2023-2024学年福建省泉州市南安市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市南安市七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.方程5x=1的解为( )
A. x=−4B. x=5C. x=15D. x=−15
2.已知等式m=n，则下列等式中不一定成立的是( )
A. m+k=n+kB. m−k=n−kC. mk=nkD. mk=nk
3.如图所示的交通标志为一条高速公路某路段上汽车的最高时速不得超过120km，若某汽车的时速为a km/h，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是( )
A. a<120B. a≤120C. a>120D. a≥120
4.如果x=5y=2是关于x和y的二元一次方程x−my=9的解，那么m的值是( )
A. −2B. 2C. −8D. 6
5.已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则此不等式的解集是( )
A. x≥−112B. x≤−112C. x>−112D. x<−112
6.小南在解关于x的一元一次方程x4+m=13时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为3x+m=4，并解得为x=2，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为( )
A. x=−203B. x=2C. x=283D. x=54
7.小明仿照我国古算题编写了一道题：“今有九百元可得鸡兔共十又一只，一百八十元鸡两只，二百四十元兔四只.问鸡兔各几何？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为( )
A. x+y=11180x2+240y4=900B. x+y=112x180+4y240=900
C. x+y=900180x2+240y4=11D. x+y=9002x180+4y240=11
8.若关于x，y的方程组5x−2y=4k−62x+9y=3k−8的解满足x+y=2024，则k等于( )
A. 2026B. 2025C. 2023D. 2022
9.解方程组3x+z=64x−y+2z=115x+2y−3z=4时，要使解法较为简便，应( )
A. 先消去xB. 先消去yC. 先消去zD. 先消去常数
10.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方.图(2)是一个未完成的幻方，则w的值是( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.任意写出一个解为3的一元一次方程______．
12.已知方程3x+5y=11，用含x的代数式表示y，则y= ______．
13.若a>b，则a−b ______0(填“>”“=”或“<”)．
14.如果不等式x<7x>m无解，那么m的取值范围是______．
15.用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b=a2b+a−b，如：1※3=12×3+1−3=1，若3※x=x−4(其中x为有理数)，则x的值为______．
16.若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=40y=−60，则方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2的解是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：5(x−2)−1=−2(2x+1)．
18.(本小题8分)
解方程组：2x−y=03x−2y=1．
19.(本小题8分)
解不等式组：4x−1<3x+2x≥x−23，并把它的解集表示在数轴上．
20.(本小题8分)
已知关于x的方程(|k|−4)x2−(k−4)x+3m−2=0是一元一次方程．
(1)求k的值；
(2)若已知方程与方程5x=3−7x的解相同，求m的值．
21.(本小题8分)
在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，小华和小明一起收集了一些废电池，小华说：“我比你多收集了5节废电池.”小明说：“如果你给我10节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍.”如果他们说的都是真的，那么小华和小明分别收集了多少节废电池？
请用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解．
22.(本小题10分)
课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集.请根据下面的“接力游戏”回答问题．
(1)在“接力游戏”中，甲是依据______进行变形的．
A.分式的基本性质
B.等式的基本性质
C.不等式的基本性质
D.乘法分配律
(2)在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，这一步错误的原因是______；
(3)该不等式的正确解集是______．
23.(本小题10分)
七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
24.(本小题13分)
为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格及月处理污水量如表：
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买3台A型设备比购买5台B型设备少4万元．
(1)求a，b的值；
(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过90万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
