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2022年天津市高考数学试卷
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这是一份2022年天津市高考数学试卷，共51页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年天津市高考数学试卷
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）
1．（5分）（2022•天津）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}
2．（5分）（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
3．（5分）（2022•天津）函数f（x）＝的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）（2022•天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
5．（5分）已知a＝20.7，b＝（）0.7，c＝log2，则（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b
6．（5分）（2022•天津）化简（2log43+log83）（log32+log92）的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
7．（5分）（2022•天津）已知抛物线y2＝4x，F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若∠F1F2A＝，则双曲线的标准方程为（ ）
A．﹣y2＝1 B．x2﹣＝1 C．x2﹣＝1 D．﹣y2＝1
8．（5分）（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
9．（5分）（2022•天津）已知f（x）＝sin2x，关于该函数有下列四个说法：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在[﹣，]上单调递增；
③当x∈[，]时，f（x）的取值范围为[﹣，]；
④f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10．（5分）（2022•天津）已知i是虚数单位，化简的结果为 ．
11．（5分）（2022•天津）（+）5的展开式中的常数项为 ．
12．（5分）（2022•天津）若直线x﹣y+m＝0（m＞0）与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3相交所得的弦长为m，则m＝ ．
13．（5分）（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 ．
14．（5分）（2022•天津）在△ABC中，＝，＝，D是AC中点，＝2，试用，表示为 ，若⊥，则∠ACB的最大值为 ．
15．（5分）（2022•天津）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共75分）
16．（15分）（2022•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝，b＝2c，cosA＝﹣．
（1）求c的值；
（2）求sin B的值；
（3）求sin（2A﹣B）的值．
17．（15分）（2022•天津）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC1D的正弦值；
（3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．
18．（15分）（2022•天津）设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1．
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）设{an}的前n项和为Sn，求证：（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn；
（3）求[ak+1﹣（﹣1）kak]bk．
19．（15分）（2022•天津）椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足＝．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程．
20．（15分）（2022•天津）已知a，b∈R，函数f（x）＝ex﹣asinx，g（x）＝b．
（1）求函数y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若y＝f（x）和y＝g（x）有公共点．
（ⅰ）当a＝0时，求b的取值范围；
（ⅱ）求证：a2+b2＞e．
2022年天津市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）
1．（5分）（2022•天津）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}
【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；综合法；高考数学专题；集合；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用集合的补集与交集的运算法则求解即可．
【解答】解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，
则A∩（∁UB）＝{0，1，2}∩{﹣2，0，1}＝{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交集，补集的运算法则的应用，是基础题．
2．（5分）（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【考点】充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：x为整数时，2x+1也是整数，充分性成立；
2x+1为整数时，x不一定是整数，如x＝时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件的判断问题，是基础题．
3．（5分）（2022•天津）函数f（x）＝的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】根据函数奇偶性和特殊点，即可判断．
【解答】解：函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∴f（﹣x）＝＝﹣f（x），
∴该函数为奇函数，故A错误；
x＞0时，x→0，f（x）→+∞；x＝1，f（x）＝0；x→+∞，f（x）→+∞，
故BC错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象，属于基础题．
4．（5分）（2022•天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算．
【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，由此能求出结果．
【解答】解：志愿者的总人数为＝50，
∴第3组的人数为50×0.36＝18，
有疗效的人数为18﹣6＝12人．
故选：B．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知a＝20.7，b＝（）0.7，c＝log2，则（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质，判断a＞1＞b＞0＞c．
【解答】解：因为y＝2x是定义域R上的单调增函数，所以20.7＞20＝1，即a＝20.7＞1；
因为y＝是定义域R上的单调减函数，所以＜＝1，且b＝（）0.7，所以0＜b＜1；
