2023-2024学年四川省南充市阆中中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省南充市阆中中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列12,−14,18,−116，…的一个通项公式可能是( )
A. (−1)n⋅12nB. (−1)n⋅12nC. (−1)n−1⋅12nD. (−1)n−1⋅12n
2.函数y=12x2−lnx+2的单调递减区间为( )
A. (−1,1)B. (0,1)C. [1,+∞)D. (0,+∞)
3.已知数列{an}与{bn}均为等差数列，且a3+b5=4，a5+b9=8，则a4+b7=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2f′(1)⋅lnx+xe，则f(e)=( )
A. e−1B. 2e+1C. 1D. −2e+1
5.数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn(n≥1)，则a6=( )
A. 3×44B. 3×44+1C. 44D. 44+1
6.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，若在该圆锥内部有一个与该圆锥共轴的圆柱，则这个圆柱的体积的最大值为( )
A. 8πB. 9π2C. 16π3D. 32π3
7.两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=3n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于( )
A. 94B. 2524C. 6524D. 14924
8.设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)
C. (−∞,−1)∪(−1,0)D. (0,1)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在区间[−5,3]上的函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，以下命题正确的是( )
A. 函数y=f(x)的最小值是f(−5)
B. y=f(x)在区间(−4,1)上单调
C. x=0是函数y=f(x)的极值点
D. 曲线y=f(x)在x=1附近比在x=2附近上升得更缓慢
10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中正确的是( )
A. ∃x0∈R，f(x0)=0
B. 函数y=f(x)的图象是中心对称图形
C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x0)单调递减
D. 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0
11.设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1>1，a2022a2023>1，(a2022−1)(a2023−1)<0，则下列选项正确的是( )
A. 0C. T2022是数列{Tn}中的最大项D. T4043>1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=−n2+7n，则an= ______．
13.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11+2a6a8+a3a13=25，则a1a13的最大值是______．
14.已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2+m.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)有公切线，则实数m的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在正项等比数列{an}中，a1=2且2a3，a5，3a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=lg2an，求数列{1bn⋅bn+1}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=(3−x2)⋅ex．
(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[−4,4]上的最大值与最小值．
17.(本小题15分)
已知数列{an}的首项为a1=−1，且满足an+1=an3an+2．
(1)求证：数列{1an+3}为等比数列；
(2)设bn=nan3an+1，记数列{bn}的前n项和Tn，若Tn≥2−λ⋅bn对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=a2x2−x+1nx．
(Ⅰ)若函数f(x)在定义域内是增函数，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)当a∈[1,e)时，讨论方程f(x)=ax−a2根的个数．
19.(本小题17分)
①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且x→alimf(x)=x→alimg(x)=0，则x→alimf(x)g(x)=x→alimf′(x)g′(x)．
②设a>0，k是大于1的正整数，若函数f(x)满足：对任意x∈[0,a]，均有f(x)≥f(xk)成立，且x→0limf(x)=0，则称函数f(x)为区间[0,a]上的k阶无穷递降函数．
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断f(x)=x3−3x是否为区间[0,3]上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：x→0lim(1+x)1x；
(3)证明：(sinxx−π)3答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为12=(12)1，−14=−(12)2，18=(12)3，−116=−(12)4，⋯
