2023年广东省万阅百校联盟中考数学质检试卷(含解析)
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第I卷(选择题)
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 的平方根是( )
A. B. C. D.
2. 国家统计局发布的年国民经济和社会发展统计公报显示,年年末全国人口为万人“万”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 将边长分别为和的长方形按如图所示方式剪开,拼成一个正方形,则该正方形的边长是( )
A. B. C. D.
5. 将一块直角三角板与一把直尺按如图所示方式放置,若,则的大小为( )
A. B. C. D.
6. 将多项式进行因式分解的结果是( )
A. B. C. D.
7. 如图,是的直径,,则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图,,切于,两点,若,的半径为,则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
10. 二次函数的图象如图所示,有如下结论:;;;对任意实数,都有其中正确的有( )
A.
B.
C.
D.
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题,共12.0分)
11. 的倒数是______.
12. 设的整数部分为,小数部分为,则 ______ .
13. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根,,则的值为______ .
14. 如图,反比例函数的图象与一次函数的图象的交点为,过点作轴平行线与过点作轴平行线交于点,则的面积为______ .
三、解答题(本大题共8小题,共75.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15. 本小题分
先化简,再求值:,其中.
16. 本小题分
如图,的直径,.
过点作的切线,交的延长线于点保留作图痕迹,不写作法
求的长.
17. 本小题分
在第六届数字中国建设成果展览会召开之际,为培养学生对数字技术的兴趣,某校举行了“学习数字技术,走进数字时代”为主题的数字技术应用大赛将该校九年级参加竞赛的学生成绩统计后,绘制成如下统计图表:
成绩频数分布统计表
组别 | 成绩分 | 人数 |
请观察如图的图表,解答下列问题:
统计表中 ______ ,统计图中 ______ ,组的圆心角是______ 度;
组的名学生中,有名男生和名女生从组随机抽取名学生参加数字技术体验活动,求恰好抽到名男生和名女生的概率.
18. 本小题分
某印刷厂每月生产甲、乙两种练习本共万本,且所有练习本当月全部卖出,其中成本、售价如表所示.
品种 | 甲 | 乙 |
成本 | 元本 | 元本 |
售价 | 元本 | 元本 |
若该印刷厂五月份的利润为万元,求生产甲、乙两种练习本分别是多少万本;
某学校计划用元的经费到该印刷厂采购练习本经商讨,该公司同意甲种练习本售价打九折,乙种练习本不能让利若学校能采购到万本,且不超支,问最多能购买甲种练习本多少本?
19. 本小题分
如图,某工程队准备在山坡山坡视为直线上修一条路,需要测量山坡的坡度,即的值测量员在山坡处不计此人身高观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖的仰角为,塔底的仰角为已知塔高,塔所在的山高,,图中的点,,,,在同一平面内,求山坡的坡度参考数据:,,,
20. 本小题分
如图,为正的外接圆,为劣弧上任一点,的延长线和的延长线交于点.
求;
求证:.
21. 本小题分
如题图,抛物线的对称轴为直线,并且经过点,交轴于另一点,交轴于点.
求抛物线的解析式;
在直线上方的抛物线上有一点,求点到直线距离的最大值及此时点的坐标;
在直线下方的抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
22. 本小题分
某班在进行正方形纸片折叠探究相关数学问题的学习活动将边长为的正方形纸片沿折叠折痕分别与,交于点,,使点落在边上的点处,点的对应点为点,与交于点,连接与交于点如图,当点恰为的中点时,甲、乙、丙三名同学各得到如下一个正确结论或结果:
甲:的边 ______ ;
乙:的周长为______ ;
丙:.
填充甲、乙两名同学所得结果中的数据;
如图,当点在边上除点,外的任何一处时:
丙同学的结论还成立吗?若成立,请给出证明过程,若不成立,请说明理由;
试问乙同学的结果是否会发生变化?请证明你的结论;
经观察,发现四边形的面积随点位置变化而变化,若的长为,四边形的面积为,问当为何值时,最大?最大值是多少?
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:.
故选:.
直接根据平方根的定义解答即可
本题考查的是平方根,如果一个数的平方等于,这个数就叫做的平方根,也叫做的二次方根.
2.【答案】
【解析】解:万.
故选:.
用科学记数法表示较大的数时,一般形式为,其中,为整数,据此判断即可.
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为,其中,确定与的值是解题的关键.
3.【答案】
【解析】解:、,故A不符合题意;
B、,故B不符合题意;
C、,故C符合题意;
D、,故D不符合题意;
故选:.
利用同底数幂的除法的法则,合并同类项的法则,同底数幂的乘法的法则,积的乘方的法则对各项进行运算即可.
