2024年通用版高考数学二轮复习专题6.6 解三角形的最值（范围）及图形切割(教师版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题6.6 解三角形的最值（范围）及图形切割(教师版)，共50页。试卷主要包含了已知平面向量，，函数，已知向量，函数.，已知分别为的内角所对的边，，且等内容，欢迎下载使用。

题型一利用基本不等式求最值（范围）
例1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知中，角，，所对边分别为，，，若满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换化简等式，可以得到角.
（2）根据勾股定理，由基本不等式得到两直角边积的最值即可.
【详解】（1）由正弦定理知，，
∵，∴，
∴，
化简得，
，（其中舍去），即．
（2）由（1）知，则，
那么的面积（当且仅当时等号成立），
则面积的取值范围为．
例2．（2023春·浙江·高二期中）已知平面向量，，函数．
(1)求的单调增区间．
(2)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，，求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可求得；
(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.
【详解】（1），
所以令，解得，
所以函数的单调递增区间为;
（2）因为，即，解得，即，
因为A为三角形的内角，所以，
又因为，所以，即即，解得，
又因为a，b，c是的边，所以，故△ABC周长.
所以周长的取值范围是.
练习1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意和余弦定理可得，结合计算即可求解；
（2）由（1）可得，则，代入，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）由余弦定理知，
所以，
由,得，即,
又因为，所以，
即，在中，，
所以．
（2）由（1）知，则，
得，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
练习2．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，分别是角所对的边，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求外接圆半径的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即可；
（2）由正，余弦定理及重要不等式求解即可．
【详解】（1）∵，且，
∴，
由正弦定理知：（是外接圆半径），
∴，
∴，
即，
而是的三内角，∴，
∴；
（2）∵，∴，
，
∴，当且仅当，等号成立.
，即外接圆半径的最小值为．
练习3．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知向量，函数.
(1)求函数的最大值及相应自变量的取值集合；
(2)在中，角的对边分别为，若，求面积的最大值.
【答案】(1)，此时自变量的取值集合为
(2)
【分析】（1）根据题意，由向量数量积的坐标运算即可得到解析式，再由辅助角公式化简，由正弦型函数的最值即可得到结果；
（2）根据题意，结合（1）中解析式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）由题知，，
当，即时，最大，且最大值为，即，此时自变量的取值集合为.
（2）由（1）知，，则，
因为在中， ，所以，
所以，所以，
又由余弦定理及，得：，
即，
所以，即（当且仅当时等号成立）.
所以.
练习4．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求；
(2)若，，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和，正弦定理即可求出角；
（2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出的取值范围，即可得到的面积的最大值.
【详解】（1）由题意，
在中，，
∵，
∴,即，
∴，
∵，
∴，可得，解得：.
（2）由题意及（1）得
在中，，，，
∴为边的中点，
∴,
∴，即，
设，，则，
所以，当且仅当时，等号成立.
∴，当且仅当时，等号成立，
∴的面积的最大值为.
练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边为，，，且，，则下列说法正确的是______.
①；②；③周长的最大值为3；④的最大值为．
【答案】②③④
【分析】对于①、②，利用正弦定理判断即可，对于③，利用余弦定理结合基本不等式可判断，对于④，由选项③可知，结合基本不等式可得，从而可求出的最大值
【详解】对于①，因为，所以由正弦定理得，所以，所以①错误；
对于②，因为，所以由正弦定理得，所以，所以②正确；
对于③，根据余弦定理得，所以，
即，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以③正确.
对于④，由选项③可知，所以，则，当且仅当时，等号成立.
所以，所以④正确.
故答案为：②③④
题型二利用三角函数值域求角的范围
例3．（2023春·全国·高三专题练习）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若，则sinA的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得，再求出的范围即可.
【详解】由，得，由余弦定理得，
∴，即，
由正弦定理得，
∵，
∴，
即.
∵，∴，∴，
又为锐角三角形，∴，
∴，解得，
又，，，
∴，
∴.
故选：C.
例4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，内角、、所对边分别为、、，且．
(1)求角；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；
（2）将转化为关于的三角函数，再结合的取值范围，求出最大值.
【详解】（1）由结合正弦定理可得，
因为为锐角三角形，所以，又，故.