因为y＝log2x是定义域（0，+∞）上的单调增函数，所以log2＜log21＝0，即c＝log2＜0；
所以a＞b＞c．
故选：C．
【点评】本题考查了根据指数函数和对数函数的图象与性质判断函数值大小的应用问题，是基础题．
6．（5分）（2022•天津）化简（2log43+log83）（log32+log92）的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【考点】对数的运算性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数的换底公式计算即可．
【解答】解：（2log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）
＝（+）（+）
＝•
＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的换底公式应用问题，是基础题．
7．（5分）（2022•天津）已知抛物线y2＝4x，F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若∠F1F2A＝，则双曲线的标准方程为（ ）
A．﹣y2＝1 B．x2﹣＝1 C．x2﹣＝1 D．﹣y2＝1
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】先由抛物线方程的准线方程，得双曲线的半焦距c，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得|yA|，接着由∠F1F2A＝，可得|yA|＝|F1F2|，从而得b＝2a，最后再通过c2＝a2+b2建立方程即可求解．
【解答】解：由题意可得抛物线的准线为x＝，又抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，
∴c＝，联立，可得|yA|＝，又∠F1F2A＝，
∴|yA|＝|F1F2|，
∴，∴b＝2a，∴b2＝4a2，
又c2＝a2+b2，
∴5＝a2+4a2，
∴a2＝1，b2＝4，
∴双曲线的标准方程为．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质与双曲线的性质，方程思想，属基础题．
8．（5分）（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；直观想象；数学运算．
【分析】根据题目插图和题干对“十字歇山”的结构特征的描述，作出几何体直观图，再求出该组合体的体积．
【解答】解：如图，该组合体由直三棱柱AFD﹣BHC和直三棱柱AEB﹣DGC组成，且ABCD为正方形，
设重叠后的EG与FH交点为I，
作HM⊥CB于M，因为CH＝BH＝3，∠CHB＝120°，
所以CM＝BM＝，HM＝，BC＝AB＝3，
方法①：四个形状相同的三棱锥（I﹣AEB、I﹣BCH，I﹣CDG、I﹣ADF）的体积之和，加上正四棱锥I﹣ABCD的体积：
在直三棱柱AFD﹣BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM，
由AB∩BC＝B可得HM⊥平面ADCB，
正四棱锥I﹣ABCD的高等于HM的长，
VI﹣AEB＝××3××＝，VI﹣ABCD＝＝，
该组合体的体积V＝VI﹣AEB×4+VI﹣ABCD＝×4+＝27；
方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分（正四棱锥I﹣ABCD）的体积：
在直三棱柱AFD﹣BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM，
由AB∩BC＝B可得HM⊥平面ADCB，
正四棱锥I﹣ABCD的高等于HM的长，
VI﹣ABCD＝＝，VAFD﹣BHC＝＝，
该组合体的体积V＝VAFD﹣BHC×2﹣VI﹣ABCD＝2×＝27．
故选：D．
【点评】本题主要考查组合体结构的认识即体积的求法，需要具备一定的直观想象能力，属于中档题．
9．（5分）（2022•天津）已知f（x）＝sin2x，关于该函数有下列四个说法：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在[﹣，]上单调递增；
③当x∈[，]时，f（x）的取值范围为[﹣，]；
④f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：对于f（x）＝sin2x，它的最小正周期为＝π，故①错误；
在[﹣，]，2x∈[﹣，]，函数f（x）单调递增，故②正确；
当x∈[，]时，2x∈[﹣，]，f（x）的取值范围为[﹣，]，故③错误；
f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10．（5分）（2022•天津）已知i是虚数单位，化简的结果为 1﹣5i ．
【考点】复数的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解：＝＝＝1﹣5i，
故答案为：1﹣5i．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
11．（5分）（2022•天津）（+）5的展开式中的常数项为 15 ．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，要求展开式的常数项，只要使得变量的指数等于0，求出r的值，代入系数求出结果．
【解答】解：∵的展开式的通项是＝
要求展开式中的常数项只要使得5﹣5r＝0，即r＝1
∴常数项是×3＝15，
故答案为：15
【点评】本题考查二项式定理，本题解题的关键是写出展开式的通项，这是解决二项式定理有关题目的通法，本题是一个基础题．
12．（5分）（2022•天津）若直线x﹣y+m＝0（m＞0）与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3相交所得的弦长为m，则m＝ 2 ．
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解．
【解答】解：∵圆心C（1，1）到直线x﹣y+m＝0（m＞0）的距离d＝，
又直线与圆相交所得的弦长为m，
∴m＝，
∴，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线与圆相交的弦长问题，点到直线的距离公式，方程思想，属基础题．
13．（5分）（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 ．
【考点】条件概率与独立事件．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率．
【解答】解：由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，
则P（BC）＝＝，P（B）＝＝，
∴P（C|B）＝＝＝，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
14．（5分）（2022•天津）在△ABC中，＝，＝，D是AC中点，＝2，试用，表示为 ，若⊥，则∠ACB的最大值为 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由题意，利用两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式，求出cosC的最小值，可得∠ACB的最大值．
【解答】解：∵△ABC中，＝，＝，D是AC中点，＝2，如图：
∴＝﹣＝+﹣＝+﹣＝．
∵＝﹣＝﹣，⊥，
∴•＝（﹣）•＝（3﹣4+）＝0，即4＝+3，
即4•a•b•cosC＝a2+3b2，即cosC＝≥＝，
当且仅当a＝3b时，等号成立，故cosC的最小值为，故C的最大值为，
即∠ACB的最大值为，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于中档题．
