2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第8章平面解析几何第5讲椭圆

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第8章平面解析几何第5讲椭圆，共4页。

知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 .
注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：
(1)若a＞c，则集合P为 椭圆 ；
(2)若a＝c，则集合P为 线段F1F2 ；
(3)若a＜c，则集合P为 空集 .
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
归 纳 拓 展
1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值；a与b分别为椭圆上的点到原点距离的最大值和最小值．
2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝eq \f(2b2,a)，称为通径．
3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a.
4．e＝eq \r(1－\f(b2,a2)).离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆．
5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．
6．AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
7．若M、N为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝－eq \f(b2,a2).
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ )
(4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同．( √ )
题组二 走进教材
2．(选择性必修1P115T6)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( B )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析] 由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.
3．(多选题)(选择性必修1P115T4)长轴长是短轴长的3倍；且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为( AD )
A.eq \f(x2,9)＋y2＝1 B．eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1
C．x2＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,81)＝1
[解析] 若P为长轴的端点，则a＝3，b＝1，
椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1；
若P为短轴的端点，则b＝3，a＝9，
椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,81)＝1.
题组三 走向高考
4．(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( A )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
[解析] A(－a,0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，
则kAP＝eq \f(y1,x1＋a)，kAQ＝eq \f(y1,－x1＋a)，
故kAP·kAQ＝eq \f(y1,x1＋a)·eq \f(y1,－x1＋a)＝eq \f(y\\al(2,1),－x\\al(2,1)＋a2)＝eq \f(1,4)，
又eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，则yeq \\al(2,1)＝eq \f(b2a2－x\\al(2,1),a2)，
所以eq \f(\f(b2a2－x\\al(2,1),a2),－x\\al(2,1)＋a2)＝eq \f(1,4)，即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故选A.
5．(2023·高考新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( C )
A.eq \f(2,3) B．eq \f(\r(2),3)
C．－eq \f(\r(2),3) D．－eq \f(2,3)
[解析] 将直线y＝x＋m与椭圆联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为 2a ；
短轴B1B2的长为 2b
焦距
|F1F2|＝ 2c
离心率
e＝ eq \f(c,a) ∈(0,1)
a、b、c
的关系
c2＝a2－b2