(3)在(2)问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1840吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
25.(本小题13分)
已知关于x，y的方程组2x+y−6=02x−y+my−5=0．
(1)请直接写出方程2x+y−6=0的所有正整数解；
(2)无论数m取何值，方程2x−y+my−5=0总有一个固定的解，请直接写出这个解；
(3)若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
(4)若方程组的解中y恰为整数，m也为整数，求m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：5x=1，
方程两边都除以5，得x=15．
故选：C．
根据等式的性质方程两边都除以5即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、根据等式的性质1，m=n两边同时加k，得m+k=n+k，故一定成立；
B、根据等式的性质1，m=n两边同时减k，得m−k=n−k，故一定成立；
C、根据等式2，m=n两边同时乘以k，得mk=nk，故一定成立；
D、根据等式性质2，等式两边都除以k时，应加条件k≠0，故不一定成立．
故选：D．
利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
本题主要考查了等式的性质，掌握等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零)，所得结果仍是等式是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意得：a≤120．
故选：B．
由该汽车没有超速，即可列出关于a的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：把x=5y=2代入关于x和y的二元一次方程x−my=9中，5−2m=9，
解得m=−2，
故选：A．
把x=5y=2代入关于x和y的二元一次方程x−my=9中即可求出m的值．
本题考查了二元一次方程的解，熟知方程的解的定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵表示−112的数上的点是空心圆点，且曲线向右折，
∴此不等式的解集是：x>−112．
故选：C．
根据数轴上不等式解集的表示方法进行解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：把x=2代入方程3x+m=4，得6+m=4，
解得：m=−2，
把m=−2代入方程x4+m=13，得x4−2=13，
去分母，得3x−24=4，
3x=4+24，
3x=28，
x=283，
即方程的解是x=283．
故选：C．
把x=2代入方程3x+m=4得出6+m=4，求出m=−2，再把m=−2代入方程x4+m=13得出x4−2=13，再根据等式的性质求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意可得：x+y=11180x2+240y4=900，
故选：A．
根据题目中的等量关系列出方程即可．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：5x−2y=4k−6①2x+9y=3k−8②，
①+②，得7x+7y=7k−14，
解得x+y=k−2，
∵x+y=2024，
∴k−2=2024，
解得k=2026，
故选：A．
直接让方程组中的两个方程相加即可得出7x+7y=7k−14，于是得到x+y=k−2，结合x+y=2024即可求出k的值．
本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组中未知数的系数特点得出x+y=k−2是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：第二个，第三个方程消去y，把三元方程组转化为二元方程组，比较简单．
故选：B．
根据第一个方程缺少未知数y，所以利用第二个，第三个方程消去y，解方程组比较简单．
本题考查解三元方程组，解题的关键是熟练掌握解三元方程组的方法．
10.【答案】B
【解析】解：设右下角的空格中的数为x，则其它空格中的数如图所示．
根据题意得：w+1+0=0+1−x+6w+1+0=−5+1−x+w+1−x，
解得：x=−2w=8，
∴w的值为8．
故选：B．
设右下角的空格中的数为x，则其它空格中的数如图所示，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于x，w的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】3x=9
【解析】解：∵x=3，
∴根据一元一次方程的一般形式可列方程如：3x=9等．
只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0)；只要写出一个符合题意的方程即可．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
12.【答案】11−3x5
【解析】解：∵方程3x+5y=11，
∴5y=11−3x，
∴y=11−3x5．
故答案为：11−3x5．
将x看作已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
13.【答案】>
【解析】解：∵a>b，
∴a−b>b−b，
即a−b>0．
故答案为：>．
根据a>b，应用不等式的性质，不等式的两边同时减去b，判断出a−b与0的关系即可．
此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
14.【答案】m≥7
【解析】解：由不等式x<7x>m无解，得m≥7．
故答案为：m≥7．
根据大大小小无处找，可得答案．
本题考查了不等式的解集，确定不等式组解集的方法：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找．
