四川省达州市普通高中2024届第二次诊断性测试数学（理科）试题+答案（4.26达州二模）

这是一份四川省达州市普通高中2024届第二次诊断性测试数学（理科）试题+答案（4.26达州二模），共13页。试卷主要包含了展开式中项的系数为，函数的部分图象大致为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数满足，则在复平面内表示复数的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．设全集，，，则图中阴影部分对应的集合是（ ）
A．B．C．D．
3．下图是某地区2016－2023年旅游收入（单位：亿元）的条形图，则下列说法错误的是2016－2023年旅游收入（ ）
A．该地区2016－2019年旅游收入逐年递增
B．该地区2016－2023年旅游收入的中位数是4.30
C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平
D．该地区2016－2023年旅游收入的极差是3.69
4．如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过点，，的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）
A．三角形B．矩形C．梯形D．菱形
5．展开式中项的系数为（ ）
A．80B．－80C．40D．－40
6．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7．双曲线的左、右顶点分别为，为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
8．定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，灯笼的主体可看作将一个椭圆绕短轴旋转得到的，这样的旋转体称为椭圆体．已知椭圆绕短轴旋转得到的椭圆体的体积和表面积可以用公式和计算．若灯笼主体的体积为，则该灯笼主体表面积取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，与轴交于点，，是上第一象限内的点，，分别在射线，上，交轴于点．若直线的方程为，是线段中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
11．在斜边为的中，，为平分线上一点，且，，，四点共圆，，则（ ）
A．2B．C．D．
12．已知，定义运算@：，其中是函数的导数．若存在极大值点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．随机变量，则______．
14．已知，则______．
15．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．若，则的最小值为______．
16．在中，角，，的对边分别为，，，，点在平面内，，则的最大值为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
等差数列的前项和为，当和5时，取得最大值．
（1）求；
（2）若为等比数列，，求通项公式．
18．（12分）
随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：
（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
19．（12分）
已知抛物线，直线与交于，两点，线段中点．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与轴交于点，为原点，设，，的面积分别为，，，若，，成等差数列，求．
20．（12分）
如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角余弦的最小值．
21．（12分）
已知．
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）求以曲线与曲线的公共点为顶点的多边形面积．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设，不等式有解．
（1）求取值范围；
（2）记的最大值为，求的最小值．
达州市普通高中2024届第二次诊断性测试
理科数学参考答案
一、选择题：
1．D2．C3．B4．A
5．B6．C7．B8．C
9．C10．D11．C12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．0.614．15．16．3
16题提示：因，所以在中由正弦定理得，，
，由于，，且，即为正三角形．
【方法一】如图，设．在中，由余弦定理得，，．
在中，由正弦定理得，
，．
在中，由余弦定理得
，等号在时成立．所以的最大值为3．
【方法二】以为轴，以中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设，，
点在以为焦点，以3为长轴的椭圆上，这个椭圆方程为．
设，则，，．
由于，所以．
设，．由得，
或．经验证当即时，最大，且．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）设等差数列公差为，，，，，．
（2），，数列公比为，
．
18．解：（1）
没有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关．
（2）使用分层抽样，人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀
，，
分布列为：
．
19．解：（1）设
，，，
，，的方程为．
（2），，，
成等差数列，，，成等差数列
，
，
．
20．（1）证明：设中点为，连接
为中位线，，
平面，平面，
平面
为梯形中位线，，
平面，平面
平面，
，平面，平面，
平面平面，
平面，平面．
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
，不妨设
设平面的法向量为
，
不妨取，
设平面的法向量为
，
不妨取，
设二面角平面角为，
时，二面角的余弦最小值为．
21．解：（1），恒成立．
设，．
当时，，，为单调递增，
满足题意；
当时，，，
时，即时，，，为单调递增，
满足题意；
时，即时，，使，，，
为单调递减，，与在上恒成立矛盾；
综上可得．
（2）由（1）知时，在上单调递增，
，时，，
由（1）知时，时，，
，即
令，
原不等式得证．
22．解：（1）
：，
，，，
，方程为和．
（2）解得，；
解得，．
以曲线与曲线的公共点为顶点的多边形为三角形，其面积为4．
23．解：（1），，
，解得．所以的取值范围为．
（2）由（1）可得，
当且仅当时取等号，即最小值为．
使用智能辅导系统
未使用智能辅导系统
合计
入学测试成绩优秀
20
20
40
入学测试成绩不优秀
40
20
60
合计
60
40
100
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
0
1
2