2024年广东省万阅大湾区百校联盟中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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数学
本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、座位号和考号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义化简即可求解．
【详解】解：
故选：A．
2. 地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：C．
3. 下列图形中，轴对称图形的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的概念，对每个图形逐一分析，能够找到对称轴的图形就是轴对称图形．
【详解】从左到右依次对图形进行分析：
第1个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
第2个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
第3个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
第4个图找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
因此，第1、2、3都是轴对称图形，共3个．
故选：B．
4. 如图，对角线，的交点为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，根据三角形内角和定理求得，进而根据对顶角相等，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：B．
5. （ ）
A. 7B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘方的定义及计算方法是求解的关键．这里先计算出乘方，根据负数的偶数次方为正、奇数次方为负，去括号求解即可.
【详解】解：，
故选：C．
6. 当时，与互为相反数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，代数式求值，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：当时，，
依题意，
解得：，
故选：A．
7. 若，与互余，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，根据题意求，即可求解．
【详解】解：∵，与互余，
∴，
∴，
故选：D．
8. 外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了概率公式求概率，根据外观相同的5件产品中有2件为不合格产品利用概率公式即可得到答案．
【详解】解：∵外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．
∴从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为，
故选：C
9. 由于换季，某商家决定降低某种衣服价格，现有三种降价方案：①第一次降价，第二次降价；②第一次降价，第二次降价；③第一、第二次降价均为．三种方案中，降价最少的是( )
A. 方案①B. 方案②
C. 方案③D. 不确定，因衣服原始价格未知
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的加减的应用，设某种衣服价格的原价为元，根据题意分别表示出降价后的售价，然后用原售价-降价后的售价，再比较大小即可．
【详解】解：设某种衣服价格的原价为元，
方案一：，
方案二：，
方案三：，
∵，
∴，
∴方案③降价最少，
故选：C．
10. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为的斜边BC，直角边AB，AC．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、由勾股定理，由整个图形的面积减去以为直径的半圆的面积，即可得出结论．
【详解】中，
∵
∴

．
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，根据算术平方根因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为______．（写成的形式）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，根据题意得出，进而根据二次项系数为，求得的值，即可求解．
【详解】解：∵二次项系数为，两根分别为，
∴，，
∴，
∴这个方程为：，
故答案为：．
13. 小明在研究某反比例函数的图象时，先选取了8个x的值，再分别计算出对应的y的值，列表如下：
经同桌小强检查，发现有一个y的值计算出现了错误，那么小明所研究的反比例函数中，______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，根据表格中的数据一一算出，可得到k的值，正确计算是解题的关键．
【详解】解：根据表格的第一列可得：，解得：，
根据表格的第二列可得：，解得：，
根据表格的第三列可得：，解得：，
根据表格的第四列可得：，解得：，
根据表格的第五列可得：，解得：，
根据表格的第六列可得：，解得：，
根据表格的第七列可得：，解得：，
根据表格的第八列可得：，解得：，
由此可得第一列的y值计算错误，
∴，
故答案为：2．
14. 如图为一张方格纸，的顶点位于网格线的交点上．若的面积为，则该方格纸的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根应用，设小正方形的边长为，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为，
∴
解得：（负值舍去）
∴该方格纸的面积为
故答案为：．
15. 在直角梯形中，，．若，，则的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，直角梯形的定义，先画出图形，过点作于点，设，在，，中，用勾股定理分别表示出的长，进而得出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵直角梯形中，，．
∴，
设，
∵，，
∴，，
在中，，
在中，，则①，
在中，，则②，
将②代入①得
解得：或（舍），
∴，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16. 列方程解应用题：
某中学七年级某班48名同学去公园划船，一共乘坐10艘船．已知每条大船坐6人，每条小船坐4人，正好全部坐满．问：大船、小船各有几艘？
【答案】大船有4艘，小船6艘
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设大船x艘，则小船有艘，根据一共有48人列出方程求解即可．
【详解】解：设大船x艘，则小船有艘，
由题意得：，
解得
答：大船有4艘，小船6艘．
17. （1）解一元一次不等式组；
（2）已知一次函数的图象经过点，，求这个函数的解析式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了求不等式组的解集和求一次函数解析式，熟练掌握相关步骤是解题的关键．
（1）求出每个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可；
（2）设一次函数的解析式为，把点，分别代入得到关于方程组，求出k、b的值即可得到答案．
【详解】（1）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
（2）设一次函数解析式为，把点，分别代入得，
解得，
∴这个函数的解析式为．
18. 某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息解决下列问题：

