河北省“五个一”名校2022-2023学年高二下学期6月联考数学试卷（含答案）

这是一份河北省“五个一”名校2022-2023学年高二下学期6月联考数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河北省“五个一”名校2022-2023学年高二下学期6月联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知集合，集合，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
2、已知，，，则与夹角的余弦值为( )
A.-1 B. C.0 D.1
3、已知双曲线与双曲线，则两双曲线的( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
4、已知，且，则下列各式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
5、一条长椅上有6个座位，3个人坐.要求3个空位中恰有2个空位相邻，则坐法的种数为( )
A.36 B.48 C.72 D.96
6、某学校有男生600人，女生400人.为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为n的样本.经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10;女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20.结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为( )
A.96 B.110 C.112 D.128
7、过直线上一点向圆作两条切线，设两切线所成的最大角为，则( )
A. B. C. D.
8、设是定义在R上的奇函数，且满足，.数列满足，，则( )
A.0 B.-1 C.2 D.-2
二、多项选择题
9、若，，则下列说法正确的是( )
A.若事件A、B相互独立，则事件A、B也互斥
B.若事件A、B相互独立，则事件A、B不互斥
C.若事件A、B互斥，则事件A、B也相互独立
D.若事件A、B互斥，则事件A、B不相互独立
10、函数由关系式确定，则下列说法正确的是( )
A.函数的零点为1
B.函数的定义域和值域均为
C.函数的图像是轴对称图形
D.若，则在定义域内满足恒成立
11、某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字0或是1作为代码，且每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发出的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收成0或1的概率分别为0.94和0.06;发送信号1时，接收成1或0的概率分别为0.96和0.04.假设发送信号0或1的概率是等可能的，则( )
A.已知两次发送的信号均为1，则接收到的信号均为1的概率为
B.在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49
C.在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.95
D.在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为
12、已知为等腰直角三角形，AB为斜边且长度是4.为等边三角形，若二面角为直二面角，则下列说法正确的是( )
A.
B.三棱锥的体积为
C.三棱锥外接球的表面积为
D.半径为的球可以被整体放入以三棱锥为模型做的容器中
三、填空题
13、方程在复数集C中的解为________.
14、________.
15、已知函数的图像关于点对称，且在区间上单调，则________.
16、如图所示，斜率为的直线l交椭圆于M、N两点，交x轴、y轴分别于Q、P两点，且，则椭圆的离心率为________.

四、解答题
17、已知数列的前n项和为，数列满足，.
（1）证明:数列是等差数列;
（2）是否存在常数p、q，使得对一切正整数都有成立?若存在，求出p、q的值;若不存在，说明理由.
18、记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求角A的大小;
（2）设BC边上的高，求面积的最小值.
19、如图，圆锥PO的高为3，AB是底面圆O的直径，PC，PD为圆锥的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，点E在母线PB上，且.

（1）证明:平面平面POD
（2）求平面AEC与平面EAB的夹角的余弦值.
20、已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）若既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为.解不等式
21、已知B为抛物线上一点，，B为AC的中点，设C的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程;
（2）过点作直线交曲线E于点M、N，点P为直线上一动点.问是否存在点P使为正三角形?若存在，求出点P坐标;若不存在，请说明理由.
22、航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展.某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩.经统计分析该市高中生竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，并已求得和.
（1）若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间的人数;
（2）若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过n如果抽取次数的期望值不超过6，求n的最大值.
（附:，，，，，若，则，）
参考答案
1、答案：B
解析：，，，，.
故选:B.
2、答案：A
解析：因为，，，
所以，则，
所以.
故选:A.
3、答案：D
解析：的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，
实数k满足，曲线是双曲线，
实半轴的长为，虚半轴的长为
显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；
焦距为:，焦距相等，所以D正确;离心率为:和，不相等，所以C不正确.故选:D.
4、答案：A
解析：根据题意，，其定义域为R
有，则为偶函数，
设，则有，
当时，在区间上，为增函数，且，
在上也是增函数，
故在上为增函数，
当时，在区间上，为减函数，
且，在上是减函数，
故在上为增函数，
综合可得:函数在上为增函数，
依次分析选项:
对于A，有，A正确；
对于B，有，B错误；
对于C，有，C错误;
对于D，，D错误.
故选:A.
5、答案：C
解析：根据题意，分2步进行分析:
(1)先让3人全排列，坐在3个位置上，有种排法，
(2)将3个空位看成2个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”，
再将2个元素插入3个人形成的4个“空当”之间，有种插入法，
故所求的坐法数为种.
故选:A.
6、答案：B
解析：由题意，按分层抽样方式抽取样本，且该校女、男学生比例为，
不妨设抽取女、男学生分别为2n，3n，则总数为5n，
则所有样本平均值为，
所以方差为.
故选：B.
7、答案：C
解析：由圆O:，可得圆心为，半径为，
设P是直线的动点，自P向圆作切线，当OP长最短时，两切线所成的角最大，
即OP是圆心P到直线的距离时，两切线所成的角的最大，
由点到直线的距离公式可得
，，，.
故选:C.
8、答案：D
解析：根据题意，数列满足，且
，
变形可得，
则有
，
则，故;
又由是定义在R上的奇函数，则，
又由满足，则有，得，
则有，是周期为3的周期函数，
则有.
故选:D.
9、答案：BD
解析：对于AB，若事件A，B相互独立，则
，
所以事件A，B不互斥，故A错误，B正确；
对于CD，若事件A，B互斥，则，又，
所以，则事件A，B
不相互独立，故C错误，D正确.
故选:BD.
10、答案：ACD
解析：因为函数由关系式确定，
所以，则的图象如图所示，