（2）由（1）可得
（或者）
由，可得，
当时，，即的最大值是.
练习6．（2023春·全国·高三专题练习）锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正弦定理边化角可得，由为锐角三角形可得，运用二倍角的正弦公式以及辅助角公式将已知式化为，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】因为在锐角中，，且，
所以，则，
所以，则或（舍去），所以，
，
因为为锐角三角形，，
所以，
所以，所以，
，
故选：B.
练习7．（2023春·河南南阳·高三河南省桐柏县第一高级中学校考期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可；
（2）利用两角差的正弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的性质进行求解即可
【详解】（1）由条件得，
由余弦定理得，
因为，所以，
得，即，
因为，所以，
又，所以．
（2）．
因为为锐角三角形，
所以，且，所以．
所以，
即的取值范围是．
练习8．（2023·陕西榆林·统考三模）已知分别为的内角所对的边，，且．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积的定义及正弦定理的边角化即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用诱导公式、两角和的正弦公式及降幂公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可解.
【详解】（1），
由及正弦定理，得，
得，代入得，
又因为，
所以．
（2）由（1）知，
所以.
所以
，
因为,
所以，
所以，
所以，
故的取值范围是.
练习9．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则角______，的最大值为______．
【答案】
【分析】运用余弦定理及三角形面积公式可得B，再运用三角恒等变换得（），转化为求三角函数在区间上求最值即可.
【详解】因为，
所以，则，
因为，所以．
又因为，所以，
所以，则，
所以的最大值为.
故答案为：，.
练习10．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】利用正弦边角关系得，进而有，应用三角恒等变换将目标式化为，注意角的范围，即可求范围.
【详解】由正弦定理边角关系知：，而，
所以，又，则，故，即，
所以，
而，故.
故答案为：
题型三利用三角函数值域求边的范围
例5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求S的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、三角形面积公式变形给定等式，求出即可作答.
（2）利用正弦定理把三角形面积表示为角C的函数，再利用正弦函数性质求解作答.
【详解】（1）在锐角中，，由余弦定理，
得，即，又，，
因此，有，而，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，
由正弦定理得：，即，
则
，
又是锐角三角形，则有，即，亦即，
于是，，
所以S的取值范围是.
例6．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数关系得出，再应用两角和差公式计算求解即可；
（2）先应用正弦定理边角互化，再结合二倍角公式及辅助角公式化简，最后根据余弦型函数求值域可得.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
所以或（舍去）．
所以，结合，得．
（2）由（1）得:
．
因为是锐角三角形，所以B，C均为锐角，
即，，所以，
所以，，
所以的取值范围是．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因为，所以.
（2）由（1）可知：，则.
则.
在中，由正弦定理，
，所以，
则
，
又，所以，
所以，
，所以.
练习12．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，为边的中点，求线段长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得，即可求解；
（2）由向量的线性运算可得，等式两边同时平方可得，由正弦定理可得，结合角B的范围可得，即可求解.
【详解】（1），由正弦定理，
得，
即.
因为，所以，
由，得，即.
因为，所以.
（2）因为为边的中点，所以，
所以.
在中，由正弦定理，得.
因为为锐角三角形，且，所以，
则，故.
所以，即线段长的取值范围为.
练习13．（2023·高三单元测试）在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，所以有，，由三角形为锐角三角形，可得，由正弦定理可得有，最后由即可得答案.
【详解】解：由可得: ,
所以，
又因为，
所以，
所以，，
又因为三角形为锐角三角形，
所以，
所以，
在中，由正弦定理可得：，
即，
故有，
因为，
所以，
所以，
所以，
又因为边上的高，
所以.
故选：D.
练习14．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角中，分别是角所对的边，，且.
(1)求；
(2)若周长的范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式和二倍角正弦公式化简已知等式可求得，由此可得；
（2）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式和辅助角公式可得，利用正弦型函数值域的求法可求得的范围.
【详解】（1）由得：，
由正弦定理知：，又，，
，又，，，
，，，则，，解得：.
（2）由正弦定理得：，，，
；
为锐角三角形，，解得：，
，，，
即周长的取值范围为.
