浙江省宁波市慈溪市文锦书院2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2. 下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． 属于最简二次根式，故本选项符合题意；
C． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中（ ）
A. 没有一个角是锐角
B. 每一个角都是钝角或直角
C. 至少有一个角是钝角或直角
D. 所有角都是锐角
【答案】D
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有角都是锐角．故选：D．
【点睛】本题考查反证法和四边形内角和，解题的关键是掌握反证法和四边形内角和.
4. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出根的判别式的值，根据判别式的值就可以判断根的情况．
【详解】解：∵在方程中，，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数；（3）⇔方程没有实数根，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
5. 若一组数据1，2，3，x，5，6的众数为5，则这组数据的中位数为( )
A. 3B. 3.5C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】解：∵数据1、2、3、x、5、6的众数为5，
∴，
则数据重新排列为1、2、3、5、5、6，
∴中位数为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线垂直的四边形是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定解答即可．
【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
D、对角线垂直的平行四边形是菱形，是假命题；
故选：B．
【点睛】此题主要考查命题的真假，解题的关键是熟知平行四边形、菱形、矩形的判定定理．
7. 如图，对角线，相交于点O，，，则的周长为（ ）

A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理等知识．由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，得出的长，即可得出结论．
【详解】解：∵的对角线，相交于点O，
∴，，，
∵，
∴，是的中位线，
∴，
∴的周长．
故选：D．
8. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，
先求出的值，再根据x的取值范围开平方解答即可
【详解】解：，
，
，
故选：B
9. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率是，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1－降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意可得：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系，列出方程即可．
10. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O作的垂线，分别交于点F，交于点E，G是的中点，且，有下列结论：①；②；③连结，，四边形为菱形；④其中正确的是（ ）
A. ②③B. ③④C. ①②④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】由G是的中点，O为的中点，得到，故②错误，由，得到，由，得到，设，则，，在中，引用勾股定理，求出，进而得到，在中，求出、，即可判断①正确，由，得到，由垂直平分线的性质得到，，即可判断③正确，分别计算，，即可判断④正确，
本题考查了矩形的性质，含角的直角三角形，菱形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：用含的代数式，表示出各个线段的长．
【详解】解：连接，如图，
∵G是的中点，O为的中点，
∴，故②错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，，
∵矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，故①正确，
∵，，，
∴，
∴，
∵O为的中点，，
∴，，即：，
∴四边形为菱形，故③正确，
，，
∴，故④正确，
综上所述：①③④正确，
故选：D．
二、填空题
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式里的被开方数不小于0，依此即可解答．
【详解】解：由题可知：，
解得：，
故答案为：．
12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角．设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13. 已知一组数据，，，…，．的方差是1.5，则另一组数据，，，…，的方差是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据方差的计算公式计算即可．
本题考查了方差的计算，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．
【详解】解：设，，，…，的平均数为，则，，，…，的平均数为，
∵数据，，，…，方差为1.5，
∴，
∴
．
14. 已知，是方程的两实根，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两实根，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 在中，已知两边，，第三边为．若关于的方程有两个相等的实数根，则该三角形的面积是________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据根的判别式求出c的值，分为两种情况，一个是直角三角形，一个是等腰三角形，根据面积公式求出即可．
【详解】∵关于x的方程x2+（c-4）x+=0有两个相等的实数根，
∴△=（c-4）2-4×1×=0，
解得：c=5或3，
当c=5时，∵a=3，b=4，
∴a2+b2=c2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD=，
∴△ABC的面积是
×4×=2，
故答案是：6或2．
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想．
16. 如图，在中，是对角线，，E是中点，平分，连接，．若，，，则的长为_______．
【答案】##3.5
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长，交于点H，由“”可证，可得，，由三角形中位线定理可求解．
【详解】解：如图，延长，交于点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵E是的中点，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17. 计算与解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，即可求解，
（2）应用公式法解一元二次方程，即可求解，
本题考查了，二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握二次根式的运算法则和公式法解一元二次方程．
【小问1详解】
解：
，
【小问2详解】
解：
，，，
，．
18. 如图分别是4×5的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出下列图形，所画的图形的各个顶点均在格点上．
（1）请在图中画一个四边形ABCD，使得四边形ABCD为轴对称图形；
（2）请在图中画一个四边形ABEF，使得四边形ABEF为中心对称图形且不是轴对称图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）作点A、B关于某直线的对称点得到等腰梯形ABCD；
（2）把AB平移得到平行四边形ABEF．
【详解】（1）如图①，如图，四边形ABCD为所作；
（2）如图②，四边形ABEF为所作．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
19. 某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调整，井绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数．
【答案】（Ⅰ）40；25；（Ⅱ）众数为5；中位数是6；平均数是5.8；（Ⅲ）估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数约为360人．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据各组频数之和等于总数即可求出接受调查人数，用第三组频数除以总数得出百分比即可求出m；
（Ⅱ）根据“众数是出现次数最多的数”、“数据排序后，第20和21个数的平均数”、“加权平均数计算公式”计算即可；
（Ⅲ）由扇形图得课外阅读时间大于的占比20%+10%=30%，用1200×30%即可求解．
【详解】解：（Ⅰ）6+12+10+8+4=40；，∴m=25；
（Ⅱ）∵这组样本数据中，5出现了12次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为5；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为6，则，
∴这组数据的中位数是6；
由条形统计图可得，
∴这组数据的平均数是5.8；
（Ⅲ）（人）
