2023-2024学年上海市徐汇区南模中学高一（下）期初数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年上海市徐汇区南模中学高一（下）期初数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“012”的( )
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要
2.若tan(α+2π3)=− 35，则csαsinα− 3csα=( )
A. −2 33B. − 33C. 2 33D. 33
3.我国著名数学家华罗庆曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
A. f(x)=1|x−1|B. f(x)=1||x|−1|C. f(x)=1x2−1D. f(x)=1x2_
4.设n是正整数，集合A={x|x=cs2kπn,k∈N}，若集合A有100个元素，则n=( )
A. 200或198B. 199或200C. 198或197D. 199或198
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设扇形半径为2cm，圆心角的弧度数为2，则扇形的面积为______．
6.你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是______．
7.已知a>0，b>0，且a+b=2，则1a+2b的最小值为______．
8.把 3csα−sinα化为Asin(α+φ)(A>0,φ∈(0,2π))的形式为______．
9.已知sin(x+π6)=13，则sin2(π3−x)的值是______．
10.函数f(x)=lg12(−x2−x+6)的单调递减区间是______．
11.已知sinα+csα=12，求tan2α+ct2α= ______．
12.定义运算abcd=ad−bc.若sinαsinβcsαcsβ=3 314,sinα=4 37,0<β<α<π2，则β= ______．
13.下列结论中正确的有______.(只要写出正确结论的序号即可)
①终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ2,k∈Z}；
②若函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数f(2csx)的定义域为[−π3+2kπ,π3+2kπ](k∈Z)；
③若幂函数y=xa的图象关于原点成中心对称，则y=xa是定义域上的严格增函数；
④函数y=sin2x−sinx+14(−π6≤x≤π3)的值域为[1− 32,1]．
14.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2，若对任意的x∈[a,a+4]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是______．
15.函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x216,(0≤x≤2)52x−1,(x>2)，若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0，a，b∈R，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是______．
16.如图，矩形ABCD中，AC是对角线，设∠BAC=α，已知正方形S1和正方形S2分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC，则正方形S1的周长正方形S2的周长的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
(1)已知a12+a−12=2，求a3+a−3+2a+a−1−1的值；
(2)化简：tan(3π−α)cs(α+π2)sin(3π2+α)sin(α−5π)cs(7π2−α)．
18.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是3 1010，点B的纵坐标是2 55．

(1)求cs(α−β)的值；
(2)求α+β的值．
19.(本小题14分)
已知函数f(x)=csx．
(1)若α，β为锐角，f(α+β)=− 55，tanα=43，求csβ的值；
(2)函数g(x)=f(2x)−1，若存在x，g2(x)≤(2+a)g(x)−2−a成立，求实数a的最大值．
20.(本小题18分)
已知函数f(x)=1−2x2x+1+2；
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3)若不等式f(2x−1)+f(k⋅2x+1+2k)>0在区间[−1,+∞)上有解，求实数k的取值范围．
21.(本小题18分)
已知f1(x)=mx4x2+16，f2(x)=(12)|x−m|，其中m∈R．
