四川省泸州市泸州老窖天府中学2023-2024学年高二下学期第一学月考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省泸州市泸州老窖天府中学2023-2024学年高二下学期第一学月考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．椭圆的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
2．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示,则该物体在s时的瞬时速度为( )
A.0m/sB.1m/sC.2m/sD.3m/s
3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3
4．函数的单调增区间为( )
A.B.C.D.
5．如图是函数的导函数的图象,下列结论正确的是( )
A.在处取得极大值B.是函数的极值点
C.是函数极小值点D.函数在区间上单调递减
6．如图,已知四面体的棱长都是2,点M为棱的中点,则的值为( )
A.1B.-1C.-2D.2
7．已知圆和两点,,若圆C上存在点P,使得,则a的最小值为( )
A.6B.5C.4D.3
8．设函数是奇函数的导函数,,当时,,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知数列中,,,数列的前n项和为,则下列结论正确的是( )
A.是等比数列B.
C.D.
11．已知双曲线的左,右焦点分别是,,其中,过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A,B两点,则下列说法中正确的是( )
A.弦AB的最小值为
B.若,则三角形的周长
C.若AB的中点为M,且AB的斜率为k,则
D.若直线AB的斜率为,则双曲线的离心率
12．已知函数,,则下列说法正确的是( )
A.函数与函数有相同的极小值
B.若方程有唯一实根,则a的取值范围为
C.若方程有两个不同的实根,,则
D.当时,若,则成立
三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为_________.
15．函数在R上是减函数,则a的取值范围为_________.
16．若函数与的图像在实数集R上有且只有3个交点,则实数a的取值范围为_____________．
四、解答题
17．已知是函数的一个极值点.
（1）求实数a的值;
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
18．已知等差数列的前n项和为,,．在正项等比数列中,,．
（1）求与的通项公式;
（2）求数列的前n项和．
19．已知函数,.
（1）若,求证：当时,恒成立;
（2）若方程有两个不同的根,求实数a的取值范围.
20．如图,在四棱锥中,底面是矩形且,M为的中点,,.
（1）证明：平面;
（2）若,求二面角的余弦值.
21．已知抛物线的焦点为F,为C上一点,且.
（1）求C的方程;
（2）过点且斜率存在的直线l与C交于不同的两点A,B,且点B关于x轴的对称点为D,直线与x轴交于点Q.
（i）求点Q的坐标;
（ii）求与的面积之和的最小值.
22．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）设,若对任意的,都有恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：椭圆的焦点在x轴上,
,,,
所以焦点坐标为.
故选：A.
2．答案：D
解析：该物体在时间段上的平均速度为,
当无限趋近于0时,无限趋近于3,即该物体在s时的瞬时速度为3m/s．
故选：D.
3．答案：D
解析：设2名男同学为，，3名女同学为，，
从以上5名同学中任选2人总共有，，，，，，，，，共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有，，共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为，
故选D.
4．答案：C
解析：由题知，定义域为，
所以，
令，解得，
所以的单调增区间为：.
故选：C
5．答案：C
解析：由图象可知：当时,单调递减,当时,,单调递增,
故是函数的极小值点,无极大值.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为点M为棱的中点,
所以,
因为四面体的棱长都是2,
所以,
故选：B.
7．答案：C
解析：由,故点P在圆上,又点P在圆C上,所以两圆有交点,
因为圆的圆心为原点O,半径为a,圆C的圆心为,半径为1,
所以,又,故有,
解得,所以a的最小值为4.
故选：C.
8．答案：B
解析：设,则,当时,,
当时,,即在上单调递减.
由于是奇函数,所以,是偶函数,
所以在上单调递增.
又,
当或时,;
当或时,,
所以当或时,.
即不等式的解集为.
故选：B.
9．答案：BD
解析：对于A,,A错误;
对于B,,B正确;
对于C,,C错误;
对于D,,D正确,
故选：BD.