15.【答案】−1
【解析】解：3※x=x−4，
32x+3−x=x−4，
9x+3−x=x−4，
9x−x−x=−4−3，
7x=−7，
x=−1．
故答案为：−1．
先根据题意得出方程为9x+3−x=x−4，再移项，合并同类项，系数化成11即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
16.【答案】x=100y=−75
【解析】解：将方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2每个方程的左右两边同时除以5，
可得a1(25x)+b1(45y)=c1a2(25x)+b2(45y)=c2，
∵a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=40y=−60，
∴25x=4045y=−60，
解得x=100y=−75，
∴方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2的解是x=100y=−75．
故答案为：x=100y=−75．
首先将方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2化为a1(25x)+b1(45y)=c1a2(25x)+b2(45y)=c2，然后根据方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=40y=−60，求出方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2的解即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，解答此题的关键是将方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2化为a1(25x)+b1(45y)=c1a2(25x)+b2(45y)=c2．
17.【答案】解：5(x−2)−1=−2(2x+1)，
5x−10−1=−4x−2，
5x+4x=−2+10+1，
9x=9，
x=1．
【解析】按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：2x−y=0①3x−2y=1②，
①×2−②，可得x=−1，
把x=−1代入①，可得：2×(−1)−y=0，
解得y=−2，
∴原方程组的解是x=−1y=−2．
【解析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
19.【答案】解：4x−1<3x+2①x≥ x−23②，
解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥−1，
∴原不等式组的解集为：−1≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵关于x的方程(|k|−4)x2−(k−4)x+3m−2=0是一元一次方程，
∴−(k−4)≠0且|k|−4=0，
∴k≠4且k=±4，
∴k=−4；
(2)把k=−4代入方程(|k|−4)x2−(k−4)x+3m−2=0，得8x+3m−2=0，
解方程5x=3−7x，得5x+7x=3，
12x=3，
x=14，
∵方程8x+3m−2=0与方程5x=3−7x的解相同，
∴8×14+3m−2=0，
∴2+3m−2=0，
∴3m=0，
∴m=0．
【解析】(1)根据一元一次方程的定义得出−(k−4)≠0且|k|−4=0，再求出k即可；
(2)把k=−4代入方程得出8x+3m−2=0，再根据等式的性质求出方程5x=3−7x的解，再根据同解方程得出方程8×14+3m−2=0，再求出m即可．
本题考查了一元一次方程的定义，绝对值和同解方程等知识点，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
21.【答案】解：设小明收集了x节废电池，则小华收集了(x+5)节废电池，
根据题意得：x+10=2(x+5−10)，
解得：x=20，
∴x+5=20+5=25．
答：小华收集了25节废电池，小明收集了20节废电池．
【解析】设小明收集了x节废电池，则小华收集了(x+5)节废电池，根据“如果小华给小明10节废电池，那么小明的废电池节数就是小华的2倍”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出小明收集废电池的节数，再将其代入(x+5)中，即可求出小华售价废电池的节数．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22.【答案】C 戊 不等号方向没改变 x>−17
【解析】解：(1)在“接力游戏”中，甲是依据不等式的基本性质进行变形的；
故答案为：C；
(2)在“接力游戏”中，出现错误的是戊同学，这一步错误的原因是不等号方向没改变；
故答案为：不等号方向没改变；
(3)3(x−3)−2(2x+1)<6，
3x−9−4x−2<6，
3x−4x<6+9+2，
−x<17，
x>−17，
该不等式的正确解集是x>−17．
故答案为：x>−17．
(1)根据分式的基本性质，即可解答；
(2)根据分式的基本性质，即可解答；
(3)结合解不等式时容易出错的地方即可得出答案．
本题考查分式的基本性质和解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
23.【答案】332
【解析】解：探索1：根据题意得：[0−(−9)]÷2+(12−0)÷(2×12)
=9÷2+12÷1
=92+12
=332(秒)．
答：动点P从点A运动至点B需要332秒；
故答案为：332；
探索2：332+(24−12)÷(2×2)
=332+12÷4
=332+3
=392(秒)．
根据题意得：当332∴当动点P运动至点B和点C之间时，点P表示的数为4t−54(332探索3：∵OC−=24−0=24，BC−=24−12=12，BD−=36−12=24，
∴PB−+PC−=16共2两种情况．
当点P在点O和点B之间，即92∴PB−=12−(t−92)=332−t，PC−=24−(t−92)=572−t，