(1)本次随机调查了_________名学生
(2)补全条形统计图
(3)若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的约有多少人？
【答案】（1）200；（2）详见解析；（3）240
【解析】
【分析】（1）由选择“棋类”课程的人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用被调查的总人数乘以选择“书画”类课程对应的百分比求出其人数，再根据四种课程的人数之和等于总人数求出戏曲的人数，从而补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中选择“戏曲”类的人数所占百分比即可得．
【详解】解：（1）本次随机调查学生的人数为30÷15%=200（人），
故答案为：200；
（2）选择“书画”课程的人数为200×25%=50（人），
则选择“戏曲”课程的人数为200-（50+80+30）=40（人），
补全条形图如下：

（3）估计全校学生选择“戏曲”类的约有1200×=240（人）．
答：估计全校选择戏曲类有人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，在中，，．
（1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，作一个角等于已知角；
（1）作，交于点，即可求解;
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，作，交于点，
根据作图可得
又∵
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵，．
∴
解得：
20. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过的图象上一点C作x轴的垂线，垂足为D，交一次函数的图象于点E．已知与的面积之比为．
（1）求k，p的值；
（2）若，求点C的坐标．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）先求出点B的坐标，得到，结合点A的横坐标为2，求出的面积，再利用求出，设，代入面积中求出k，得到反比例函数解析式，再将点A横坐标代入出点A纵坐标，最后将点A坐标代入直线即可求解；
（2）由（1）得，直线为，得到点B坐标为，设，由得到直线的解析式为，则，解得或，由点C在第一象限得到，即可得到点C的坐标．
【小问1详解】
解：当时，，
∵直线与y轴交点为B，
∴，
即．
∵点A的横坐标为2，
∴．
∵，
∴，
设，
∴，
解得．
∵点在双曲线上，
∴，
把点代入，得，
∴，；
【小问2详解】
由（1）得，直线为，
当时，，
即点B坐标为，
∵点C在双曲线上，
∴可设，
∵，
∴直线的解析式为，
∴，
解得或，
∵点C在第一象限，
∴，
∴点C的坐标为
21. 在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？
【答案】（1）
（2）通过隧道的车辆应限制高度为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将代入解析式，求得的值，根据交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，结合函数图象，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m．
∴顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：依题意，当时，，
∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．
∴通过隧道的车辆应限制高度为，
答：通过隧道的车辆应限制高度为
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，半径．直线l与x轴垂直且交x轴于点，为直线l上的动点．连接，线段上的点C满足．
（1）求证：；
（2）若点M为中点，O为坐标原点，连接，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对应边成比例，两三角形相似可得到结果；
（2）先根据动点问题设出点C的坐标，根据中点坐标公式得到点M的坐标，根据勾股定理得到的长度，得到有关x，y的方程，然后根据点C的轨迹方程得到另外一个等式，整体替换可得到有关x的一个一元二次方程，根据根的情况得到不等式，即可得到结果．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
∴，
∵的半径，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设点，
∵M为中点，，
∴，
∵，，
∴的中点坐标为即，
由（1）可得，
∴点C的轨迹是以的中点为圆心，半径为2的圆，即，
则，
移项可得：，
∵，
∴
，
将，代入可得：，
令，
∴，
即，
两边同时平方可得：，
即
，
∵，
∴，
化简可得：，
∵点C一定存在，
∴一定有根，
即，
则，
解得：，
∴的最大值为，
∴的最大值为的最大值，即，
∴最大值为．
【点睛】本题考查了坐标与图形、相似三角形的判定及性质、动点问题求最值、直径所对的圆周角为直角、勾股定理求线段，整体赋值是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为直线下方抛物线上的一个动点，过点作交于点，交轴于点．
①求线段的最大值；
②是否存在点，使得四边形为等腰梯形？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）；存在符合条件的点，其横坐标为
【解析】
【分析】（）先求出、坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（）设．求得直线的解析式为．①证．利用相似三角形的性质及二次函数的性质即可得解；②根据平行四边形的性质及勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：直线中，令得，解得，
∴点，
抛物线中，当时，，
∴点．
如图，设直线与轴交于点，
直线中，当得，
∴点．
∴．
又∵，
∴．
∴．
又∵，
∴是等腰直角三角形．
∴点在的垂直平分线上，即点的纵坐标为．
又∵点在直线上，
∴，解得，
∴点的坐标为．
∴抛物线过点，．
∴
解得
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：设直线为：，把，代入得，
，
解得
∴直线的解析式为，
设．由，可设直线的解析式为，把代入，得，
∴，
可得直线的解析式为．
①联立
解得，
∴．
如图，过点作轴于点，过点作于点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴．
∵，，，
∴，
∴．
∴当时，为最大值．
②由为直线：与轴的交点，可知点的坐标为，
∵，，，
∴，．
∵，
∴，即，
解得或或．
∵，
∴．
∴或．
当时，，此时四边形为平行四边形，不符合条件；
当时，，此时四边形为等腰梯形，符合条件．
∴存在符合条件的点，其横坐标为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，待定系数法求二次函数，求一次函数，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及性质，熟练掌握，平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．x
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