15．（5分）（2022•天津）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 [10，+∞） ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；函数思想；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，分析可知函数g（x）至少有一个零点，可得出Δ≥0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围．
【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，由|x|﹣2＝0可得x＝±2．
要使得函数f（x）至少有3个零点，则函数g（x）至少有一个零点，
则Δ＝a2﹣4（3a﹣5）≥0，
解得a≤2或a≥10．
①当a＝2时，g（x）＝x2﹣2x+1，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：
此时函数f（x）只有两个零点，不满足题意；
②当a＜2时，设函数g（x）的两个零点分别为x1、x2（x1＜x2），
要使得函数f（x）至少有3个零点，则x2≤﹣2，
所以，，解得a∈∅；
③当a＝10时，g（x）＝x2﹣10x+25，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：
由图可知，函数f（x）的零点个数为3，满足题意；
④当a＞10时，设函数g（x）的两个零点分别为x3、x4（x3＜x4），
要使得函数f（x）至少有3个零点，则x3≥2，
可得，解得a＞4，此时a＞10．
综上所述，实数a的取值范围是[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题．
三、解答题（本大题共5小题，共75分）
16．（15分）（2022•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝，b＝2c，cosA＝﹣．
（1）求c的值；
（2）求sin B的值；
（3）求sin（2A﹣B）的值．
【考点】三角形中的几何计算；两角和与差的三角函数；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由余弦定理及题中条件可得c边的值；
（2）由正弦定理可得sinC的值，再由b＝2c及正弦定理可得sinB的值；
（3）求出2A及B角的正余弦值，由两角差的正弦公式可得2A﹣B的正弦值．
【解答】解（1）因为a＝，b＝2c，cosA＝﹣，
由余弦定理可得cosA＝＝＝﹣，
解得：c＝1；
（2）cosA＝﹣，A∈（0，π），所以sinA＝＝，
由b＝2c，可得sinB＝2sinC，
由正弦定理可得＝，即＝，
可得sinC＝，
所以sinB＝2sinC＝2×＝；
（3）因为cosA＝﹣，sinA＝，
所以sin2A＝2sinAcosA＝2×（﹣）×＝﹣，cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝﹣，
sinB＝，可得cosB＝，
所以sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝﹣×﹣（﹣）×＝，
所以sin（2A﹣B）的值为．
【点评】本题考查正余弦定理及两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
17．（15分）（2022•天津）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC1D的正弦值；
（3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．菁优网版权所有
【专题】数形结合；向量法；空间向量及应用；数学建模．
【分析】利用中位线可证（1），建立空间直角坐标系设＝（x，y，z）是平面CC1D的法向量，平面A1CD的法向量为＝（x，y，z），可解．
【解答】解：（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，EG，连接AD交EG于K，
再连接FK，
∵EK∥A1B1，且E是AA1的中点，则K是AD的中点，
∴FK∥AC，EG∥AB，
又FK⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴FK∥平面ABC，
同理可得，EG∥平面ABC，
又FK∩EG＝K，
∴平面EFG∥平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，则可建立如图所示的空间直角坐标系，
又AA1＝AB＝AC＝2，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．
故B（2，2，0），E（1，0，0），C（2，0，2），C1（0，0，2），D（0，1，0），
则＝（﹣1，﹣2，0），＝（﹣2，0，0），＝（﹣2，1，﹣2），
设＝（x，y，z）是平面CC1D的法向量，则有：＝0，•＝0，即，令z＝1，则x＝0，y＝2，
所以，
设直线BE与平面CC1D的夹角为θ，则sinθ＝|cos|＝||＝，
（3）∵A1（0，0，0），则＝（2，0，2），＝（0，1，0），
设平面A1CD的法向量为＝（x，y，z），则有＝0，＝0，
即，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，
设平面A1CD与平面CC1D的夹角为β，
所以cosβ＝|cos|＝||＝．
【点评】本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题．
18．（15分）（2022•天津）设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1．
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）设{an}的前n项和为Sn，求证：（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn；
（3）求[ak+1﹣（﹣1）kak]bk．
【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1，可得1+d﹣q＝1，1+2d﹣q2＝1，解得d，q，即可得出an．
（2）由等比数列的性质及通项公式与前n项和的关系结合分析法能证明（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn；
（3）先求出[]b2k﹣1+[a2k+1﹣（﹣1）2k2k]b2k＝2k•4k，利用并项求和，结合错位相减法能求出结果．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1，
∴1+d﹣q＝1，1+2d﹣q2＝1，
解得d＝q＝2，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，bn＝2n﹣1．
（2）证明：∵bn+1＝2bn≠0，
∴要证明（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn，
即证明（Sn+1+an+1）bn＝2Sn+1•bn﹣Snbn，
即证明Sn+1+an+1＝2Sn+1﹣Sn，
即证明an+1＝Sn+1﹣Sn，
由数列的通项公式和前n项和的关系得：an+1＝Sn+1﹣Sn，
∴（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn．
（3）∵[]b2k﹣1+[a2k+1﹣（﹣1）2k2k]b2k
＝（4k﹣1+4k﹣3）×22k﹣2+[4k+1﹣（4k﹣1）]×22k﹣1＝2k•4k，
∴[ak+1﹣（﹣1）kak]bk＝{[a2k﹣（﹣1）2k﹣1a2k﹣1]b2k﹣1+[a2k]b2k}
＝2k•4k，
设Tn＝．
则+•••+2n×4n，①
∴4Tn＝2×42+4×43+6×44+•••+2n×4n+1，②
①﹣②，得：
﹣3Tn＝2（4+42+43+44+•••+4n）﹣2n•4n+1
＝
＝，
∴Tn＝，
