2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第5讲椭圆第1课时

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∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，且F(－1,0)，A(2,0)，
解法一：设P(x，y)，由上述解法知eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－x－2＝eq \f(1,4)(x－2)2(－2≤x≤2)，显然当x＝－2时，eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))最大且最大值为4.
解法二：设P(2cs θ，eq \r(3)sin θ)，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝(－1－2cs θ，－eq \r(3)sin θ)·(2－2cs θ，－eq \r(3)sin θ)＝cs2θ－2cs θ＋1＝(cs θ－1)2≤4.
当且仅当cs θ＝－1时取等号，
故eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为4.
2．(2024·云南曲靖一中阶段测试)曲线eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上点到直线x－2y＋8＝0距离的最小值为 eq \f(3\r(5),5) .
[解析] 解法一：令x－2y＋m＝0与eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1相切，联立整理可得25y2－16my＋4m2－36＝0，
所以Δ＝256m2－400(m2－9)＝0，可得m＝±5，
当x－2y＋5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为eq \f(|8－5|,\r(1＋4))＝eq \f(3\r(5),5)，
当x－2y－5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为eq \f(|8＋5|,\r(1＋4))＝eq \f(13\r(5),5)，
所以曲线到直线距离的最小值为eq \f(3\r(5),5).
解法二：设x＝3cs θ，则y＝2sin θ，则曲线上的点到直线x－2y＋8＝0的距离d＝eq \f(|3cs θ－4sin θ＋8|,\r(5))＝eq \f(|5csθ＋φ＋8|,\r(5))≥eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5).eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(4,3)，且csθ＋φ＝－1时取等号 ))，即dmin＝eq \f(3\r(5),5).
名师点拨：与椭圆有关的最值问题的解法
1．利用数形结合，利用椭圆的性质或直线与椭圆的位置关系求解．
2．利用基本不等式求解．
3．构造函数，利用椭圆方程消元，化为二次函数求解．注意自变量的取值范围．
4．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，可用三角换元法求解，即令x＝acs θ，y＝bsin θ，将其化为三角函数最值问题求解．
【变式训练】
(2024·江苏南通海安中学月考)P为椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1上一点，A(1,0)，则|PA|最小值为( D )
A．1 B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(6),3)
[解析] 解法一：设P(x，y)，则|PA|＝eq \r(x－12＋y2)＝eq \r(\f(3,4)x2－2x＋2)＝eq \r(\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋\f(2,3))，由于－2≤x≤2，故当x＝eq \f(4,3)时，|PA|min＝eq \f(\r(6),3).故选D.
解法二：设P(2cs θ，sin θ)，θ∈R，则|PA|＝eq \r(2cs θ－12＋sin2θ)＝eq \r(4cs2θ－4cs θ＋1＋sin 2θ)＝eq \r(3cs2θ－4cs θ＋2)＝eq \r(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ－\f(2,3)))2＋\f(2,3))，由于－1≤cs θ≤1，故当cs θ＝eq \f(2,3)时，|PA|取最小值eq \f(\r(6),3)，故选D.