所以此数列的一个通项公式可以是an=(−1)n−1⋅12n．
故选：D．
将每项的绝对值写成以12为底的幂的形式，再结合负号出现的规律即可得答案．
本题考查数列通项公式的求法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
由题意得函数定义域为(0,+∞)，y′=x−1x=x2−1x，求解y′<0，即可得出答案．
【解答】
解：由题意得函数定义域为(0,+∞)，y′=x−1x=x2−1x，
由y′=0得x=1，由y′>0得x>1，由y′<0得0∴函数y=12x2−lnx+2的单调递减区间为(0,1)．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：因为数列{an}与{bn}均为等差数列，且a3+b5=4，a5+b9=8，
由等差数列的性质可知
则a4+b7=12(a3+b5+a5+b9)=6．
故选：B．
由已知结合等差数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=2f′(1)⋅lnx+xe，
所以f′(x)=2f′(1)x+1e，
所以f′(1)=2f′(1)+1e，即f′(1)=−1e，
所以f(x)=−2elnx+xe，
则f(e)=1−2e．
故选：D．
先对函数求导，令x=1可求出f′(1)，代入可求f(x)，再把x=e代入即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，属于中档题．
【解答】
解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn−1(n≥2)，
两式相减得：an+1−an=3(Sn−Sn−1)=3an，
则an+1=4an(n≥2)，又a1=1，a2=3S1=3a1=3，
得到此数列除去第一项后，首项是3，公比为4的等比数列，
所以an=a2qn−2=3×4n−2(n≥2)
则a6=3×44．
故选A．
6.【答案】C
【解析】解：由圆锥的底面半径为3，母线长为5，可得圆锥的高为4，
设圆柱的高为h，底面半径为r，
则r3=4−h4，即有h=4−43r(0可得圆柱的体积为V=πr2h=4πr2(1−13r)
V′=4π(2r−r2)，
当00，函数V递增；
当2所以r=2时，体积V取得极大值，且为最大值16π3．
故选：C．
求得圆锥的高，设圆柱的高为h，底面半径为r，由三角形的相似性质可得h关于r的关系式，由圆柱的体积公式和导数可得最大值．
本题考查导数的运用，以及圆锥与内接圆柱的关系，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由等差数列的性质可得，a2+a20b7+b15=a1+a21b1+b21=212(a1+a21)212(b1+b21) =S21T21=3×21+221+3=6524．
故选：C．
由已知，根据等差数列的性质，把a2+a20b7+b15转化为S21T21求解．
本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
由已知当x>0时总有xf′(x)−f(x)<0成立，可判断函数g(x)=f(x)x为减函数，由已知f(x)是定义在R上的奇函数，可证明g(x)为(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，模拟g(x)的图象，而不等式f(x)>0等价于x⋅g(x)>0，数形结合解不等式组即可．
【解答】
解：设g(x)=f(x)x，则g(x)的导数为：
g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，
∵当x>0时总有xf′(x)即当x>0时，g′(x)恒小于0，
∴当x>0时，函数g(x)=f(x)x为减函数，
又∵g(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=f(x)x=g(x)，
∴函数g(x)为定义域上的偶函数
又∵g(−1)=f(−1)−1=0，
∴函数g(x)的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f(x)>0⇔x⋅g(x)>0
⇔x>0g(x)>0或x<0g(x)<0，
⇔0故选：A．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A：由图可知，x∈[−5,−4)，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(−4,3]，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(−4)，故A错误；
对于B：由图可知，x∈(−4,1)，f′(x)≥0，f(x)单调递增，故B正确；
对于C：由图可知x∈(−4,0)，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(0,3]，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以x=0不是函数f(x)的极值点，故C错误；
对于D：由导数的几何意义知，f′(1)>0，f′(2)>0，且f′(1)所以f(x)在x=1处的切线的斜率小于x=2处的切线的斜率，
即曲线f(x)在x=1附近比在x=2附近上升得更加缓慢，故D正确．
故选：BD．
由图形，根据导数在研究函数单调性的应用，结合极值点的概念即可判断ABC；根据导数的几何意义即可判断D．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：选项A，当c=0时，f(0)=0，即A正确；
选项B，∵f(x)=x3+ax2+bx+c，∴f(x)−c=x3+ax2+bx．
假设函数g(x)=x3+ax2+bx是中心对称图形，其对称中心为(m,n)，则g(m+x)+g(m−x)=2n，
∴(m+x)3+a(m+x)2+b(m+x)+(m−x)3+a(m−x)2+b(m−x)=2n，
整理得，(6m+2a)x2+2m3+2am2+2bm=2n，对任意的x∈R恒成立，
∴6m+2a=02m3+2am2+2bm=2n，解得m=−13an=227a3−13ab，
∴函数g(x)=x3+ax2+bx的对称中心为(−13a,227a3−13ab)，