答：估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数约为360人．
【点睛】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、平均数、众数、中位数、用样本估计总体等知识．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键．
21. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，王英举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖王英真聪明，肯定了她的说法．现请你根据王英的说法解答下列问题：
（1）请表示出的小数部分；
（2）若a为的小数部分，b为的整数部分，求的值；
（3）已知，其中x是一个正整数，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）117
【解析】
【分析】（1）估算出的取值范围，进而可得出结论；
（2）估算出和的大致范围，然后可求得、的值，然后再求代数式的值即可．
（3）算出的大致范围，然后表示出x和y，最后进行计算即可．
【小问1详解】
，
，
的小数部分是；
【小问2详解】
，
，
∴，
，
，
．
；
【小问3详解】
∵
∴
∴
∵x是一个正整数，，
∴x是的整数部分，y是的小数部分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，正确估算无理数的大小是解题的关键．
22. 在“五一”期间，某水果超市调查两种新疆干枣的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：干枣的进价是每千克8元，售价16元，干枣的进价是每千克14元，售价20元．
小张：当干枣销售价每千克20元时，每天可售出30千克，若每千克降低1元，平均每天可多售出10千克．
根据他们的对话，解决下面所给的问题：
（1）该水果店第一次用2500元直接购进这两种干枣共200千克，问这两种干枣各购进多少千克？若全部售出，共获得多少利润？
（2）为了给顾客优惠，将销售价定为每千克多少元时，才能使干枣平均每天的销售利润为200元？
【答案】（1）50千克，150千克；利润1300元
（2）将销售价定为每千克18元时，能使干枣平均每天的销售利润为200元
【解析】
【分析】（1）设购进干枣千克，购进干枣千克，根据“水果店第一次用2500元直接购进这两种干枣共200千克”，列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设干枣的售价定为每千克元，则每千克的销售利润为元，平均每天可售出千克，根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：设购进干枣千克，购进干枣千克，
根据题意可得：
，
解得：，
购进干枣50千克，购进干枣150千克，
利润为：（元）；
【小问2详解】
解：设干枣的售价定为每千克元，则每千克的销售利润为元，
平均每天可售出千克，
根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
∵要给顾客优惠，
∴不符合题意舍去，
∴，
答：将销售价定为每千克18元时，能使干枣B平均每天的销售利润为200元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键．
23. 问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；
问题探究
（2）如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；
解决问题
（3）如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）图见解析，；（2）S△AOM＝S△BON，理由见解析；（3）存在，
【解析】
【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将△ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；
（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出△AOM与△BON的面积相等；
（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，则△OBG的面积等于△AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为△BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．
【详解】（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝，
∵点D为BC的中点，
∴AD＝BC＝．
（2）S△AOM＝S△BON，理由如下：
由图可知，S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，
如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，
∴MD∥NE，∠MDE＝90°，
又∵MN∥DE，
∴四边形MDEN是矩形，
∴MD＝NE，
∵S△ABM＝，S△ABN＝，
∴S△ABM＝S△ABN，
∴S△AOM＝S△BON．
（3）存在，直线BP的表达式为：y＝x+4．
如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，
由（2）的结论可知，S△OBG＝S△AFG，
∴S四边形OACB＝S△BCF，
取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求．
∵A(4,0)，B(0,4)，C(6,6)，
∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4，
线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12，
∵OF∥AB，且直线OF过原点，
∴直线OF的表达式为：y＝﹣x，
联立，解得，
∴F（3，﹣3），
∵点P是CF的中点，
∴P，
∴直线BP的表达式为：y＝x+4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形一边上的中线的性质以及待定系数法求一次函数解析式等内容，作出辅助线并进行面积转化是解决本题第三问的关键．
24. 在矩形中，，O为中点，平分，E、F分别在边、上，连结，且经过点O．
（1）如图1，求证四边形为菱形，并求长；
（2）如图2，动点P、O分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请画出符合题意的图形，并求a与b满足的数量关系式．
【答案】（1）证明见解析；AF=5cm
（2）①；②图形见解析；a+b=12
【解析】
【分析】（1）利用SAS证明△AOE≌△COF，得OE= OF，可知四边形AFCE是平行四边形，再说明AF=CF即可证明是菱形，设菱形的边长AF= CF= xcm，则BF= (8- x)cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理得：42 + (8-x)2=x2， 解方程即可；
（2）①通过判断可知因此只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形，根据QA= PC，从而得出答案；
②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况分别画出图形，从而解决问题．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥ BC，
∴∠CAD= ∠ACB，∠AEF= ∠CFE，
∵O为AC中点，
∴OA = OC，
∴△AOE≌△COF (AAS)，
∴OЕ = OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC平分∠EАF，
∴∠CАD=∠CАF，
∵∠CAD= ∠ACB，
∴∠CАF =∠ACB，
∴AF=CF，
∴四边形AFCE为菱形；
设菱形的边长AF= CF = xcm，则BF=(8- x)сm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得42 + (8-x)2=x2
解得x =5，
∴AF= 5；
【小问2详解】
解：①∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，AF=5，CD=4
∴当点P在AF上时，Q点在CD上，此时A，C， P，Q的四点不可能构成平行四边形，
同理，P点在AB上时，Q点在DE或CE上也不能构成平行四边形，
因此只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q的四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC= QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC = 5tcm，QA=CD+AD-4t=12-4t，
即QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得，
∴当A、C、P、Q四点为顶点四边形是平行四边形时，t的值为；
②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况：
Ⅰ：如图，
当P点在AF上，Q点在CE上，AP= CQ，即a= 12- b，
∴a+b= 12；
Ⅱ：如图，
当P点在BF上，Q点在DE上时，AQ = CP，即12- b= a，
∴a+b= 12；
Ⅲ：如图，
当P点在AB上，Q点在CD上时，AP = CQ，即12-a=b，
∴a+b= 12；
综上，a与b满足的数量关系为a+b= 12(ab≠0)．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，化动为静，运用分类讨论思想是解题的关键．