∴[ak+1﹣（﹣1）kak]bk＝．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．（15分）（2022•天津）椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足＝．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程．
【考点】直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学抽象；数学运算．
【分析】（1）根据＝建立a，b的等式，再转化为a，c的等式，从而得离心率e的值；
（2）先由（1）将椭圆方程转化为x2+3y2＝a2，再设直线l为y＝kx+m，联立椭圆方程求出点M的坐标，再由Δ＝0及|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为建立方程组，再解方程组即可得解．
【解答】解：（1）∵＝＝，∴，
∴a2＝3b2，
∴a2＝3（a2﹣c2），∴2a2＝3c2，
∴e＝＝；
（2）由（1）可知椭圆为，
即x2+3y2＝a2，
设直线l：y＝kx+m，联立x2+3y2＝a2，消去y可得：
（3k2+1）x2+6kmx+（3m2﹣a2）＝0，又直线l与椭圆只有一个公共点，
∴Δ＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣a）＝0，∴3m2＝a2（3k2+1），
又，∴，
又|OM|＝|ON|，∴，
解得，∴k＝±，
又△OMN的面积为＝＝，
∴，∴m2＝4，
又k＝，3m2＝a2（3k2+1），∴a2＝6，b2＝2，
∴椭圆的标准方程为．
【点评】本题考椭圆的性质，直线与椭圆相切的位置关系，方程思想，属中档题．
20．（15分）（2022•天津）已知a，b∈R，函数f（x）＝ex﹣asinx，g（x）＝b．
（1）求函数y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若y＝f（x）和y＝g（x）有公共点．
（ⅰ）当a＝0时，求b的取值范围；
（ⅱ）求证：a2+b2＞e．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；不等式；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的斜截式方程即可求解；
（2）（ⅰ）将y＝f（x）和y＝g（x）有公共点转化为b＝在（0，+∞）上有解，再构造函数h（x）＝，（x＞0），接着利用导数求出h（x）的值域，从而得b的取值范围；
（ⅱ）令交点的横坐标为x0，则，再利用柯西不等式及结论：x＞0时，x＞sinx，ex＞ex，ex＞x+1放缩即可证明．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ex﹣asinx，∴f′（x）＝ex﹣acosx，
∴f（0）＝1，f′（0）＝1﹣a，
∴函数y＝f（x）在（0，1）处的切线方程为y＝（1﹣a）x+1；
（2）（ⅰ）∵a＝0，∴f（x）＝ex，又y＝f（x）和y＝g（x）有公共点，
∴方程f（x）＝g（x）有解，
即有解，显然x≠0，
∴b＝在（0，+∞）上有解，
设h（x）＝，（x＞0），
∴h′（x）＝，
∴当x∈（0，）时，h′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴，且当x→0时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞，
∴h（x）∈[，+∞），
∴b的范围为[，+∞）；
（ⅱ）证明：令交点的横坐标为x0，则，
∴由柯西不等式可得≤（a2+b2）（sin2x0+x0）
∴a2+b2≥，
又易证x＞0时，x＞sinx，ex＞ex，ex＞x+1，
∴＝＞＝e，
故a2+b2＞e．
【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜截式方程，将方程有解转化为函数值域，柯西不等式，常见不等式的结论，属中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
5．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
6．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
7．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
8．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
9．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
10．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
11．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
12．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
15．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
16．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
18．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
19．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
20．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
21．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
22．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
23．直线与椭圆的综合
v．
24．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
25．条件概率与独立事件
【知识点的知识】
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）＝
【解题方法点拨】
典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是 ．
解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P＝＝
故答案为：
典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出结果．
解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，
P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，
P（ξ＝2）＝++＝，
P（ξ＝3）＝＝，
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A）＝++＝，
P（AB）＝＝，
P（B|A）＝＝＝．
【解题方法点拨】
1、P（B|A）的性质：
（1）非负性：对任意的A∈Ω，0≤P（B|A）≤1；
（2）规范性：P（Ω|B）＝1；P（∅|B）＝0；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）．
2、概率P（B|A）和P（AB）的区别与联系：（1）联系：事件A和B都发生了；
（2）区别：
a、P（B|A）中，事件A和B发生有时间差异，A先B后；在P（AB）中，事件A、B同时发生．
b、样本空间不同，在P（B|A）中，样本空间为A，事件P（AB）中，样本空间仍为Ω．
26．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
27．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁nian﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