本题主要考查同底数幂的除法,合并同类项,积的乘方,同底数幂的乘法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
4.【答案】
【解析】解:由题意正方形的面积,
正方形的边长为.
故选:.
求出正方形的面积,可得结论.
本题考查图形的拼剪,正方形的性质,矩形的性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
5.【答案】
【解析】解:如图,
,
,
直尺的对边平行,
.
故选:.
由三角形的外角性质可求得,再由平行线的性质即可求.
本题主要考查平行线的性质,解答的关键是熟记平行线的性质:两直线平行,同位角相等.
6.【答案】
【解析】解:
.
故选:.
先提公因式,然后按照平方差公式因式分解即可.
本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解,掌握提取公因式法,平方差公式是解题的关键.
7.【答案】
【解析】解:是的直径,
,
,
.
故选:.
由圆周角定理得到,,由直角三角形的性质,即可求出的度数.
本题考查圆周角定理,掌握圆周角定理是解题的关键.
8.【答案】
【解析】解:连接,,,
,切于,两点,
,
,,
≌,
的面积的面积,,
,
,
,
,
的面积,
四边形的面积的面积,
扇形的面积,
阴影的面积四边形的面积扇形的面积.
故选:.
连接,,,由切线的性质得到,可以证明≌,得到的面积的面积,,求出,求出的长,求出扇形的面积,的面积,即可求出阴影的面积.
本题考查切线的性质,扇形面积的计算,三角形的面积,全等三角形的判定和性质,关键是求出扇形的面积,的面积.
9.【答案】
【解析】解:,
,
.
故选:.
首先利用平方差公式得:,然后将整体代入原式整理,最后再将整体代入即可得出答案.
此题主要考查了因式分解的应用,解答此题的关键是熟练掌握应用平方差公式和提取公因式法进行因式分解,难点是整体思想在解题中的应用.
10.【答案】
【解析】解:抛物线开口向上,
,
抛物线对称轴为直线,
,
,
抛物线与轴交点在轴下方,
,
,故错误;
时,,
,
,
,故错误;
,
,
由图象可得时,,
,故正确;
由时函数取最小值可得,
,
,
,
,故正确.
故选:.
由抛物线开口方向,对称轴位置,抛物线与轴的交点位置可判断;由时及,可判断;
由时及与的数量关系可判断,由时函数取最小值可判断.
本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数与方程及不等式的关系.
11.【答案】
【解析】解:,
的倒数是.
故答案为.
先计算,再求的倒数.
本题是基础题,考查了倒数、绝对值的概念,要熟练掌握.
12.【答案】
【解析】解:,
.
,即.
的整数为,小数.
.
故答案为:.
先利用无理数大小的比较确定、,再计算.
本题考查了实数的运算,掌握实数大小的比较方法,确定、的值是解决本题的关键.
13.【答案】
【解析】解:根据根与系数的关系得:,,
所以.
故答案为:.
先利用根与系数的关系得到,,再利用完全平方公式得到,然后利用整体代入的方法计算.
此题主要考查了根与系数的关系,一元二次方程的根与系数的关系为:,.
14.【答案】
【解析】解:如图,连接,交轴于.
、关于原点对称,
,
,,
,
,
.
故答案为:.
连接,交轴于首先证明,,推出即可解决问题;
本题是反比例函数与一次函数的交点问题,主要考查了反比例函数中的几何意义,即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线,所得矩形面积为,是经常考查的一个知识点;图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解的几何意义.
15.【答案】解:
,
当时,原式.
【解析】先根据分式的减法法则进行计算,再根据分式的除法法则把除法变成乘法,算乘法,最后代入求出答案即可.
本题考查了分式的化简求值,能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键,注意运算顺序.
16.【答案】解:如图,为所作;
连接,如图,
为的直径,
,
在中,
,
,
为的切线,
,
,
在中,
,
.
【解析】过点作的垂线交于点;
连接,如图,先根据圆周角定理得到,则利用余弦的定义得到,再根据切线的性质得到,然后在中利用正切的定义可求出的长.
本题考查了作图复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了圆周角定理和解直角三角形.
17.【答案】
【解析】解:被调查的总人数为人,
所以,
,即,
组的圆心角是,
故答案为:、、;
画树状图如下:
共有种等可能的结果,恰好抽到名男生和名女生的结果有种,
恰好抽到名男生和名女生的概率为.
由组的人数除以所占百分比求出该校八年级参加竞赛的学生人数,即可解决问题;
画树状图,共有种等可能的结果,恰好名男生和名女生被抽取参加体验活动的结果有种,再由概率公式求解即可.
此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比.也考查了频数分布统计表和扇形统计图.
18.【答案】解:设该印刷厂五月份生产甲种练习本万本,生产乙种练习本万本,
根据题意得:,
解得:.