(1)若0(2)若m>0，x<2，求f2(x)=(12)|x−m|的值域；
(3)设函数g(x)=f1(x),x≥2f2(x),x<2，若对于任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得g(x1)=g(x2)成立，试确定实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：当“012”成立；
当“csx>12”时，“−π3+2kπ12”充分非必要条件．
故选：A．
直接利用余弦函数的性质和三角函数不等式的解法求出结果．
本题考查的知识点：三角函数不等式，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：依题意，tan(α+2π3)=tanα− 31+ 3tanα=− 35，解得tanα= 32，
故csαsinα− 3csα=1tanα− 3=−2 33．
故选：A．
借助两角和的正切函数公式可得tanα的值，借助弦切转化计算即可得．
本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意，图象关于y轴对称，函数为偶函数，排除选项A，
因为x≠±1，排除选项D，
函数图象经过点(0,1)，排除选项C．
故选：B．
由图象结合函数为偶函数，函数定义域x≠±1及f(0)=1排除不符合题意的选项即可．
主要考查了函数解析式的求解，体现的数形结合思想的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：如果集合A有100个元素，等价于单位圆盘n等分后，即相应横坐标的所有可能数为100，
则可能是(1,0)和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标(它们关于x轴对称)，即此时n=1+99+99=199，
还有一种可能：即(1,0)和(−1,0)，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标(它们关于x轴对称)，
即此时n=1+98+1+98=198，
综上所述，若集合A有100个元素，则n=198或n=199．
故选：D．
原问题等价于单位圆盘n等分后，相应横坐标的所有可能数与n的对应关系，值得注意的是考虑上半圆盘以及(±1,0)即可．
本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．
5.【答案】4cm2
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．
【解答】
解：由已知可得：半径r为2cm，圆心角α的弧度数为2，
则扇形的面积S=12r2α=12×22×2=4cm2．
故答案为4cm2．
6.【答案】−4π
【解析】【解答】
解：由于经过2分钟，秒针转过2个周角，
由一周角为2π，
又由顺时针旋转得到的角是负角，
故秒针转过的角的弧度数是−4π，
故答案为：−4π．
【分析】
根据2分钟，秒针转过2周，一个周角为2π，即可得到答案．
本题考查的知识点是弧度制，其中一周角=2π，是解答本题的关键．
7.【答案】32+ 2
【解析】解：∵a>0，b>0，且a+b=2，
∴1a+2b=12(1a+2b)(a+b)
=12(3+ba+2ab)≥12(3+2 2)=32+ 2，
当且仅当ba=2ab即b= 2a时取等号，
结合a+b=2可解得a=2 2−2且b=4−2 2，
故答案为：32+ 2．
由题意整体代入可得1a+2b=12(1a+2b)(a+b)=12(3+ba+2ab)，由基本不等式可得．
本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．
8.【答案】2sin(α+2π3)
【解析】解： 3csα−sinα=2( 32csα−12sinα)
=2(sin2π3csα+sinαcs2π3)=2sin(α+2π3).
故答案为：2sin(α+2π3).
由已知结合辅助角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题．
9.【答案】89
【解析】解：∵cs(π3−x)=sin(x+π6)=13，
∴sin2(π3−x)=1−cs2(π3−x)=1−19=89．
故答案为：89．
利用诱导公式可求得cs(π3−x)=13，再利用同角三角函数间的关系即可求得答案．
本题考查诱导公式及同角三角函数间的关系，属于基础题．
10.【答案】(−3,−12)
【解析】解：根据题意，设t=−x2−x+6，y=lg12t，
有−x2−x+6>0，解可得−3即函数的定义域为(−3,2)，
若函数f(x)=lg12(−x2−x+6)的单调递减，而y=lg12t为减函数，
而t=−x2−x+6为增函数且t>0恒成立，
又由t=−x2−x+6，为开口向下的二次函数，其对称轴为x=−12，
满足t>0且递增的区间为：(−3,−12).
故函数f(x)=lg12(−x2−x+6)的单调递减区间为(−3,−12).
故答案为：(−3,−12).