练习15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．
(1)求c；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出，再利用正弦定理，两角和的正弦公式及诱导公式，将转化为，即可求出答案；
（2）利用正弦定理，将转化为，再根据三角形内角和得出，代入，根据两角差的正弦公式及辅助角公式得出，再由为锐角三角形得出角的范围，即可的取值范围．
【详解】（1）解：，
，即，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，解得．
（2）解：由正弦定理得，，
，，
，
， ，
则


，
为锐角三角形，
，
，
，
，
即．
题型四图形切割
例7．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若
(1)求的面积;
(2)若，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理解出的长，再利用三角形面积公式即可得到答案；
（2）利用两次正弦定理得到，，两式相比得，再结合同角平方和关系即可解出，再代回正弦定理式即可得到答案.
【详解】（1）在中，，
即，解得(负根舍)，
所以.
（2）因为，平分，所以，
又，所以，
在中，由正弦定理，得，①
在中，由正弦定理，得，②
①②，得，所以，
又，且，所以，
将代入②，得，所以.
例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，已知，，，，，求：
(1)的长；
(2)的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由已知求得，再利用正弦定理即可求得的长；
(2)先求得的正余弦值，再利用余弦定理求的长，最后用面积公式即可.
【详解】（1）解：在中，，
由正弦定理得：，即
故：．
（2）
解：
∴
在中，由余弦定理得：
即，解得：或舍．
故：的面积为7.
练习16．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在中，点在边上，
(1)证明：；
(2)若，，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在中根据题意结合正弦定理分析运算；
（2）不妨设，在、、中利用余弦定理运算求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理知：，即
又，
可得，
在中，所以，所以.
（2）不妨设，则
在中，由余弦定理知；
在中同理可知：
在中，
即有
解得.
练习17．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD中，，，．
(1)求；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)在和中，利用正弦定理和已知条件，建立等量关系：，从而得到，求出结果；
(2)利用条件得到为等边三角形，进而求出，再利用三角形面积公式即可求出结果.
【详解】（1）如图，在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得．
因为，所以，所以．
而，，故，
又，所以得到．
因为，故，故．
（2）因为，且，
故，为等边三角形．
所以，
因为，，所以，
故梯形ABCD的面积．
练习18．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)，BC＝6
(2)
【分析】（1）利用二倍角正弦公式结合正弦定理推出，再利用余弦定理即可求得a，即得答案.
（2）求出，即可求出，利用角平分线性质可推出,从而，即可求得答案.
【详解】（1）由题意在中，，∴，
∴，而，，∴，
由余弦定理得（舍去），即.
（2）在中，，，，
∴，
∵AE平分∠BAC，，
由正弦定理得：，
其中，
∴，则,,
∵AD为BC边的中线，∴，
∴.
练习19．（2023春·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）如图，在平面四边形中，若，，，，．
(1)求B；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）在中，利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解；
（2）在中，先利用正弦定理求出，再在和中，利用余弦定理证明，即可得证.
【详解】（1）在中，因为，
所以，
即，
所以，
又，所以，
因为，所以；
（2）在中，，
则，
所以，
则，
在中，，，，
则，
因为且，
所以.
练习20．（2023春·福建福州·高三福建省福州高级中学校考期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且，，．
(1)若，求的值；
(2)若BC边上点E满足，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理即可求解，
（2）由正弦定理可得的值，进而根据向量的模长公式即可求解.
【详解】（1）在中，点在边上，，
，
，
，．
由正弦定理可得
（2）由（1）知，且为钝角三角形，由得，
, ，
，
在中,由正弦定理得 ，解得,
所以，
，
所以
题型五角平分线的应用
例9．（2023春·辽宁大连·高三校联考期中）在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，是角的内角平分线，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的角边化及余弦定理的推论，利用等面积法及三角形的面积公式，结合正余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.
【详解】由及正弦定理，得.
由余弦定理，得，
因为为非直角三角形，
所以，
所以，
因为是角的内角平分线，且，
所以由三角形的面积公式得，
所以，即，
因为，
所以，
所以,
所以，
,
.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用正弦定理的角化边和余弦定理的推论，再利用等面积法及正余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可.