由图象可知，函数的零点为1，所以A正确，
由图象可知，函数的定义域和值域均为R，所以B错误，
因为对于，x与y互换后得到，与原式子相同，
所以的图象关于直线对称，所以函数的图象是轴对称图形，所以C正确，
由图象可知，的图象恒在直线的上方，所以在定义域内满足恒成立，所以D正确，
故选:ACD
11、答案：BCD
解析：对于选项A:两次发送的信号均为1，接收到的信号均为1的概率为，故A错误；
对于选项B：在单次发送信号中，接收到0的概率为，故B正确;
对于选项C：在单次发送信号中，能正确接收的概率为，故C正确;
对于选项D：由选项B可知：在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49，则发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率，故D正确；
故选:BCD.
12、答案：ACD
解析：
13、答案：
解析：，即，故，解得.故答案为:.
14、答案：
解析：
故答案为:
15、答案：或2
解析：因为的图象关于点对称，
所以，，
所以，
因为函数在区间上是单调函数，
所以，即，
所以，
当时，，时，，符合题意.
故答案为:或2.
16、答案：
解析：设直线，由图可知，
，
设直线，由图可知，
，
又因为，设MP在y轴上投影长度为，
所以，代入，解得:

上式除以下式得:

等式两边同时除以，解得:，即:，
又因为，解得，所以椭圆的离心率为，
17、答案：（1）证明见解析
（2）答案见解析
解析：（1）证明:因为数列的前n项和为，
当时，，
所以，
当时，，所以满足，
所以数列的通项公式为，，
所以，，
所以是首项为7，公差为4的等差数列.
（2）因为，所以，所以数列是以8为首项，为公比的等比数列，
所以;
所以，
要使对一切正整数n都有成立.
即，即，
所以
解得，所以则当，时，对一切正整数n都有成立.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理可知:所以
又，所以，所以.
因为，所以.
（2），所以①
而
所以，当且仅当时等号成立②
由①②两式可知，
所以，即面积的最小值为.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：由已知可得，且，
所以四边形OADC为平行四边形，
又因为，所以平行四边形OADC为菱形
所以
在圆锥PO中，因为平面ABCD，平面ABCD，
所以
因为，平面POD，平面POD，
所以平面POD.
又因为平面AEC，所以平面平面POD.
（2）取CD中点M，易知平面PAB，，
以O为原点，OM，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，所以，所以，
所以，.
设平面AEC的一个法向量为.
因为所以，
令，则，，所以，
易知平面EAB即平面yOz，所以平面EAB的一个法向量为，
设平面AEC与平面EAB的夹角为，
则，
所以平面AEC与平面EAB的夹角的余弦值为.
20、答案：（1）答案见解析
（2）答案见解析
解析：（1）定义域:，

时，
令，解得;令，解得;
所以在上单调递增，在上单调递减;时
①当时，即时，令，解得或;令，解得;
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增;
②当时，即时，
恒成立，所以在上单调递增;
③当时，即时，令，解得或;
令，解得;
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增.
综上所述:当时，在上单调递增，在上单调递减;
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增;
当时，在上单调递增;
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增.
（2）由（1）知:且
且
即:解不等式;且
等价于解不等式:
令，
所以在单调递增，
且，所以，即不等式的解集为.
21、答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）设，则
因为点B在抛物线上，即，化简得，所以曲线E的方程为.
（2）假设存在点使为正三角形.
当MN垂直于轴时，不符合题意（舍）;
当MN不垂直于轴时，
设直线，MN的中点为，
联立得:
，，
，，，
为正三角形:
即:
，令，
所以存在点使为正三角形.
22、答案：（1）32600
（2）6
解析：（1）由题意，全市高中生航天创新知识竞赛成绩X近似服从正态分布，
则，，所以，
而
所以该市4万名高中生中航天创新知识竞赛成绩位于区间的人数约为人）；
（2）由可知，
任意抽取一人，等级为优秀的概率，
设抽取次数为，则的分布列如下:







P
p





故，
又
两式相减得:，
即
而在时递增，
结合，，，知，
当时，;当时，;当时，;
所以n的最大值为6.而在时递增，
结合，，，知，
当时，;当时，;当时，;
所以n的最大值为6.