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2022年天津市高考数学试卷
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）
1．（5分）（2022•天津）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}
2．（5分）（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
3．（5分）（2022•天津）函数f（x）＝的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）（2022•天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
5．（5分）已知a＝20.7，b＝（）0.7，c＝log2，则（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b
6．（5分）（2022•天津）化简（2log43+log83）（log32+log92）的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
7．（5分）（2022•天津）已知抛物线y2＝4x，F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若∠F1F2A＝，则双曲线的标准方程为（ ）
A．﹣y2＝1 B．x2﹣＝1 C．x2﹣＝1 D．﹣y2＝1
8．（5分）（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
9．（5分）（2022•天津）已知f（x）＝sin2x，关于该函数有下列四个说法：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在[﹣，]上单调递增；
③当x∈[，]时，f（x）的取值范围为[﹣，]；
④f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10．（5分）（2022•天津）已知i是虚数单位，化简的结果为 ．
11．（5分）（2022•天津）（+）5的展开式中的常数项为 ．
12．（5分）（2022•天津）若直线x﹣y+m＝0（m＞0）与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3相交所得的弦长为m，则m＝ ．
13．（5分）（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 ．
14．（5分）（2022•天津）在△ABC中，＝，＝，D是AC中点，＝2，试用，表示为 ，若⊥，则∠ACB的最大值为 ．
15．（5分）（2022•天津）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共75分）
16．（15分）（2022•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝，b＝2c，cosA＝﹣．
（1）求c的值；
（2）求sin B的值；
（3）求sin（2A﹣B）的值．
17．（15分）（2022•天津）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC1D的正弦值；
（3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．
18．（15分）（2022•天津）设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1．
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）设{an}的前n项和为Sn，求证：（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn；
（3）求[ak+1﹣（﹣1）kak]bk．
19．（15分）（2022•天津）椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足＝．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程．
20．（15分）（2022•天津）已知a，b∈R，函数f（x）＝ex﹣asinx，g（x）＝b．
（1）求函数y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若y＝f（x）和y＝g（x）有公共点．
（ⅰ）当a＝0时，求b的取值范围；
（ⅱ）求证：a2+b2＞e．
2022年天津市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）
1．（5分）（2022•天津）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}
【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；综合法；高考数学专题；集合；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用集合的补集与交集的运算法则求解即可．
【解答】解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，
则A∩（∁UB）＝{0，1，2}∩{﹣2，0，1}＝{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交集，补集的运算法则的应用，是基础题．
2．（5分）（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【考点】充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：x为整数时，2x+1也是整数，充分性成立；
2x+1为整数时，x不一定是整数，如x＝时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件的判断问题，是基础题．
3．（5分）（2022•天津）函数f（x）＝的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】根据函数奇偶性和特殊点，即可判断．
【解答】解：函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∴f（﹣x）＝＝﹣f（x），
∴该函数为奇函数，故A错误；
x＞0时，x→0，f（x）→+∞；x＝1，f（x）＝0；x→+∞，f（x）→+∞，
故BC错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象，属于基础题．
4．（5分）（2022•天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算．
【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，由此能求出结果．
【解答】解：志愿者的总人数为＝50，
∴第3组的人数为50×0.36＝18，
有疗效的人数为18﹣6＝12人．
故选：B．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知a＝20.7，b＝（）0.7，c＝log2，则（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质，判断a＞1＞b＞0＞c．
【解答】解：因为y＝2x是定义域R上的单调增函数，所以20.7＞20＝1，即a＝20.7＞1；
因为y＝是定义域R上的单调减函数，所以＜＝1，且b＝（）0.7，所以0＜b＜1；
因为y＝log2x是定义域（0，+∞）上的单调增函数，所以log2＜log21＝0，即c＝log2＜0；
所以a＞b＞c．
故选：C．
【点评】本题考查了根据指数函数和对数函数的图象与性质判断函数值大小的应用问题，是基础题．