例10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若在上，是的角平分线，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可求出结果；
（2）根据三角形的面积公式以及基本不等式可求出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
即，
所以，
而，故，因为，所以.
（2）由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，又，从而，当且仅当时，等号成立，
故，因此的最小值为.
练习21．（2023春·吉林长春·高三长春十一高校考期中）记的内角､､的对边分别为､､，已知.
(1)证明：；
(2)若，，角的内角平分线与边交于点，求的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；
（2）利用余弦定理结合条件可得，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，即，
所以；
（2）由余弦定理得：，，
又，
所以，，
由角平分线定理可得，，，
在中，由余弦定理得：，
所以.
练习22．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（ ）
A．12B．24C．27D．36
【答案】A
【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
又因，所以，
由，得，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
练习23．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______.
【答案】/
【分析】由角平分线性质及正弦边角关系得、，应用余弦定理求得，在△中应用余弦定理求，正弦边角关系确定最终的长度.
【详解】由题设，则，
又，则，故，又，即，
在△中，由余弦定理知：，即，得，故，
在△中，由余弦定理知：，
故，故或，
又，即，故.
故答案为：
练习24．（2023春·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.
（2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
又在中，,
∴，
即，
又，∴,
又，∴，即角B的大小为.
（2）∵.
是的角平分线，而，
∴，
即，∴.
∵，∴，
∵，∴，即,
当且仅当时取等号，则，
即的面积的最小值为.
练习25．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且的角平分线，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知得，由余弦边角关系即可求值；
（2）由正弦定理求外接圆半径，由（1）得，进而求得，应用余弦定理、基本不等式求最值，注意等号成立条件.
（3）利用等面积法得，由二倍角余弦公式求，即可求结果.
【详解】（1）由题知，即，
由，解得．
（2）由外接圆面积为得外接圆半径，
由（1），所以，
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，即，
化简得，当且仅当a＝c时等号成立．
所以ac的最大值为．
（3）因为BD是的角平分线，则，
所以的面积，
所以，则，
由，所以，解得（负值舍去），
综上，．
题型六中线的应用
例11．（2023春·辽宁大连·高三校联考期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；
（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
即，
所以，
由余弦定理及得：
，
又，
所以，
即，
所以，
所以；
（2）由，
所以，
由（1），
所以，
因为为边上的中线，
所以，
所以
，
所以，
所以边上的中线的长为.
例12．（2023春·福建福州·高三福建省连江第一中学校考期中）记的内角A，，的对边分别为，，，点为边的中点．若，，，则的面积为 __．
【答案】
【分析】由已知结合余弦定理可得，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质可求，再由三角形面积公式可求．
【详解】解：由余弦定理得，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
所以，
故的面积．
故答案为：．
练习26．（2023春·湖北孝感·高三湖北省汉川市第一高级中学校联考期中）已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且.
(1)求；
(2)若中线，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得；
（2）利用向量运算、三角形的面积公式以及基本不等式求得面积的最大值.
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理得，
，
，
，由于，
所以，即，
由于，所以.
（2）依题意，
两边平方得，即，
，
当且仅当，即三角形是等边三角形时等号成立，
所以面积的最大值为.
练习27．（2023春·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.
【答案】
【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.
【详解】由题可得，，
，
所以
，
，
，
所以，
故答案为: .
练习28．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知在中，AD为BC边上的中线，且，，则的最小值为________．
【答案】/0.6
【分析】在和中，分别用余弦定理建立关系，并求得，再在中利用余弦定理结合基本不等式求解作答.
【详解】依题意，，，如图，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，即，
两式相加得，于是，当且仅当时取等号，
在中，，
所以的最小值为.
故答案为：
练习29．（2023·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，，点在线段上，设.
(1)若是的平分线，，求的大小；
(2)若是边上的中线，，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据及，，可得，再由余弦定理得，从而可得C的大小；
（2）解法一，由，结合余弦定理得到，结合勾股定理的逆定理可得，再利用勾股定理即可得到a的值，从而得到，的值，即可得解.
解法二，根据中线的向量性质及余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）由题可设，则，
因为，所以，
因为，，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以.
（2）解法一：因为，，
所以由余弦定理可得，
所以，，所以，
因为，D是AC的中点，
所以，得，，，
所以的周长为.