∴f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(−13a,227a3−13ab+c)，即B正确；
选项C，f′(x)=3x2+2ax+b=3(x−x1)(x−x2)，令f′(x)=0，则x=x1，x=x2，
∴函数f(x)在(−∞,x1)和(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，
∴x2是f(x)的极小值点即x0=x2，显然f(x)在区间(−∞,x0)上不单调递减，即C错误；
选项D，函数f(x)在极值点处的导函数f′(x)一定为0，即D正确．
故选：ABD．
A，当c=0时，有f(0)=0，于是可判断选项A是正确的；
B，由f(x)=x3+ax2+bx+c可得f(x)−c=x3+ax2+bx，而f(x)=x3+ax2+bx的对称中心为(0,0)，再结合平移的思想即可作出判断；
C，设f′(x)=3x2+2ax+b=3(x−x1)(x−x2)，令f′(x)=0，则x=x1，x=x2，于是函数f(x)在(−∞,x1)和(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，即x0=x2，再对比函数的单调性与选项描述的单调性是否一致即可；
D，根据函数极值与导数的关系即可作出判断．
本题考查函数图象的特征、利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的推理论证能力和分析能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由于等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，
若a1>1，a2022a2023>1，(a2022−1)(a2023−1)<0，
则数列{an}各项均为正值，且(a1q20121)(a1q2022)=(a1)2(q4043)>1，
故有a2022>1，0由于S2022+1>S2020+a2023=S2023，故B错误；
根据a1>a2>…>a2021>1>a2022>1>a2023…>0，可知T2022是数列{Tn}中的最大项，故C正确；
由等比数列的性质可得a1a4043=a2a4042=…=a2021a2023=a20222，
所以T4043=a1a2…a4043=a20224043>1，故D正确，
故选：ACD．
根据题意，分析可得a2022>1，a2023<1，从而有a1>1，0本题主要考查等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】8−2n，n∈N*
【解析】解：当n=1时，a1=S1=−1+7=6；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=−n2+7n+(n−1)2−7(n−1)=8−2n，对n=1也成立，
所以an=8−2n，n∈N*．
故答案为：8−2n，n∈N*．
由数列的通项与前n项和的关系，计算可得所求通项公式．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
13.【答案】254
【解析】解：根据题意，在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11+2a6a8+a3a13=25，
即a62+2a6a8+a82=(a6+a8)2=25，变形可得a6+a8=5，
又由a1a13=a6a8≤(a6+a82)2=254，当且仅当q=1即a6=a8时等号成立，
故a1a13的最大值是254，
故答案为：254．
根据题意，将a1a11+2a6a8+a3a13=25变形可得a6+a8=5，又由基本不等式的性质可得a1a13=a6a8≤(a6+a82)2，计算可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
14.【答案】[−12,+∞)
【解析】解：设两曲线的公切线为l，切点分别为A(x1,lnx1)，B(x2,12x22+m)，
则12x22+m−lnx1x2−x1=1x1=x2，
化简消去x1得，m=12x22−lnx2−1，
曲线y=f(x)与曲线y=g(x)有公切线，则方程m=12x22−lnx2−1有根，
令h(x)=12x2−lnx−1，则h′(x)=x−1x=x2−1x(x>0)，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
∴h(x)min=h(1)=−12，
∴曲线y=f(x)与y=g(x)有公切线，则m≥−12．
故答案为：[−12,+∞)．
设出公切线与两曲线的切点坐标，结合切点处的导数值与斜率相等列式，可得方程m=12x22−lnx2−1有根，令h(x)=12x2−lnx−1，再由导数求最值得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查分析问题与解决问题的能力，正确转化是关键，是中档题．
15.【答案】解：(1)因为正项等比数列{an}中，a1=2且2a3，a5，3a4成等差数列，
所以2a5=2a3+3a4，即4q4=4q2+6q3，
整理得(q−2)(2q+1)=0，
所以q=2(舍负)，
故an=2n；
(2)由(1)得，bn=lg2an=n，
则1bnbn+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
所以Sn=1−12+12−13+…+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
【解析】(1)由已知结合等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解；
(2)求出bn，然后利用裂项求和即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及等比数列的通项公式，还考查了裂项求和，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵f(x)=(3−x2)⋅ex，
∴f′(x)=−2x⋅ex+(3−x2)⋅ex
=ex⋅(−x2−2x+3)，
=−ex(x+3)(x−1)，
∴f′(0)=3，又∴f(0)=3，