根据题意，设t=−x2−x+6，则y=lg12t，先分析函数的定义域，再结合对数函数、二次函数的性质分析可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
11.【答案】469
【解析】解：∵sinα+csα=12，∴2sinαcsα=−34，∴sinαcsα=−38
∵tan2α+ct2α=1−2(sinαcsα)2(sinαcsα)2=469
故答案为469
先两边平方，利用同角三角函数关系求得sinαcsα=−38，再将tan2α+ct2α化简，代入即可．
本题的考点同角三角函数的基本关系．考查了同角三角函数的基本关系，关键是利用好平方关系及切化弦关系．
12.【答案】π3
【解析】解：由题意知，sinαcsβ−csαsinβ=sin(α−β)=3 314，
又0<β<α<π2，所以0<α−β<π2，
所以cs(α−β)= 1−sin2(α−β)=1314，而sinα=4 37，所以csα=17，
所以sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)=4 37×1314−17×3 314= 32．
又0<β<π2，所以β=π3．
故答案为：π3．
利用同角的三角函数的基本关系式可求cs(α−β)，csα，再利用两角差的正弦求sinβ的值．
本题考查了行列式与三角函数求值运算问题，是基础题．
13.【答案】②
【解析】解：对于①，终边在y轴上的角的集合是{α|α=π2+kπ,k∈Z}，则①错误；
对于②，若函数f(x)的定义域为[1,2]，由1≤2csx≤2，可得12≤csx≤1，
可得−π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z，即所求定义域为[−π3+2kπ,π3+2kπ](k∈Z)，故②正确；
对于③，当a=−1时幂函数y=x−1的图象关于原点成中心对称，
但是函数y=x−1在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，在定义域上不具有单调性，不符合题意，故③错误；
对于④，函数y=sin2x−sinx+14=(sinx−12)2，
因为−π6≤x≤π3，
所以sinx∈[−12, 32]，
所以当sinx=12，即x=π6时，函数y取得最小值0；
当sinx=−12，即x=−π6时，函数y取得最大值1，
所以函数的值域为[0,1]，故④错误．
故答案为：②．
根据终边在y轴上的角的集合判断①；根据抽象函数的定义域及余弦函数的性质判断②；利用特殊值判断③；根据正弦函数及二次函数的性质求出函数的值域，即可判断④．
本题主要考查了终边在y轴上的角的集合，余弦函数的性质，正弦函数及二次函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．
14.【答案】[2 2,+∞)
【解析】解：设x<0，则−x>0，
因为当x≥0时，f(x)=x2，
所以f(−x)=(−x)2=x2，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)=−f(−x)=−x2，
故f(x)=x2,x≥0−x2,x<0，
所以2f(x)=f( 2x)，且f(x)在R上为单调递增函数，
则不等式f(x+a)≥2f(x)等价于f(x+a)≥f( 2x)，
故x+a≥ 2x对任意的x∈[a,a+4]恒成立，
即a≥( 2−1)x对任意的x∈[a,a+4]恒成立，
所以a≥( 2−1)(a+4)，
解得a≥2 2，
所以实数a的取值范围为[2 2,+∞)．
故答案为：[2 2,+∞)．
先求出f(x)的解析式，确定f(x)的单调性，利用单调性去掉“f”，转化为a≥( 2−1)x对任意的x∈[a,a+4]恒成立，即可得到答案．
本题考查了函数恒成立问题，函数奇偶性与单调性的判断与应用，函数解析式的求解，解题的关键是利用单调性去掉“f”，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
15.【答案】(−12,−14)∪(−14,1)
【解析】解：由题意，作函数f(x)的图象如下，
由图象可得，0≤f(x)≤f(2)=14；
∵关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，
∴方程x2+ax+b=0有两个根，不妨设为x1，x2；
且x1=14，0∴x1+x2∈(14,12)或者x1+x2∈(−1,14)；
又∵−a=x1+x2，
∴a∈(−14,1)∪(−12,−14)；
故答案为：(−14,1)∪(−12,−14).
