初中数学12.1 二次根式当堂检测题

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一、单选题
1．已知实数满足，则的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．21或18B．21C．18D．以上均不对．
【标准答案】A
【思路指引】
根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解详析】
解：根据题意得
解得
若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、8，能组成三角形，周长为；
若5是底边长，则三角形的三边长为：5、8、8，能组成三角形，周长；
即等腰三角形的周长是21或18．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断，根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
2．我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知的三边分别是3，和，则的面积是（ ）．
A．B．C．2D．3
【标准答案】A
【思路指引】
根据二次根式乘法、乘方、最简二次根式的性质，利用已知运算公式，将数据代入代数式计算，即可得到答案．
【详解详析】
∵△ABC的三边分别是3，和，即，，
∴△ABC的面积S＝
故选：A．
【名师指路】
本题考查了二次根式运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式乘法、最简二次根式的性质，从而完成求解．
3．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S＝（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据已知条件的公式计算即可；
【详解详析】
根据题意可知：a＝，b＝，c＝，
∴S＝，
＝，
，
，
，
∴，
∴；
故答案选B．
【名师指路】
本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．
4．中外数学家曾经针对已知三角形的三边，求其面积问题进行过深入研究，古希腊几何学家海伦给出“海伦公式”：，其中；我国南宋数学家秦九韶给出“秦九韶公式”，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而可以解答本题．
【详解详析】
解：∵S=
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，
则面积是：S=，
故选B.
【名师指路】
此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简.
5．已知，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据，求的值，即可求得的值
【详解详析】
解：
=12
所以，．
故选B．
【名师指路】
本题考查完全平方公式和二次根式的的运用，解题的关键是与的关系．
6．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
【标准答案】D
【思路指引】
先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解详析】
解：，
所以是型无理数，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了完全平方公式在二次根式中的计算，也考查了无理数，熟练掌握完全平方公式及二次根式的运算法则是解决本题的关键．
7．秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积，其中，，为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为，用公式计算出它的面积为（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】B
【思路指引】
直接把已知数据代入进而化简二次根式得出答案．
【详解详析】
解：一个三角形的三边分别为，
∴它的面积是：
，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【名师指路】
此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
8．若实数，满足等式，则的值是
A．B．C．9D．3
【标准答案】C
【思路指引】
直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【详解详析】
解：，
，
，，
解得：，，
则．
故选：．
【名师指路】
本题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键．
9．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】C
【思路指引】
如图，由题意知S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)，得BC=（cm），HG=（cm），进而求得S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF．
【详解详析】
解：如图．
由题意知：S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)．
∴BC=（cm），HG=（cm）．
∵四边形BCDM是正方形，四边形HMFG是正方形，
∴BC=BM=MD=4cm，HM=HG=MF=3cm．
∴S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF
=BM•HM+MD•MF
=4×3+4×3
=48（cm2）．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
10．等腰三角形的两边满足，则它的周长是（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】C
【思路指引】
由非负数的性质先求得a，b，再根据三角形三边之间的关系确定出那个是腰，进而求得周长的值．
【详解详析】
解：∵ ，
∴a-7=0，2b-6=0，即a=7,b=3,
∵2b=6＜7，
∴底边的长为3，腰的长为7，
∴周长=7×2+3=17，
故此等腰三角形的周长为17．
故选：C.
【名师指路】
本题考查非负数的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质及非负数的性质、三角形三边之间的关系求解，以及利用分类讨论的思想．
二、填空题
11．已知，则________．
【标准答案】20
【思路指引】
运用二次根式化简的法则先化简，再得出的值即可．
【详解详析】
解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：20．
【名师指路】
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则．
12．若一直角三角形两直角边的长分别为，，则这个直角三角形斜边上的中线为__．
【标准答案】．
【思路指引】
根据勾股定理可以求得斜边长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可解答
【详解详析】
解：∵一直角三角形两直角边的长分别为，，
∴斜边长为：，
∴这个直角三角形斜边上的中线为，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查二次根式的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．
13．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆2＝＝，若x，y满足方程组，则（x◆y）◆x＝__．
【标准答案】
【思路指引】
先求方程组的解，再求出x◆y的值，再代入求出答案即可．
【详解详析】
解：∵解方程组得：，则x＞y
∴x◆y＝4◆（﹣1）＝＝，
∵<4，
∴（x◆y）◆x＝◆4＝×4＝4，
故答案为：4．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组，实数的运算，解二元一次方程组等知识点，能求出x、y的值是解此题的关键．
14．已知a，b均为正数，且，求的最小值_______．
【标准答案】10
【思路指引】
将变形， 代入 ，从而转化为点 到 与 的距 离， 再利用几何法求最值即可．
【详解详析】
将转化为， 代入 得

可理解为点 到 与 的距 离. 如图：找到 关于 x轴的对称点, 可见， 的长即为求代数式 的最小值.
,
∴ 的最小值为10.