∴y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+3，即为3x−y+3=0；
(2)由(1)可知当x∈(−4,−3)∪(1,4)时，f′(x)<0；当x∈(−3,1)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(−4,−3)上单调递减，在(−3,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，
又f(−4)=−13e4，f(1)=2e，f(−3)=−6e3，f(4)=−13e4，
∴f(x)在[−4,4]上的最大值为2e，最小值为−13e4．
【解析】(1)根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解；
(2)利用导数研究函数的单调性，再计算极值与端点值，即可求解．
本题考查导数的综合应用，属基础题．
17.【答案】解：(1)证明：对an+1=an3an+2，两边取倒数可得1an+1=2an+3，
即为1an+1+3=2(1an+3)，
可得数列{1an+3}首项为−1+3=2，公比为2的等比数列；
(2)bn=nan3an+1=n3+1an=n2n，
数列{bn}的前n项和Tn=1⋅12+2⋅(12)2+3⋅(12)3+...+n⋅(12)n，
12Tn=1⋅(12)2+2⋅(12)3+3⋅(12)4+...+n⋅(12)n+1，
两式相减可得12Tn=12+(12)2+(12)3+...+(12)n−n⋅(12)n+1
=12(1−12n)1−12−n⋅(12)n+1，
化简可得Tn=2−n+22n，
Tn≥2−λ⋅bn，即为λ⋅n2n≥n+22n，即λ≥1+2n对任意的n∈N*恒成立，
而1+2n≤3，所以λ≥3，即λ的取值范围是[3,+∞)．
【解析】(1)对已知递推式两边取倒数，再由等比数列的定义，可得证明；
(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式求得Tn，再由不等式恒成立思想可得所求取值范围．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和、不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)定义域为(0,+∞)
由题意知f′(x)=ax−1+1x=ax2−x+1x≥0在x∈(0,+∞)时恒成立，
即ax2−x+1≥0在x∈(0,+∞)时恒成立，
∴x∈(0,+∞)时，a≥(x−1x2)max
由于y=x−1x2=1x−1x2=−(1x−12)2+14≤14，
∴a≥14．
(Ⅱ)设g(x)=f(x)−ax+a2=a2x2−ax−x+lnx+a2，
∴g′(x)=ax−a−1+1x=ax2−(a+1)x+1x=(ax−1)(x−1)x，
①当a=1时，g′(x)≥0，g(x)在(0,+∞)是单调递增，
∵g(1)=−1<0，g(4)=ln4+12>0，
所以存在唯一的x0∈(1,4)使g(x0)=0，即方程f(x)=ax−a2只有一个根；
②当a∈(1,e)时，则0<1a<1，令g′(x)=0，有x=1a或x=1．
∴g(x)在(0,1a)上是增函数，在(1a,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，
∴g(x)的极大值为g(1a)=12a−1−1a−lna+a2=a2−12a−lna−1．
设h(a)=a2−12a−lna−1，其中a∈(1,e)
则h′(a)=12+12a2−1a=(a−1)22a2>0
∴h(a)在a∈(1,e)上是增函数，
∴h(a)∴g(x)在(0,1)上无零点；
又g(1)=−1<0，g(4)=9a2−4+ln4>92−4+ln4=ln4+12>0，
∴g(1)⋅g(4)<0，
又y=g(x)在(1,+∞)单调递增，所以存在唯一的x0∈(1,4)使g(x0)=0．
即方程f(x)=ax−a2只有一个根．
综上所述，当a∈[1,e)时，方程f(x)=ax−a2有且只有一个根．
【解析】(Ⅰ)根据导数和函数单调性的关系，即可求出a的取值范围；
(Ⅱ)构造函数设g(x)=f(x)−ax+a2，再求导，分类讨论，根据函数的单调性得到函数得最值，再根据函数零点存在定理即可求出．
本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目．
19.【答案】解：(1)设F(x)=f(x)−f(x2)=78x3−32x，
显然F(1)=78−32<0，
所以f(x)≥f(x2)对任意x∈[0,3]，不是恒不成立，
由k阶无穷递降函数的定义可知，f(x)=x3−3x不是区间[0,3]上的2阶无穷递降函数；
(2)设g(x)=(1+x)1x，则lng(x)=1xln(1+x)=ln(1+x)x，
设h(x)=ln(1+x)x，则x→0limh(x)=x→0limln(1+x)x=x→0lim11+x1=1，
所以x→0limlng(x)=1，
又因为lne=1，
所以x→0lim(1+x)1x=e；
(3)证明：令x−π=t，则x=t+π，
所以原不等式等价于sin3tt3>cst，t∈(0,π2)，
等价于tant⋅sin2t>t3，t∈(0,π2)，
记f(t)=tant⋅sin2tt3,t∈(0,π2)，
则f(t2)=8tant2⋅sin2t2t3，
所以f(t)f(t2)=tant⋅sin2tt3⋅t38tant2⋅sin2t2=cs2t21−tan2t2=11−tan4t2>1，
即有对任意t∈(0,π2)，均有f(t)>f(t2)，所以f(t)>f(t2)>⋯>f(t2n)，
因为x→0limsinxx=x→0limcsx=1，
所以n→+∞limf(t2n)=n→+∞lim[sin(t2n)t2n]3⋅n→+∞lim1cs(t2n)=1，
所以f(t)>1,t∈(0,π2)，
即tant⋅sin2t>t3，t∈(0,π2)，证毕．
【解析】(1)设F(x)=f(x)−f(x2)=78x3−32x，由F(1)<0即可作出判断；
(2)利用洛必达法则求解；
(3)令x−π=t，则原不等式等价于tant⋅sin2t>t3，t∈(0,π2)，记f(t)=tant⋅sin2tt3,t∈(0,π2)，再结合k阶无穷递降函数的定义证明．
本题主要考查了洛必达法则的应用，考查了函数恒成立问题，属于中档题．