作函数f(x)的图象，从而可化条件为方程x2+ax+b=0有两个根，且x1=，0本题考查了函数的图象的作法与数形结合的思想应用，同时考查了二次方程的根与系数的关系应用，属于中档题．
16.【答案】[2 23,1)
【解析】解：设两个正方形S1，S2的边长分别为a，b，
则在Rt△ACD中，有AC=atanα+a+atanα，
在Rt△ABC中，有ac=bsinα+bcsα，
所以atanα+a+atanα=bsinα+bcsα，
S1的周长与S2的周长比为4a4b=1sinα+1csαtanα+1tanα+1=sinα+csα1+sinαcsα，
设t=sinα+csα= 2sin(α+π4)，
因为α∈(0,π4)，所以t= 2sin(α+π4)∈(1, 2],
则sinα+csα1+sinαcsα=t1+t2−12=2tt2−1=2t+1t，
因为y=t+1t在(1, 2]上单调递增，所以t+1t∈(2,3 22],sinα+csα1+sinαcsα=2t+1t∈[2 23,1)，
所以周长比为[2 23,1)．
故答案为：[2 23,1)．
设两个正方形边长分别为a，b，用a，b表示AC建立方程，将两个三角形的周长比表示为α的三角函数，求取值范围．
本题考查三角恒等变换的综合应用，以及sinα±csα与sinαcsα的转化，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为a12+a−12=2，
则a+a−1=(a12+a−12)2−2=2，
则a2+a−2=(a+a−1)2−2=2，
所以a3+a−3+2a+a−1−1=(a+a−1)(a2+a−2−1)+2a+a−1−1=4；
(2)tan(3π−α)cs(α+π2)sin(3π2+α)sin(α−5π)cs(7π2−α)=−tanα(−sinα)(−csα)−sinα(−sinα)
=−tanαcsαsinα=−sinαcsα×csαsinα=−1．
【解析】(1)将等式两边取平方求得a+a−1，再两边平方求得a2+a−2，将所求式中的a3+a−3利用立方和公式展开代入即得；(2)利用诱导公式化简所求式，再根据三角函数基本关系式化切为弦即得．
本题主要考查了指数幂的运算性质，还考查了诱导公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为锐角α的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是3 1010，
由任意角的三角函数的定义可知csα=3 1010，
从而sinα= 1−cs2α= 1010.
因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是2 55，
所以sinβ=2 55，
从而csβ=− 1−sin2β=− 55.
(1)cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ
=3 1010×(− 55)+ 1010×2 55=− 210.
(2)sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ
= 1010×(− 55)+3 1010×2 55= 22.
因为α为锐角，β为钝角，故α+β∈(π2,3π2)，
所以α+β=3π4．
【解析】利用任意角的三角函数的定义求得α、β的正弦值和余弦值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为tanα=43，且α为锐角，所以sinα=45，csα=35．
因为f(x)=csx，所以f(α+β)=cs(α+β)=− 55．
因为α，β为锐角，所以α+β∈(0,π)，所以sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=2 55．
所以csβ=cs(α+β−α)=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα
=− 55×35+2 55×45= 55．
(2)g(x)=f(2x)−1=cs2x−1．
因为存在x，g2(x)≤(2+a)g(x)−2−a成立，
所以(cs2x−1)2≤(2+a)(cs2x−1)−2−a成立，
即(cs2x−1)2≤(2+a)(cs2x−2)成立．
设cs2x−2=t，则t∈[−3,−1]，所以(t+1)2≤(2+a)t，则a≤t+1t．
因为t+1t=−[(−t)+(−1t)]≤−2，当且仅当t=−1时，等号成立，
所以a≤−2，故a的最大值为−2．
【解析】(1)利用同角三角函数基本关系求出sinα，csα，sin(α+β)，利用csβ=cs(α+β−α)求解即可
(2)设cs2x−2=t，则不等式g2(x)≤(2+a)g(x)−2−a可化为a≤t+1t.求出t+1t的最大值即可．
本题考查三角函数求值问题，恒成立问题的求解，属中档题．
20.【答案】解：(1)∵f(x)=1−2x2x+1+2=1−2x2(1+2x)，定义域为R，关于原点对称，
又f(−x)=1−2−x2(1+2−x)=2x(1−2−x)2×2x(1+2−x)=2x−12(2x+1)=−f(x)，
∴f(x)=1−2x2x+1+2为奇函数．
(2)∵f(x)=1−2x2(1+2x)=2−(1+2x)2(2x+1)=12x+1−12，
任取x1，x2∈R且x1=12x1+1−12x2+1=2x2−2x1(2x2+1)(2x1+1)，
∵x10，1+2x2>0，1+2x1>0，
故f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)=1−2x2x+1+2在R上为减函数．
(3)∵y=f(x)为R上的奇函数，又f(2x−1)+f(k⋅2x+1+2k)>0，
∴f(k⋅2x+1+2k)>−f(2x−1)=f(1−2x).