答:该印刷厂五月份生产甲种练习本万本,生产乙种练习本万本;
设该学校购买本甲种练习本,则购买本乙种练习本,
根据题意得:,
解得:,
的最大值为.
答:最多能购买甲种练习本本.
【解析】设该印刷厂五月份生产甲种练习本万本,生产乙种练习本万本,利用总利润每本的销售利润销售数量生产数量,结合该印刷厂五月份生产甲、乙两种练习本共万本且总利润为万元,可得出关于,的二元一次方程组,解之即可得出结论;
设该学校购买本甲种练习本,则购买本乙种练习本,利用总价单价数量,结合总价不超过元,可得出关于的一元一次不等式,解之取其中的最大值,即可得出结论.
本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:找准等量关系,正确列出二元一次方程组;根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
19.【答案】解:如图,过点作于,于,则四边形为矩形.
在中,
,,
;
在中,
,,
;
,
,
,
解得米,
米,
米,
米,
米,
米,
,
坡度为:.
【解析】过点作于,于,则四边形为矩形,先解,得出;解,得出;再根据,列出方程,求出,进而求出,,然后在中利用三角函数的定义即可求解.
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题,难度适中,通过作辅助线,构造直角三角形,利用三角函数求解是解题的关键.
20.【答案】解:为正三角形,
,
四边形为的内接四边形,
,
;
证明:为正三角形,
,,
,
由可知:,
又,
∽,
,
,
即:.
【解析】先根据等腰三角形的性质得,再根据内接四边形的对角互补即可得出答案;
先证,结合的结论可得,据此可证和相似,然后根据相似三角形的性质可得出结论.
此题主要考相似三角形的判定及性质,圆内接四边形的性质,等边三角形的性质等,解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定,理解圆内接四边形的对角互补.
21.【答案】解:抛物线的对称轴为直线,并且经过点,
,
解得,
抛物线的解析式为;
设.
如图,过点作于,轴于,交于.
,
当时,,即,
当时,,解得,,即.
设直线的解析式为,
则,
解得,
直线的解析式为.
轴,且在上,
,
,
当时,面积最大,最大值为.
为定值,
面积最大时,点到直线的距离最大,即最大.
,,
,
,
,即点到直线距离的最大值为.
当时,,
点的坐标为;
如图,假设在直线下方的抛物线上存在点,使得为直角三角形,则或.
,,
.
当为直角三角形时,分两种情况:
如果时,那么,
,
解得舍去,或,
当时,,
点的坐标为;
如果时,那么,
,
解得舍去,或,
当时,,
点的坐标为;
综上所述,在直线下方的抛物线上是存在点,使得为直角三角形,此时点的坐标为或.
【解析】根据抛物线的对称轴为直线,并且经过点,列出关于、的方程组,求出、的值,即可得到抛物线的解析式;
设过点作于,轴于,交于利用待定系数法求出直线的解析式,用含的代数式表示点坐标,根据,得出,利用二次函数的性质得出时,的面积有最大值,此时点到直线的距离最大,即最大,进而求出点的坐标;
假设在直线下方的抛物线上存在点,使得为直角三角形,分两种情况进行讨论:时;时.分别根据勾股定理列出方程,求出,进而得到点的坐标.
本题是二次函数综合题,其中涉及到利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,二次函数的图象及性质,三角形的面积,直角三角形的性质,勾股定理等知识,综合性较强.利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键.
22.【答案】
【解析】解:由对称得:,
设,则,,
点恰为的中点,
,
四边形是正方形,
,
,
,
,
;
由折叠得:,
,
,
,
,
,即,
,
由勾股定理得:,
的周长为;
故答案为:,;
丙同学的结论成立,证明如下:
如图,过点作于,则,
由折叠可知:与关于对称,
,
,
,
,
,
,,
≌,
;
乙同学的结果不会发生变化,理由如下:
如图,设的长为,则,
,
由勾股定理得:,
,
,
由知:,
,
∽,
,
的周长;
如图,过点作于,
≌,
,
由知:,
,
,
当时,有最大值,且最大值是.
根据图形翻折变换的性质可设,根据勾股定理列方程可得的长,从而知;再分别计算,,的长,最后计算的周长即可;
如图,过点作于,根据证明≌,可得,结论成立;
如图,设的长为,则,根据勾股定理得:,列方程可得:,证明∽,根据相似三角形周长的比等于对应边的比列式可得:的周长不会发生变化;
表示和的长,利用梯形的面积公式可确定与的关系式,配方后可求出其面积的最大值.
本题是四边形的综合题,考查的是相似三角形的判定与性质,图形翻折变换的性质,全等三角形的判定与性质,三角函数的定义,勾股定理及二次函数的最值问题,涉及面较广,有难度.
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