∴332−t+572−t=16，
解得：t=292；
当点P在点C的右侧，即t>392时，点P表示的数为24+2(t−392)=2t−15，
∴PB−=2t−15−12=2t−27，PC−=2t−15−24=2t−39，
∴2t−27+2t−39=16，
解得：t=412．
答：动点P的运动的时间是292秒或412秒．
探索1：利用时间=路程÷速度，即可求出结论；
探索2：求出点P运动到点C所需时间，当332探索3：由OC−，BC−及BD−的长，可得出共有2种情况，当点P在点O和点B之间，即92392时，点P表示的数为2t−15，进而可得出PB−=2t−27，PC−=2t−39，结合PB−+PC−=16，可列出关于t的一元一次方程，解之可求出t的值．
本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：探索1：根据各数量之间的关系，列式计算；探索2：根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出点P表示的数；探索3：找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24.【答案】解：(1)根据题意得：a−b=45b−3a=4，
解得：a=12b=8．
答：a的值是12，b的值是8；
(2)设该公司购买x台A型设备，则购买(10−x)台B型设备，
根据题意得：12x+8(10−x)≤90，
解得：x≤52，
又∵x，10−x均为自然数，
∴x可以为0，1，2，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购买10台B型设备；
方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；
方案3：购买2台A型设备，8台B型设备；
(3)根据题意得：220x+180(10−x)≥1840，
解得：x≥1，
∴该公司共有2种购买方案，
方案1：购买1台A型设备，9台B型设备，此时该公司购买污水处理设备的资金为12×1+8×9=84(万元)；
方案2：购买2台A型设备，8台B型设备，此时该公司购买污水处理设备的资金为12×2+8×8=88(万元)．
∵84<88，
∴最省钱的购买方案为：购买1台A型设备，9台B型设备．
【解析】(1)根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买3台A型设备比购买5台B型设备少4万元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求出a，b的值；
(2)设该公司购买x台A型设备，则购买(10−x)台B型设备，利用总价=单价×数量，结合总价不超过90万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再结合x，10−x均为自然数，即可得出各购买方案；
(3)根据每月要求处理的污水量不低于1840吨，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合(2)的结论，可得出各购买方案，再求出各方案所需资金，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)(3)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)在2x+y−6=0中，当x=1时，y=4，当x=2时，y=2，
所以方程2x+y−6=0的正整数解有x=1y=4，或x=2y=2；
(2)无论数m取何值，方程2x−y+my−5=0总有一个固定的解，也就是这个解与m的值无关，
所以y=0，
当y=0时，2x−5=0，解得x=52，
所以这个解为x=52y=0，
(3)方程组2x+y−6=0x+y=0的解为x=6y=−6，
把x=6y=−6代入2x−y+my−5=0，
解得m=136；
(4)2x+y−6=0①2x−y+my−5=0②，
由①得，2x=6−y，由②得，2x=y−my+5，
所以6−y=y−my+5，
即(2−m)y=1，
∴y=12−m，
∵y为整数，m为整数，
∴2−m=1或2−m=−1，
解得m=1或m=3，
即m=1或m=3．
【解析】(1)根据二元一次方程解的定义以及整数解的意义进行计算即可；
(2)根据“固定解”的意义以及方程的固定解与m无关，确定y的值，进而确定x的值即可；
(3)写成方程组求出x、y的值，再代入方程求出m的值即可；
(4)由方程组解的定义，以及y是整数，m是整数进而确定m的值即可．
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法，理解“整数解”，“固定解”的意义是正确解答的关键．接力游戏
老师：x−32−2x+13<1
甲：3(x−3)−2(2x+1)<6
乙：3x−9−4x−2<6
丙：3x−4x<6+9+2
丁：−x<17
戊：x<−17
探索“折线数轴”
素材1
如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示−9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为AD−=45．
素材2
动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动.当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的13；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍；经过点C后立刻恢复初始速度．
问题解决
探索1
动点P从点A运动至点B需要______秒；
探索2
动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数(用含t的代数式表示)；
探索3
动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB−+PC−=16时，求动点P运动的时间．
A型
B型
价格(万元/台)
a
b
处理污水量(吨/月)
220
180