又由于函数y=f(x)为R上的减函数，
∴k⋅2x+1+2k<1−2x，
则k<1−2x2x+1+2=f(x)，
又存在x∈[−1,+∞)，使得k<1−2x2x+1+2=f(x)成立，则k又∵f(x)=1−2x2x+1+2在[−1,+∞)上为减函数，
∴f(x)max=f(−1)=16，
∴k<16，
∴实数k的取值范围是(−∞,16)．
【解析】(1)先求函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分析判断；
(2)先对函数化简变形后，再任取x1，x2∈R且x1(3)利用函数是奇函数将原不等式转化为f(k⋅2x+1+2k)>f(1−2x)，再由函数y=f(x)为R上的减函数，得k⋅2x+1+2k<1−2x，即存在x∈[−1,+∞)，使得k<1−2x2x+1+2=f(x)成立，然后求出f(x)的最大值即可．
本题考查函数奇偶性，函数单调性的证明，考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，第(3)问解题的关键是利用函数为奇函数将原不等式转化后，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵0则f′(x)=4m(4−x2)(4x2+16)2+2m⋅(12)xln12
=m(4−x2)(2x2+8)2−2m⋅(12)xln2且0∴f′(x)<0，
∴函数f(x)为单调递减函数，
又2x2+2x+3=2(x+12)2+52≥2，x2+6≥2，
∴f(2x2+2x+3)x2+6
整理得x2+2x−3>0，解得x<−3或x>1
不等式的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞)；
(2)∵m>0，x<2，∴|x−m|≥0，∴(12)|x−m|∈(0,1]，
所以f2(x)的值域为(0,1]；
(3)①若m≤0，由x1≥2，g(x1)=f1(x1)=mx14x12+16≤0，
x2<2，g(x2)=f2(x2)=(12)|x2−m|>0，
∴g(x1)=g(x2)不成立
②若m>0，由x>2时，g′(x)=f1(x)=m(4−x2)(2x2+8)2<0，
∴g(x)在[2,+∞)上单调递减，
从而g(x1)∈(0,f1(2)]，即g(x1)∈[0,m16]
(a)若m≥2，由于x<2时，g(x)=f2(x)=(12)m−x=(12)m⋅2x
∴g(x)在(−∞,2)上单调递增，
从而g(x2)∈(0,f2(2)]，即g(x2)∈(0,(12)m−2]
要使g(x1)=g(x2)成立，只需m16<(12)m−2，即m16−(12)m−2<0成立即可，
由于函数h(m)=m16−(12)m−2在[2,+∞)上单调递增，且h(4)=0
∴2≤m<4
(b)若0g(x)=f2(x)=(12)|x−m|=(12)m−xx∴g(x)在(−∞,m]上单调递增，在[m,2)上单调递减，
∴g(x)在(−∞,m]上单调递增，在[m,2)上单调递减，
从而g(x2)∈{0,f2(m))，即g(x2)∈(0,1]，
要使g(x1)=g(x2)成立，只需m16<1m16≤(12)2−m成立，
即m16≤(12)2−m成立即可．
由014，
故当0综上所述：m的取值范围是(0,4)．
【解析】(1)先由导函数得出f(x)在[2,+∞)上的单调性，再根据单调性解函数不等式即可；
(2)先求出|x−m|的范围，再根据指数函数y=(12)x的单调性求得值域；
(3)首先对m进行分类讨论，接下来研究函数g(x)的单调性，再由“总存在唯一的小于2的实数x2，使得g(x1)=g(x2)成立”分别求出两函数的值域，使得g(x1)的值域为g(x2)的值域的子集，建立不等关系，解之即可．
本题考查了函数单调性得性质与判定，属难题．