6．（5分）（2022•天津）化简（2log43+log83）（log32+log92）的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【考点】对数的运算性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数的换底公式计算即可．
【解答】解：（2log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）
＝（+）（+）
＝•
＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的换底公式应用问题，是基础题．
7．（5分）（2022•天津）已知抛物线y2＝4x，F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若∠F1F2A＝，则双曲线的标准方程为（ ）
A．﹣y2＝1 B．x2﹣＝1 C．x2﹣＝1 D．﹣y2＝1
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】先由抛物线方程的准线方程，得双曲线的半焦距c，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得|yA|，接着由∠F1F2A＝，可得|yA|＝|F1F2|，从而得b＝2a，最后再通过c2＝a2+b2建立方程即可求解．
【解答】解：由题意可得抛物线的准线为x＝，又抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，
∴c＝，联立，可得|yA|＝，又∠F1F2A＝，
∴|yA|＝|F1F2|，
∴，∴b＝2a，∴b2＝4a2，
又c2＝a2+b2，
∴5＝a2+4a2，
∴a2＝1，b2＝4，
∴双曲线的标准方程为．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质与双曲线的性质，方程思想，属基础题．
8．（5分）（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；直观想象；数学运算．
【分析】根据题目插图和题干对“十字歇山”的结构特征的描述，作出几何体直观图，再求出该组合体的体积．
【解答】解：如图，该组合体由直三棱柱AFD﹣BHC和直三棱柱AEB﹣DGC组成，且ABCD为正方形，
设重叠后的EG与FH交点为I，
作HM⊥CB于M，因为CH＝BH＝3，∠CHB＝120°，
所以CM＝BM＝，HM＝，BC＝AB＝3，
方法①：四个形状相同的三棱锥（I﹣AEB、I﹣BCH，I﹣CDG、I﹣ADF）的体积之和，加上正四棱锥I﹣ABCD的体积：
在直三棱柱AFD﹣BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM，
由AB∩BC＝B可得HM⊥平面ADCB，
正四棱锥I﹣ABCD的高等于HM的长，
VI﹣AEB＝××3××＝，VI﹣ABCD＝＝，
该组合体的体积V＝VI﹣AEB×4+VI﹣ABCD＝×4+＝27；
方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分（正四棱锥I﹣ABCD）的体积：
在直三棱柱AFD﹣BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM，
由AB∩BC＝B可得HM⊥平面ADCB，
正四棱锥I﹣ABCD的高等于HM的长，
VI﹣ABCD＝＝，VAFD﹣BHC＝＝，
该组合体的体积V＝VAFD﹣BHC×2﹣VI﹣ABCD＝2×＝27．
故选：D．
【点评】本题主要考查组合体结构的认识即体积的求法，需要具备一定的直观想象能力，属于中档题．
9．（5分）（2022•天津）已知f（x）＝sin2x，关于该函数有下列四个说法：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在[﹣，]上单调递增；
③当x∈[，]时，f（x）的取值范围为[﹣，]；
④f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：对于f（x）＝sin2x，它的最小正周期为＝π，故①错误；
在[﹣，]，2x∈[﹣，]，函数f（x）单调递增，故②正确；
当x∈[，]时，2x∈[﹣，]，f（x）的取值范围为[﹣，]，故③错误；
f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10．（5分）（2022•天津）已知i是虚数单位，化简的结果为 1﹣5i ．
【考点】复数的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解：＝＝＝1﹣5i，
故答案为：1﹣5i．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
11．（5分）（2022•天津）（+）5的展开式中的常数项为 15 ．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，要求展开式的常数项，只要使得变量的指数等于0，求出r的值，代入系数求出结果．
【解答】解：∵的展开式的通项是＝
要求展开式中的常数项只要使得5﹣5r＝0，即r＝1
∴常数项是×3＝15，
故答案为：15
【点评】本题考查二项式定理，本题解题的关键是写出展开式的通项，这是解决二项式定理有关题目的通法，本题是一个基础题．
12．（5分）（2022•天津）若直线x﹣y+m＝0（m＞0）与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3相交所得的弦长为m，则m＝ 2 ．
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解．
【解答】解：∵圆心C（1，1）到直线x﹣y+m＝0（m＞0）的距离d＝，
又直线与圆相交所得的弦长为m，
∴m＝，
∴，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线与圆相交的弦长问题，点到直线的距离公式，方程思想，属基础题．
13．（5分）（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 ．
【考点】条件概率与独立事件．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率．
【解答】解：由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，
则P（BC）＝＝，P（B）＝＝，
∴P（C|B）＝＝＝，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
14．（5分）（2022•天津）在△ABC中，＝，＝，D是AC中点，＝2，试用，表示为 ，若⊥，则∠ACB的最大值为 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由题意，利用两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式，求出cosC的最小值，可得∠ACB的最大值．
【解答】解：∵△ABC中，＝，＝，D是AC中点，＝2，如图：
∴＝﹣＝+﹣＝+﹣＝．
∵＝﹣＝﹣，⊥，
∴•＝（﹣）•＝（3﹣4+）＝0，即4＝+3，
即4•a•b•cosC＝a2+3b2，即cosC＝≥＝，
当且仅当a＝3b时，等号成立，故cosC的最小值为，故C的最大值为，
即∠ACB的最大值为，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于中档题．
15．（5分）（2022•天津）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 [10，+∞） ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；函数思想；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，分析可知函数g（x）至少有一个零点，可得出Δ≥0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围．
