湘桂黔名校2022-2023学年高二下学期春季大联考数学试卷(含答案)

这是一份湘桂黔名校2022-2023学年高二下学期春季大联考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合，，则( )
A.B.C.D.
2．若复数，则( )
A.B.C.D.i
3．已知平面向量，满足，，则( )
A.B.C.D.
4．已知函数，则( )
A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称
C.为偶函数D.的最小正周期为
5．甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是6的概率是( )
A.B.C.D.
6．若圆与圆的公共弦长为，则( )
A.B.C.2D.4
7．打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已知利用打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取，精确到0.1）( )
A.B.C.D.
8．设，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设等差数列满足，，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.不是等差数列D.
10．已知抛物线的焦点为F，，是C上相异两点，则下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，且，则
C.若，则
D.若，则的最小值为
11．已知正方体的棱长为2，M，N分别是AB，的中点，则( )
A.
B.
C.平面MND截此正方体所得截面的周长为
D.三棱锥的体积为1
12．已知函数是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则下列选项中正确的是( )
A.关于对称B.是周期为4的函数
C.D.
三、填空题
13．二项式展开式中常数项是________.（填数字）
14．已知，则______.
15．已知双曲线的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为______.
16．三棱锥中，，，点D是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球O的表面积___________.
四、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
（1）求角B；
（2）若，求面积的最大值.
18．已知数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，，，，Q为PD的中点.
（1）求证：平面ABQ；
（2）求二面角的正弦值.
20．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWrldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：.
21．已知椭圆的右焦点为，点在E上.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别交于M，N两点，O为坐标原点，求证：为定值.
22．函数.
（1）若对恒成立，求a的取值范围；
（2）设，证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，又，
所以.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为，所以.
故选：B.
3．答案：D
解析：因为，所以，
又，所以，
所以，
所以.
故选：D.
4．答案：C
解析：，的图象关于点不对称，故A选项不正确.
，的图象关于直线不对称，故B选项不正确.
因为，
又，即，故为偶函数，故C选项正确.
的最小正周期为，故D选项不正确.
故选：C.
5．答案：C
解析：将甲乙两人离开电梯的楼层数配对，组成种等可能的结果，用表格表示如下：
记事件“甲乙两人离开电梯的楼层数的和是6”，
则事件A的可能结果有种，即，
所以事件A的概率为：，
故选：C.
6．答案：A
解析：圆与圆两式相减，
整理得公共弦所在直线方程为，
又，圆心为，半径为2，公共弦长为，
则圆心到直线的距离，
化简得，
解得：.验证知符合题意.
故选：A.
7．答案：C
解析：如图，是几何体的轴截面
圆锥底面直径为，半径为，
母线与底面所成角的正切值为，圆锥的高为，
设正方体的棱长为a，则，解得.
该模型的体积.
制作该模型所需原料的质量约为.
故选：C.
8．答案：A
解析：令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，即，
所以，即，
令，则，
令，
因为函数在上都是减函数，
所以在上是减函数，
所以，
即，
所以函数在上是减函数，
所以，
即，所以，所以，
综上所述，.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：等差数列满足，，设公差为d，
由，
则，解得，.
则，
故选项AB正确；
又，则，
且，
故数列是以3为首项，4为公差的等差数列，故C错误；
由，得，
故D正确.
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：对于A，因为，所以F为的中点，
根据抛物线的对称性知，直线与x轴垂直，
所以，正确；
对于B，因为，所以，即，又，所以，
所以，解得或，错误；
对于C，若，则，当且仅当A，B，三点共线时等号成立，错误；
对于D，抛物线的焦点为，准线l方程为，
过点A作准线l的垂线，垂足为点N，
由抛物线的定义得，则，
当点N、A、M三点共线时，取得最小值，且最小值为.正确.
故选：AD.
11．答案：BCD
解析：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
因为，所以与不平行，A不正确；
因为，所以，B正确；
如图，取的中点P，取的中点Q，连接，，，，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为M，Q分别为，的中点，所以，所以，
平面截正方体所得截面为梯形，
因为正方体的棱长为2，所以，，
，
所以平面截此正方体所得截面的周长为，C正确；
由上面分析可知，，平面，平面，
所以平面，即点M到平面的距离等于点Q到平面的距离，
，
而，
所以三棱锥的体积为1，D正确.
故选：BCD.
12．答案：BC
解析：定义在R上的函数满足：为奇函数，为偶函数，可得，
即，所以函数关于对称，
从而，故，可得的最小正周期为4，
故选项A错误，B正确；
由于，则，，
当时，，
所以，
则，
故选项C正确；
因为，，所以，，，
又的最小正周期为4，所以每个周期的和，
所以，
故选项D错误.
故选：BC.
13．答案：240
解析：展开式的通项公式为，
令，解得，
所以常数项为，
故答案为:240.
14．答案：
解析：由，解得，
则.
故答案为：.
15．答案：或
解析：由对称性，不妨设F为右焦点，则P在右支上，设双曲线左焦点为，
依题意，三角形为正三角形，
则，连接，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
可得，又，即，
所以.
故答案为：.
16．答案：或
解析：如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为h，则的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O为圆柱的外接球球心，且有.
本题中，依题意，由，，得.
连接，由点D是的中点且，则，且，
又，，则，可知，
又，所以平面.
可将三棱锥置于圆柱中，且的外接圆为圆，
圆的半径为，所以，三棱锥的外接球的直径为，则，
故三棱锥的外接球的表面积.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，则，
即，可得，
因为，所以.
（2）因为，且，
由余弦定理知，即，
可得，
又由，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最大值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，所以；
当时，由，则，
可得，
整理得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故.
（2）由（1）可得：，
则，
，
两式相减得：，
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）平面，平面，，，
又，且平面，平面，
所以平面，所以，
，Q为的中点，所以，
又，且平面，平面，
所以平面.
（2）以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，
设平面ABQ的法向量为，
则，
取，则，
设平面BQE的一个法向量为，
则，取，，
则.
所以二面角的正弦值为，
故所求二面角的正弦值为.
20、
（1）答案：表格见解析，有
解析：根据题意，得到列联表如下：
可得，
所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）答案：分布列见解析，
解析：由题意，3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3，
可得，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望为.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得，又点在椭圆上，
则，解得，
故所求椭圆E的标准方程为.
（2）由题意知直线l的斜率不为0，可设l方程为，
联立，消x得，
则，
设，，
由韦达定理得，，，
则，
且
，
又则直线的方程为：，
令得，，
同理可得，，
故，
由，
则，
则.
即为定值.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由，，
则，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的最小值为，
要使对恒成立，则，解得，
故a的取值范围为.
（2）由（1）知，当时，，
即：，当且仅当时，等号成立.
所以当时，，即，，
令，，又，
则，
即：，
故，，，
…，
，
各式相加得，
.
故命题得证.
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
k
甲
乙
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
0
1
2
3
P