10．答案：BD
解析：由得,
又,
所以是以2为首项,以2为公比的等比数列,
则,即,
,,,显然,
所以不是等比数列,故A错;
,故B对;
,故C错;
,故D对
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：对于A,

弦AB的最小值为通径,故A正确;
对于B,
由双曲线的定义得,,
所以,,
,
则三角形的周长,故B正确;
对于C,
设,则,
两式相减得
即,即得,
故C正确;
对于D,
若直线AB的斜率为,所以,所以,所以,
所以,故D错误.
故选：ABC.
12．答案：ACD
解析：对于A,定义域,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
定义域,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,故A正确;
对于B,若方程有唯一实根,
由于当时,,且,
结合已求的单调性和最值可知,或,故B错误;
对于C,因为方程有两个不同的实根,假设,则,
则,即,两式相减得,
即,由对数均值不等式,
则,即得证,故C正确;
对于D,当时,若,则,
即,显然,则,
则成立,故D正确.
故选：ACD.
下面补证C选项对数均值不等式：
要证,即证,
设,即证,即证,
令,,
则在单调递增,当时,得证.
13．答案：
解析：由得,
所以,
所以在点处的切线方程为,
即
故答案为：.
14．答案：或0.75
解析：设该队员每次罚球的命中率为p,则有,故.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为,所以,
因为函数在R上是减函数,
所以,恒成立,
则,恒成立,
令,则,
所以,
所以a的取值范围为,
故答案为：
16．答案：
解析：依题意,仅有3个解,显然不是该方程解,则,即仅有3个解,
设,,定义域关于原点对称,且满足,即为奇函数,
考虑时的情况,,,
当时,,即在上单调递减,
当时,,即在上单调递增,
则函数极大值为,且当时,;当时,;
作出函数的大致图像如图所示：
由于仅有3个解,故与函数的图像仅有3个交点,
结合图像可得或,解得或．
故答案为：．
17．答案：（1）3
（2）,
解析：（1）
,
是的一个极值点,.
,,
此时,
令,解剧或,
令,解得,
故为的极值点,故.
（2）由（1）可得在,上单调递增,在上单调递减,
故在上为增函数,在上为减函数,
.
又,,
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d,由条件得,,解得,
所以;
设正项等比数列的公比为q,由条件得,所以,
解得或（负值舍去）,所以．
（2）,
所以,
所以,
相减得,
,
所以．
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）当时,,则,
函数在单调递增,,
当时,恒成立;
（2）由题意有两个不同的零点,
即,即函数与函数有两个不同的交点,
设,令,
当时,,当时,,
在上单调递增,在上单调递减,
,
又,当时,,函数的图象如下,
要使函数与函数有两个不同的交点,则.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为在和中,,,
所以,
因为,,以,
又因为,,,平面,所以平面,
又因为平面,所以,
又因为,,,平面,
所以平面.
（2）因为,所以
由（1）知平面,底面是矩形,
以,,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示：
则,,,
所以,,
由（1）知平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,
则有,即,
取得,
所以,
又二面角是锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
21．答案：（1）
（2）（i）;
（ii）
解析：（1）由题意可得,解得,
所以C的方程为：;
（2）（i）由已知可得直线l的斜率不为0,且过点,
故可设的直线l的方程为,
代入抛物线的方程,
可得,
方程的判别式,
设,,
不妨设,则,,
所以直线AD的方程为：,即
即,令,可得,
所以,所以
所以;
（ii）如图所示,可得,
,
所以与的面积之和
当且仅当时,即时,等号成立,
所以与的面积之和的最小值为.
22．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）因为,则.
若,对任意的,,此时函数的减区间为;
若,由可得,由可得.
此时函数的增区间为,减区间为.
综上所述,当时,函数的减区间为;
当时,函数的增区间为,减区间为.
（2）当时,由,
由可得,
令,其中,,
令,其中,则,
所以,函数在上单调递增,
因为,,
故存在唯一的,使得,即,
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
由可得,
令,其中,则,故函数在上单调递增,
由可得,
因为,则,所以,,即,
所以,,.