【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，由|x|﹣2＝0可得x＝±2．
要使得函数f（x）至少有3个零点，则函数g（x）至少有一个零点，
则Δ＝a2﹣4（3a﹣5）≥0，
解得a≤2或a≥10．
①当a＝2时，g（x）＝x2﹣2x+1，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：
此时函数f（x）只有两个零点，不满足题意；
②当a＜2时，设函数g（x）的两个零点分别为x1、x2（x1＜x2），
要使得函数f（x）至少有3个零点，则x2≤﹣2，
所以，，解得a∈∅；
③当a＝10时，g（x）＝x2﹣10x+25，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：
由图可知，函数f（x）的零点个数为3，满足题意；
④当a＞10时，设函数g（x）的两个零点分别为x3、x4（x3＜x4），
要使得函数f（x）至少有3个零点，则x3≥2，
可得，解得a＞4，此时a＞10．
综上所述，实数a的取值范围是[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题．
三、解答题（本大题共5小题，共75分）
16．（15分）（2022•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝，b＝2c，cosA＝﹣．
（1）求c的值；
（2）求sin B的值；
（3）求sin（2A﹣B）的值．
【考点】三角形中的几何计算；两角和与差的三角函数；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由余弦定理及题中条件可得c边的值；
（2）由正弦定理可得sinC的值，再由b＝2c及正弦定理可得sinB的值；
（3）求出2A及B角的正余弦值，由两角差的正弦公式可得2A﹣B的正弦值．
【解答】解（1）因为a＝，b＝2c，cosA＝﹣，
由余弦定理可得cosA＝＝＝﹣，
解得：c＝1；
（2）cosA＝﹣，A∈（0，π），所以sinA＝＝，
由b＝2c，可得sinB＝2sinC，
由正弦定理可得＝，即＝，
可得sinC＝，
所以sinB＝2sinC＝2×＝；
（3）因为cosA＝﹣，sinA＝，
所以sin2A＝2sinAcosA＝2×（﹣）×＝﹣，cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝﹣，
sinB＝，可得cosB＝，
所以sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝﹣×﹣（﹣）×＝，
所以sin（2A﹣B）的值为．
【点评】本题考查正余弦定理及两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
17．（15分）（2022•天津）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC1D的正弦值；
（3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．菁优网版权所有
【专题】数形结合；向量法；空间向量及应用；数学建模．
【分析】利用中位线可证（1），建立空间直角坐标系设＝（x，y，z）是平面CC1D的法向量，平面A1CD的法向量为＝（x，y，z），可解．
【解答】解：（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，EG，连接AD交EG于K，
再连接FK，
∵EK∥A1B1，且E是AA1的中点，则K是AD的中点，
∴FK∥AC，EG∥AB，
又FK⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴FK∥平面ABC，
同理可得，EG∥平面ABC，
又FK∩EG＝K，
∴平面EFG∥平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，则可建立如图所示的空间直角坐标系，
又AA1＝AB＝AC＝2，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．
故B（2，2，0），E（1，0，0），C（2，0，2），C1（0，0，2），D（0，1，0），
则＝（﹣1，﹣2，0），＝（﹣2，0，0），＝（﹣2，1，﹣2），
设＝（x，y，z）是平面CC1D的法向量，则有：＝0，•＝0，即，令z＝1，则x＝0，y＝2，
所以，
设直线BE与平面CC1D的夹角为θ，则sinθ＝|cos|＝||＝，
（3）∵A1（0，0，0），则＝（2，0，2），＝（0，1，0），
设平面A1CD的法向量为＝（x，y，z），则有＝0，＝0，
即，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，
设平面A1CD与平面CC1D的夹角为β，
所以cosβ＝|cos|＝||＝．
【点评】本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题．
18．（15分）（2022•天津）设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1．
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）设{an}的前n项和为Sn，求证：（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn；
（3）求[ak+1﹣（﹣1）kak]bk．
【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1，可得1+d﹣q＝1，1+2d﹣q2＝1，解得d，q，即可得出an．
（2）由等比数列的性质及通项公式与前n项和的关系结合分析法能证明（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn；
（3）先求出[]b2k﹣1+[a2k+1﹣（﹣1）2k2k]b2k＝2k•4k，利用并项求和，结合错位相减法能求出结果．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1，
∴1+d﹣q＝1，1+2d﹣q2＝1，
解得d＝q＝2，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，bn＝2n﹣1．
（2）证明：∵bn+1＝2bn≠0，
∴要证明（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn，
即证明（Sn+1+an+1）bn＝2Sn+1•bn﹣Snbn，
即证明Sn+1+an+1＝2Sn+1﹣Sn，
即证明an+1＝Sn+1﹣Sn，
由数列的通项公式和前n项和的关系得：an+1＝Sn+1﹣Sn，
∴（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn．
（3）∵[]b2k﹣1+[a2k+1﹣（﹣1）2k2k]b2k
＝（4k﹣1+4k﹣3）×22k﹣2+[4k+1﹣（4k﹣1）]×22k﹣1＝2k•4k，
∴[ak+1﹣（﹣1）kak]bk＝{[a2k﹣（﹣1）2k﹣1a2k﹣1]b2k﹣1+[a2k]b2k}
＝2k•4k，
设Tn＝．
则+•••+2n×4n，①
∴4Tn＝2×42+4×43+6×44+•••+2n×4n+1，②
①﹣②，得：
﹣3Tn＝2（4+42+43+44+•••+4n）﹣2n•4n+1
＝
＝，
∴Tn＝，
∴[ak+1﹣（﹣1）kak]bk＝．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．（15分）（2022•天津）椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足＝．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程．