故答案为： 10．
【名师指路】
本题主要考察了二次根式，几何最值等知识点，把代数问题转化成几何问题是解题关键．
15．观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式：______．
【标准答案】
【思路指引】
根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答案．
【详解详析】
解：猜想第n个为：
（n为大于等于2的自然数）；
理由如下：
∵n≥2，
∴
添项得：
，
提取公因式得：
分解分子得：
；
即：
；
第5个式子，即n=6，代入得：
，
故填：．
【名师指路】
本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．
16．设、、是的三边的长，化简的结果是________．
【标准答案】
【思路指引】
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，依此对原式进行去根号和去绝对值．
【详解详析】
解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a＜b+c，a+c＞b，
∴a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了二次根式的化简和三角形的三边关系定理，关键是根据三角形的性质：两边之和大于第三边去根号和去绝对值解答．
17．观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解详析】
解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
18．已知长方形的面积为12，共中一边长为，则该长方形的另一边长为_______．
【标准答案】
【思路指引】
根据二次根式的除法法则进行计算．
【详解详析】
解：由题意得：，
故答案为：．
【名师指路】
此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握二次根式的除法法则：．
19．形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝_____．
【标准答案】
【思路指引】
根据题目中复合二次根式的化简方法及二次根式的性质进行化简，再将化简结果运用二次根式的加减法法则计算即可．
【详解详析】
解：
．
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了二次根式的化简及运算，熟练掌握二次根式的性质及正确理解题目中复合二次根式的化简方法是解题的关键．
20．已知△ABC的三边长分别为AB＝2，BC＝，AC＝，其中a＞7，则△ABC的面积为___．
【标准答案】168
【思路指引】
将已知AB、BC、AC的表达式写成两点间的距离的形式，建立平面直角坐标系，则根据图形可得△ABC的面积．
【详解详析】
解：，
，
，
如图，设点A（a，24），B（﹣a，﹣24），C（7，0）
，
故答案为：168．
【名师指路】
本题考查了用勾股定理求两点间距离公式、三角形面积计算中的应用，数形结合并正确地将所给的三个等式变形，在平面直角坐标系中画出三角形是解题的关键．
三、解答题
21．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期（单位s），l表示摆长（单位m），π取3，g＝9.8m/s2．假如一台座钟的摆长为0.2m．它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
【标准答案】在1分钟内，该座钟大约发出了69次滴答声．
【思路指引】
由给出的公式代入计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期就是次数．
【详解详析】
解：T=，
(次) ，
∴在1分钟内，该座钟大约发出了69次滴答声．
【名师指路】
本题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，解题关键是利用公式来求，第一个公式题中已给出，第二个公式实质上就是一个速度公式．
22．设，，．
（1）当x取什么实数时，a，b，c都有意义；
（2）若Rt△ABC三条边的长分别为a，b，c，求x的值．
【标准答案】（1）；（2）x=或2．
【思路指引】
（1）根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求解；
（2）根据a、b、c分别作直角三角形的斜边，由勾股定理分别求解．
【详解详析】
解：（1）由二次根式的性质，得 ,
解得；
（2）当c为斜边时，由a2+b2=c2，
即8-x+3x+4=x+2，
解得x=-10，
当b为斜边时，a2+c2=b2，
即8-x+x+2=3x+4，
解得x=2，
当a为斜边时，b2+c2=a2，
即3x+4+x+2=8-x，
解得x=
∵
∴x=或2．
【名师指路】
本题考查二次根式的性质及勾股定理的运用．在没有指定直角三角形的斜边的情况下，注意分类讨论．
23．如图，四边形ABCD是一个菱形绿草地，其周长为40m，∠ABC＝120°，在其内部有一个矩形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边中点，现准备在花坛中种植茉莉花，其单价为30元/m2，则需投资资金多少元？（ 取1.732）
【标准答案】2598元
【思路指引】
根据菱形的性质，先求出菱形的一条对角线，由勾股定理求出另一条对角线的长，由三角形的中位线定理，求出矩形的两条边，再求出矩形的面积，最后求得投资资金．
【详解详析】
连接BD，AD相交于点O，如图：
∵四边形ABCD是一个菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠ABC=120°，
∴∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵菱形的周长为40m，
∴菱形的边长为10m，
∴BD＝10m，BO＝5m，
∴在Rt△AOB中，m，
∴AC＝2OA＝m，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH＝BD ＝5m，EF＝AC＝5m，
∴S矩形＝5×5＝50m2，
则需投资资金50×30=1500×1.732≈2598元
【名师指路】
本题考查了二次根式的应用，勾股定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理是解题的关键．
24．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：______（填写运算结果）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
（3）证明你的猜想．
（4）应用运算规律．
①化简：______；
②若（a，b均为正整数），则的值为______．
【标准答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）①；②
【思路指引】
（1）根据题目中的例子可以写出例5；
（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；
（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；
（4）①②根据（2）中的规律即可求解．
【详解详析】
解：（1），
故答案是：；
（2），
故答案是：；
（3）证明：
左边，
又右边，
左边右边，
成立；
（4）①，
故答案是：；
②，
根据，
得，
解得：，（舍去），
，
故答案是：．
【名师指路】
本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．