广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）模拟（四）数学试卷(含答案)

这是一份广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）模拟（四）数学试卷(含答案)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．在空间中，下列命题为真命题的是( )
A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.垂直于同一条直线的两个平面平行
C.平行于同一条直线的两条直线垂直D.平行于同一个平面的两条直线平行
3．函数的定义域是( )
A.B.C.D.
4．从1，2，3，4，5中任取两个不相同的数，则这两个数的和为质数的概率为( )
A.B.C.D.
5．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是( )
A.B.C.D.
6．已知，则的最小值是( )
A.6B.8C.10D.12
7．平面向量，，若，则( )
A.B.2C.D.
8．图象中，最有可能是的图象是（）
A.B.C.D.
9．若，则( )
A.B.C.D.
10．一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为( )
A.至多有一次中靶B.至多有两次中靶C.恰好有一次中靶D.三次都中靶
11．不等式的解集为( )
A.B.C.D.
12．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
二、填空题
13．i是虚数单位，则，则的值为__________.
14．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到函数的图象__________.
15．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为__________.
16．已知平面向量，,则__________.
17．某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，30，32，41，则这8人年龄的25%分位数是_________.
18．已知定义域为R的偶函数在区间上严格减，且，则不等的解集为__________.
三、解答题
19．在中，已知，，.
（1）求角A；
（2）求的面积.
20．某教练统计了甲、乙两名三级跳远运动员连续5次的跳远成绩（单位：米），统计数据如图所示.
（1）分别求甲、乙跳远成绩的平均数；
（2）通过平均数和方差分析甲、乙两名运动员的平均水平和发挥的稳定性.
21．直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？
（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．在三棱锥中，D,E分别为,的中点，且.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知，故选：B.
2．答案：B
解析：垂直于同一条直线的两条直线可能平行、异面、相交，选项A说法错误;
垂直于同一直线的两个平面平行，选项B说法正确;
平行于同一直线的两条直线互相平行，选项C说法错误;
平行于同一平面的两条直线可能平行，相交或异面，选项D说法错误;故选：B.
3．答案：B
解析：令，解得，
故的定义域为.故选：B.
4．答案：B
解析：从五个数字中任取两个不相同的数，基本事件共有，，，，，，，，，，共10个，其中和为质数的事件有，，，，，共5个，所以.故选B.
5．答案：D
解析：对于A选项，定义域为R，将代入得，即为偶函数，
而在上单调递增，不符合题意；
对于B选项，定义域为R，将代入得，即为奇函数，不符合题意；
对于C选项，定义域为，
将代入得，即为偶函数，
当时，为对勾函数，
在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于D选项，定义域为R，将代入得，即为偶函数，
而在上单调递减，所以在上单调递减，即D符合题意.故选：D.
6．答案：C
解析：由，则，
当且仅当时等号成立，故最小值为.故选：C.
7．答案：C
解析：因为，所以，解得，所以，所以.
故选：C.
8．答案：C
解析：函数的定义域为，因此函数的图象总在y轴右侧，选项ABD不满足，C满足.故选：C.
9．答案：A
解析：.故选：A.
10．答案：A
解析：由题意，事件“至少有两次中靶”的对立事件为“至多有一次中靶”.故选：A.
11．答案：A
解析：易知不等式对应的方程有两根,；
画出函数的图象如下图所示：
由图象可得不等式的解集为.故选：A.
12．答案：D
解析：，
将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
故将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
故选:D.
13．答案：
解析：由题意得，即，
，
故，
故答案为：.
14．答案：略
解析：
15．答案：
解析：设该正方体的棱长为a，则该正方体的外接球的半径为.
由，得,
故答案为：.
16．答案：
解析：因为，，
所以，
所以.
故答案为：.
17．答案：31
解析：把这8个数据按从小到大的顺序排列可得：29，30，32，35，36，38，40，41，
计算，所以这8人年龄的25%分位数是.
故答案为：31.
18．答案：
解析：因为定义域为R的偶函数在区间上严格减，
则，
所以，即或，解得或，
即所求解集为.
故答案为：.
19、
（1）答案：或
解析：由得：.
由且C为三角形内角，则，故或，而，
所以或.
（2）答案：或
解析：当时，.
当时，，
所以的面积为或.
20．答案：（1），
（2）答案见解析
解析：（1）根据题意可知，
.
（2），
.
，，
甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定.
21．答案：（1）50元
（2）55元，450元
解析：（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，
日销售量为件，
依题意得：，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：每件售价应定为50元.
（2）设每天的销售利润为w元.依题意，得：，
整理得：，化成顶点式得，
当时.每天的销售利润最大，最大利润是450元.
22．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明:因为D，E分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为，D为的中点，，
又平面平面，
平面平面，
所以平面，
又平面.
所以.