【考点】直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学抽象；数学运算．
【分析】（1）根据＝建立a，b的等式，再转化为a，c的等式，从而得离心率e的值；
（2）先由（1）将椭圆方程转化为x2+3y2＝a2，再设直线l为y＝kx+m，联立椭圆方程求出点M的坐标，再由Δ＝0及|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为建立方程组，再解方程组即可得解．
【解答】解：（1）∵＝＝，∴，
∴a2＝3b2，
∴a2＝3（a2﹣c2），∴2a2＝3c2，
∴e＝＝；
（2）由（1）可知椭圆为，
即x2+3y2＝a2，
设直线l：y＝kx+m，联立x2+3y2＝a2，消去y可得：
（3k2+1）x2+6kmx+（3m2﹣a2）＝0，又直线l与椭圆只有一个公共点，
∴Δ＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣a）＝0，∴3m2＝a2（3k2+1），
又，∴，
又|OM|＝|ON|，∴，
解得，∴k＝±，
又△OMN的面积为＝＝，
∴，∴m2＝4，
又k＝，3m2＝a2（3k2+1），∴a2＝6，b2＝2，
∴椭圆的标准方程为．
【点评】本题考椭圆的性质，直线与椭圆相切的位置关系，方程思想，属中档题．
20．（15分）（2022•天津）已知a，b∈R，函数f（x）＝ex﹣asinx，g（x）＝b．
（1）求函数y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若y＝f（x）和y＝g（x）有公共点．
（ⅰ）当a＝0时，求b的取值范围；
（ⅱ）求证：a2+b2＞e．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；不等式；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的斜截式方程即可求解；
（2）（ⅰ）将y＝f（x）和y＝g（x）有公共点转化为b＝在（0，+∞）上有解，再构造函数h（x）＝，（x＞0），接着利用导数求出h（x）的值域，从而得b的取值范围；
（ⅱ）令交点的横坐标为x0，则，再利用柯西不等式及结论：x＞0时，x＞sinx，ex＞ex，ex＞x+1放缩即可证明．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ex﹣asinx，∴f′（x）＝ex﹣acosx，
∴f（0）＝1，f′（0）＝1﹣a，
∴函数y＝f（x）在（0，1）处的切线方程为y＝（1﹣a）x+1；
（2）（ⅰ）∵a＝0，∴f（x）＝ex，又y＝f（x）和y＝g（x）有公共点，
∴方程f（x）＝g（x）有解，
即有解，显然x≠0，
∴b＝在（0，+∞）上有解，
设h（x）＝，（x＞0），
∴h′（x）＝，
∴当x∈（0，）时，h′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴，且当x→0时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞，
∴h（x）∈[，+∞），
∴b的范围为[，+∞）；
（ⅱ）证明：令交点的横坐标为x0，则，
∴由柯西不等式可得≤（a2+b2）（sin2x0+x0）
∴a2+b2≥，
又易证x＞0时，x＞sinx，ex＞ex，ex＞x+1，
∴＝＞＝e，
故a2+b2＞e．
【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜截式方程，将方程有解转化为函数值域，柯西不等式，常见不等式的结论，属中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
5．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
6．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
7．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
8．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
9．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
10．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
11．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
12．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
15．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
16．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
18．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
19．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
20．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
21．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
22．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
23．直线与椭圆的综合
v．
24．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
25．条件概率与独立事件
【知识点的知识】
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）＝
【解题方法点拨】
典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是 ．
解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P＝＝
故答案为：
典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出结果．
解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，
P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，
P（ξ＝2）＝++＝，
P（ξ＝3）＝＝，
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A）＝++＝，
P（AB）＝＝，
P（B|A）＝＝＝．
【解题方法点拨】
1、P（B|A）的性质：
（1）非负性：对任意的A∈Ω，0≤P（B|A）≤1；
（2）规范性：P（Ω|B）＝1；P（∅|B）＝0；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）．
2、概率P（B|A）和P（AB）的区别与联系：（1）联系：事件A和B都发生了；
（2）区别：
a、P（B|A）中，事件A和B发生有时间差异，A先B后；在P（AB）中，事件A、B同时发生．
b、样本空间不同，在P（B|A）中，样本空间为A，事件P（AB）中，样本空间仍为Ω．
26．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
27．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁nian﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/5 11:04:12；用户：陈元；邮箱：17666135761；学号：42949630
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