKIPIF 1 < 0 边长的2倍，得到 SKIPIF 1 < 0 ；第二次旋转将 SKIPIF 1 < 0 绕着原点O顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，同时边长扩大为 SKIPIF 1 < 0 ，边长的2倍，得到 SKIPIF 1 < 0 ，…．依次类推，得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的边长为 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 ．

20.观察下面的等式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．