河南省商丘市柘城县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题(每题3分，共30分)
1. 下列各数：，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，．无理数有（ ）个
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数，根据无理数是无限不循环小数解答即可．
【详解】解：，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，中，
无理数有：，，，，共4个．
故选：B．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 9的算术平方根是B. 的平方根是
C. 0的算术平方根是0D. 的立方根是
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根，立方根的定义判断解答即可，本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】9的算术平方根是3；没有平方根；0的算术平方根是0；的立方根是．
故选C．
3. 若与互为相反数，则的值为（ ）
A. 或3B. 或5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题利用立方根知识：一个数的立方根与它本身的符号相同，据此知道（1-2x）和（3x-5）也互为相反数，列方程求解即可．
【详解】∵与互为相反数，
∴（1-2x）和（3x-5）也互为相反数，
即（1-2x）+（3x-5）=0，
解得：x=4，
∴=1-2=-1；
故选：D．
【点睛】此题考查立方根的相关知识，一个数的立方根与它本身的符号相同是此题解题的关键．
4. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 是64的立方根
B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C. 在平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D. 如果，那么与互为邻补角
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理、平行线的性质、立方根等知识；熟练掌握平行线的性质、平行线的判定和立方根以及邻补角的定义是解题的关键．根据平行线的性质、平行线的判定和立方根以及邻补角的定义判断即可．
【详解】解：A、4是64的立方根，原命题是假命题；
B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、在平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；
D、如果，那么与互为补角，原命题是假命题；
故选：C．
5. 如图，将平移得到，下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质判断即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，，，，，
故选项A、B、D结论成立，不符合题意，
选项C结论不一定成立，符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的面积，平移的性质，平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
6. 如图，在数轴上表示实数+1的点可能是（ ）
A. PB. QC. RD. S
【答案】B
【解析】
【分析】先判断出+1的范围，然后根据数轴判断即可．
【详解】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴在数轴上表示实数+1的点可能是Q．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的大小，确定出+1的范围是解题的关键．
7. 如图，与相较于点C，下列推理错误的是（ ）
A. ∵，∴B. ∵，∴
C. ∵，∴D. ∵，∴
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直的定义和平行线的判定和性质，进行逐项判断即可．
【详解】A.∵，
∴∠ACD=90°，
∴，故A正确，不符合题意；
B.∵，
∴∠ECF+∠F=180°，
∵，
∴，故B正确，不符合题意；
C.∵，
∴，故C正确，不符合题意；
D.∵与不是关于AB和CE的同位角，也不是关于AB和CE的内错角，
∴不一定能判定，故D错误，不符合题意．
【点睛】本题主要考考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质和判定，是解题的关键．
8. 如图，直线，在某平面直角坐标系中，x轴，y轴，点P的坐标为，点Q的坐标为，则坐标原点为（ ）．
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】C
【解析】
【分析】依据点P的坐标为，点Q的坐标为，即可得到原点在点P的右方1个单位，下方2个单位处，原点在点Q的右方3个单位，上方1个单位处，进而得出点C符合题意．
【详解】解：∵点P的坐标为，
∴P在第二象限，
∴原点在点P的右方1个单位，下方2个单位处，
∵点Q的坐标为，
∴点Q位于第三象限，
∴原点在点Q的右方3个单位，上方1个单位处，
由此可知点C符合．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握坐标的概念以及不同象限内点的符号特征．
9. 如图，将长方形ABCD纸片沿EF折叠，折叠后DE与BF相交于点P，若，则∠PEF的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用翻折的性质，根据翻折的性质，得∠PEF＝∠EF＝∠DE，然后根据两直线平行，内错角相等，求得，即可求得的∠PEF度数．
【详解】解：如图，
根据翻折的性质，得∠PEF＝∠EF＝∠DE，
∵由题意得A∥B，
∴，
∴∠PEF＝∠EF＝∠DE＝65°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为、、、、、，…，根据这个规律，第2024个点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点坐标规律探究，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，据此求解即可．
【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
右下角的点的横坐标为1，共有1个，，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，，
…，
右下角的点的横坐标为n时，共有个，
∵，
∴第2025个点的坐标是，
∴2024个点的纵坐标往上数1个单位为1，
∴2024个点的坐标是；
故选C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 比较大小：7________（填“”、“”或“”）
【答案】＜
【解析】
【分析】将7化成，然后比较被开方数即可比较大小．
【详解】解：∵7＝，而＜，
∴7＜．
故答案为＜．
【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
12. 若实数是介于到之间的无理数，则实数可以是______（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，无理数的估算，根据题意写出一个介于到之间的无理数，即可求解．
【详解】解：∵，且是无理数
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，两面平面镜OA、OB形成∠AOB，从OB上一点E射出的一条光线经OA上一点D反射后的光线DC恰好与OB平行，已知∠AOB＝35°，∠ODE＝∠ADC，则∠DEB的度数是_________．
【答案】70°##70度
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数．
【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；
在△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，
∴∠2=90°-35°=55°；
∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键掌握入射角等于反射角．
14. 若点向下平移2个单位得到点，则的值是______________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据点坐标平移规律确定x、y的值，再代入开立方即可．
【详解】点向下平移2个单位得到点，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求立方根，点坐标平移的规律，即横坐标左减右加，纵坐标上加下减，熟练掌握知识点是解题的关键．
15. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为______．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过拐点构造平行线．过点作，过点作，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点作，过点作，则

∴,
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、计算题(本题共8题，共75分)
16. 计算：
（1）．
（2）已知x是的立方根，y是17的算术平方根．求的平方根．
【答案】（1）
（2）的平方根为
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式利用算术平方根、立方根性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）利用算术平方根、立方根、平方根性质即可求解．
【小问1详解】
解：原式．
【小问2详解】
解：∵x是的立方根，
∴，
∵y是17的算术平方根，
∴，
∴，
∴的平方根为．
17. 求下列各式中的x．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题利用立方根和平方根的定义解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解答本题的关键．
（1）先把两边都除以8，然后利用立方根意义求解即可；
（2）先把两边都除以36，然后利用平方根意义求解即可．
【小问1详解】
∵
∴
∴
小问2详解】
∵
∴
∴或
∴或
18. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）在图中画出；
（3）写出的面积．
【答案】（1）A1 （3，1），B1 （1，-1），C1（4，-2）
（2）见解析 （3）6
【解析】
【分析】（1）根据点P、的坐标确定出平移规律，再求出的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用△AO所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【小问1详解】
解：∵点P（a，b）对应点为（a+6，b-2），
∴平移规律为向右6个单位，向下2个单位，
∴A（-3，3），B（-5，1），C（-2，0）的对应点的坐标为（3，1），（1，-1），（4，-2）；
【小问2详解】
解：如图所示；
【小问3详解】
解：△AOA1的面积=6×3-×3×3-×3×1-×6×2
=18---6
=18-12
=6．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
19. 如图，点O在直线上，点E、F、G在直线上，连接，其中，，．
（1）证明：；
（2）当时，请求出的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，，可知，，，，则，由，可得，进而结论得证；
（2）由，，可得，，根据，即，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的度数为．
【点睛】本题考查了内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
20. 已知当m，n都是实数，且满足时，称为“柘城点”
（1）请任意写出一个“柘城点”：______；
（2）判断点是否为“柘城点”，并说明理由；
（3）若点是“柘城点”，请通过计算判断点C是第几象限？
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）点不是“柘城点”，理由见解析
（3）点C在第三象限
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关键．
（1）当时，根据新定义计算出的值，即可确顶点坐标；
（2）根据新定义可知，求出的值，再根据，求出的值，即可确定纵坐标，然后再判断即可；
（3）根据是“柘城点”，可得，，表示出和，再根据，可得，求出的值，进一步即可确定点坐标，从而可确定点所在象限．
【小问1详解】
解：当时，
∵
∴
∴，；
∴点是一个“柘城点”（答案不唯一）
【小问2详解】
解：点不是“柘城点”
当时，，
∴，
∴，
∴
∴点不是“柘城点”
【小问3详解】
解：∵是“柘城点”，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在第三象限．
21. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图(1)是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．
求证：．
证明∶如图，延长交于点．
∵（已知），
∴（_________）
又∵(已知)，
∴（________）
∴____________（________）
∴_______+_______（_______）
∵（已知），
∴_______（__________）
∴．
【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同旁内角互补．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，先根据证得，再根据已知等量代换证得，利用同位角相等，两直线平行证得，再根据平行线的性质，，等量代换得出．
【详解】证明：如图，延长交于点．
（已知），
（两直线平行，内错角相等）．
又（已知），
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）．
又（已知），
（两直线平行，同旁内角互补）．
（等量代换）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同旁内角互补．
22. 阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程.
（2）若和为两个相邻整数，则____________.
（3）若和为相差4的两个整数，求的值．
【答案】（1）平方，
（2）25 （3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）根据证明过程补全即可；
（2）根据已知结论，得出，求出的值即可；
（3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：平方，；
【小问2详解】
解：由题意可知，，
，
即，
故答案为：25．
【小问3详解】
解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：，
，
，
．
23. 如图1，，直线与、分别交于点A，D，点B在直线上，过点B作，垂足为点G．
（1）求证：；
（2）若点C在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明与的数量关系．
【答案】（1）
（2）或，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作，利用平行线的性质与判定进行求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，过点作，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
补全图形如图2、图3，
猜想：或．
证明：过点作．

∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∵平分，
∴．
如图3，当点在上时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即．
如图2，当点在上时，
∵平分，
∴．
∴．
即．