2024年山东省菏泽市巨野县九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：像和这样，只有符合不同的两个数叫做相反数，即可．
【详解】∵像和这样，只有符合不同的两个数叫做相反数，
∴的相反数是．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. 我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数；
【详解】解：，
故选：D
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这些公式进行运算即可．
【详解】A选项，和不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B选项，，正确，故符合题意；
C选项，，不正确，故不符合题意；
D选项，，不正确，故不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查整式的运算，属于基础题，熟练掌握同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这些运算法则是解题的关键．
5. 甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ）
A. 主视图B. 俯视图C. 左视图D. 三种视图都改变
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【详解】解：图甲和图乙的主视图相同，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；
左视图相同，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；
图甲的俯视图底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形；
图乙的俯视图底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
所以三视图有改变的是俯视图．
故选：B．
6. 从，3.14，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数、简单的概率计算，根据无理数是无限不循环小数判断出无理数的个数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：在，3.14，，中，是无理数，即无理数有1个，
∴随机抽取一个数，此数是无理数的概率是，
故选：A
7. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）

A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
【答案】C
【解析】
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解.
【详解】解：∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：C.
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.
8. 如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴的度数可能是
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9. 将一副直角三角板作如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，由三角板中角度的特点可得，则，即可判断A；由平角的定义即可判断B；过点F作，则，由平行线的性质得到，进而求出，即可判断C；再由平角的定义即可得到，即可判断D．
【详解】解：∵，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故B结论正确，不符合题意；
如图所示，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∴，
∴，故D结论正确，不符合题意；
故选：C．
10. 直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 若，，则的值为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是先提公因式，则，把，，代入式子，即可作答．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：．
12. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得的取值范围．
【详解】解：解不等式组得：，
∵关于的不等式组有3个整数解，
∴这3个整数解为，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
13. 甲、乙两船从相距150km的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行90km时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为________km/h．
【答案】6
【解析】
【分析】设江水的流速为千米每小时，则甲速度为，乙速度为，根据行驶时间相等列出方程解答即可．
【详解】解：设江水的流速为千米每小时，根据题意得：
，
解得，
经检验符合题意，
答：江水的流速．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键．
14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系成为解题的关键．
先利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，再对两组对应线段进行变形求解即可．
【详解】解：
，
同理可得：，
①+②得，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：3．
15. 如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．

【答案】##
【解析】
【分析】连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，据此求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∴扇形的面积为：，
∵的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
矩形的面积为，
该点取自阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
16. 如图，在边长为2的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为______．
【答案】####1.6
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称在的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．
如图：过点M作于F，推出的最小值为的长，证明四边形为菱形，然后利用相似三角形的判定和性质求得的长即可．
【详解】解：作点P关于的对称点，
由折叠的性质知是的平分线，
∴点在上，
过点M作于F，交于点G，
∵，
∴的最小值为的长，
连接，
由折叠的性质知为线段的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是实数的运算、分式的化简求值．
（1）根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂计算计算；
（2）根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
18. 如图，平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1），；
（2）9； （3）或．
【解析】
【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；
（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．
【小问1详解】
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
小问3详解】
由图象可得，不等式的解集是或．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．
19. 蹴鞠是起源于中国古代的一种足球运动，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在战国时期就开始流行，为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，某学校开展足球射门比赛．随机从报名的学生中抽取了40人，每人射门30次，射中一次得1分，满分30分，得到这40名学生的得分(没有满分学生)，将他们的成绩分成六组：A：分；B：分；C：分；D：分；E：分；F：分，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．
（1）若D组数据为：15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，则这组数据的众数是______，中位数是______；
（2）若将此直方图绘制成扇形统计图，B：分所在扇形的圆心角的度数为______°；
（3）若用每组数据的组中值（如的组中值是）来代表该组同学的平均成绩；
①请求出这40名同学的总成绩；
②若此时再加上5名同学，要使总平均成绩不低于17分，求这5名同学的平均成绩至少为多少分？
【答案】（1）19，
（2）
（3），
【解析】
【分析】本题考查众数定义，中位数定义，条形统计图数据分析，扇形统计图求圆心角度数，平均数定义，一元一次不等式实际应用．
（1）根据众数定义及中位数定义即可得到答案；
（2）先求出B组占比，再乘以即可；
（3）①用每组的组中值乘以对应组的人数即可得到40位学生总成绩；②设这5名同学的平均成绩至少为x分，列出关于x的一元一次不等式即可．
【小问1详解】
解：∵15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，
∴众数为：19，中位数为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵B：分有5人，共40人，
∴，
故答案为：45；
【小问3详解】
解：①根据条形统计图可得：；
②设这5名同学的平均成绩至少为x分，
∴，
解得：，
答：这5名同学的平均成绩至少为分．
20. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）

问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
【答案】（1）；
（2）该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
【解析】
【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；
（2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解．
【小问1详解】
解：∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：作于点C，设与水平面交于点D，则，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面距离为米．
【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21. 某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
（1）求两种商品的销售单价．
（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）的销售单价为元、的销售单价为元
（2）当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题中售出种20件，种10件，销售总额为840元；售出种10件，种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案；
（2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，
答：的销售单价为元、的销售单价为元；
【小问2详解】
解：种商品售价不低于种商品售价，
，解得，即，
设利润为，则
，
，
在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．
22. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
【解析】
【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可，
（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解．
【小问1详解】
连接

∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，为半径，
∴为的切线，
【小问2详解】
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
23. 综合与实践
问题情境：
如图，在正方形中，对角线，相交于点，是线段上一点，连接．
操作探究：
将沿射线平移得到，使点的对应点落在对角线上，与边交于点，连接，．
（）如图，当是的中点时，求证：．
（）如图，当是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由．
拓展延伸：
（）在（）的条件下，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（）证明见解析；（）是等腰直角三角形，理由见解析；（）．
【解析】
【分析】（）连接，根据平移得， ，，，根据是的中点，得到是的中位线，即可求证；
（）是等腰直角三角形．证明，得到，，由，进而得到，即可求证；
（）由()得， ，，即可得，由勾股定理得到，即可得到．
【详解】（）证明：如图，连接，
根据平移得， ，，，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴；
（）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
由平移得，，，
∴，，，
∴ ，
∴ ，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（）解：．
由()得， ，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
24. 【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．

【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或
【解析】
【分析】[建立模型]（1）根据题意得出，，证明，即可得证；
[类比迁移] （2）①过点作轴于点，同（1）的方法，证明，根据一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，求得，，进而可得点的坐标；
②由，设直线的解析式为，将点代入得直线的解析式为；
[拓展延伸]（3）根据解析式求得，；①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同①的方法即可求解．
【详解】[建立模型]（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
[类比迁移]（2）如图所示，过点作轴于点，

∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，
当时，，即，
当时，，即，
∴，
∴，
∴；
②∵，设直线的解析式为，
将代入得：
解得：
∴直线的解析式为，
（3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，
当时，，
解得：，
∴，；
①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），；
②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，

同理可得，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
综上所述，的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．