解法二.
因为BD是AC边上的中线，所以，
又，
所以，
因为，，
所以，得，，
由余弦定理得，
所以，所以的周长为.
练习30．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）在中，角的对边分别为，且的面积为
(1)求角的大小；
(2)若是的一条中线，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式和余弦定理得到，得到答案；
（2）由，两边平方结合向量的运算法则计算得到答案.
【详解】（1）由题意，可得的面积，
所以，所以，
又，所以.
（2）为的中点，则，又，，
所以，
故，即线段的长度为.
题型七解三角形的结构不良
例13．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在中，为边上一点，.

(1)求角；
(2)从下面两个条件中选一个，求角.
①；
②.
【答案】(1)
(2)选择条件①或②，都有
【分析】（1）由余弦定理求解即可；
（2）选择条件①，在中，由正弦定理及角的范围求解即可；
选择条件②，在中，由正弦定理及三角函数诱导公式求得结果.
【详解】（1）在中，由余弦定理可知：
，
又，.
（2）若选择条件①：
在中，由正弦定理可知：，即，解得.
在中，，从而，必有，又，故.
若选择条件②：在中，，，
由正弦定理可知：，即，解得，
又，则，，，
故，
在中，.
例14．（2023·重庆·统考三模）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．
(1)求A；
(2)若，为AB的中点，求CD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简即可；
（2）利用向量的几何意义与数量积，通过条件先计算得，再得，由二次函数的单调性计算即可得出结果.
【详解】（1）若选①，
，
∵；
若选②，，
∵；
若选③
∵，
而.
（2）
如图所示，设，则，，，
∵是锐角三角形，∴，
，当时取得最小值，故.
练习31．（2023·北京·高三专题练习）的内角的对边分别为，，且______．
在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求的面积；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①则根据余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；若选②根据向量数量积定义得，且，于是利用同角的平方关系公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；
（2）由正弦定理得即可求得的值，开方可求的值，从而得到的值.
【详解】（1）若选①:
因为，由余弦定理得，整理得，则，
又，则，，
则；
若选②:
因为，即，则，
又，则，
又，得，
则；
（2）由正弦定理得：，则，
则，．
练习32．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______.
(1)求角C的大小；
(2)若点D在AB边上，且，，求的值.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选择①先利用余弦定理，再结合正弦定理得出结果；选择②由正弦定理及两角和的正弦公式求得结果．
（2）先根据三角形三个内角关系及正弦两角差公式求解，在与中分别使用正弦定理并结合求得结果.
【详解】（1）选择①因为，结合余弦定理，
得，即，
据正弦定理可得，所以，
又，，
所以，即，
又，所以．
选择②．
因为，结合正弦定理可得，
即，
又，
所以，
即，
又，，故，即，
所以，，
因为，，所以，得．
（2）设，则．
因为，，故，
所以，
在中，据正弦定理可得，即，
在中，同理，
因为，
所以，即，整理得，
所以的值为．
练习33．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，满足.

(1)求的大小；
(2)，点D在BC上，，在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正余弦定理边角互化计算即可；
（2）由题意分析可得，不管选哪个条件都需要利用正余弦定理进行边角转化，求出AC，再利用三角形面积公式求值即可.
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
即.
由余弦定理得：，
又，所以.

（2）选①：由上可知，在中，，由正弦定理得：
，所以.
故，
在中，为锐角，，
故，.
.
在中，，故.
所以的面积.
选②：因为，所以.
所以.
.
在中，，故.
所以的面积.
选③：在中，由正弦定理得：；
在中，由正弦定理得：.
，故.
所以的面积.
练习34．（2023·北京·人大附中校考三模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．
(1)求角A的大小；
(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积．(注：只需写出一个选定方案即可)
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)选②③不合题意；选①②，面积为；选①③，面积为
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，从而求得的大小.
（2）首先判断选②③不合题意，然后结合正弦定理、余弦定理，计算出选①②或①③时三角形的面积.
【详解】（1），，
，，
，
由于，所以.
（2）若选②③，三个已知条件是，没有一个是具体的边长，无法确定.
若选①②，三个已知条件是，
由正弦定理得，此时存在且唯一，
，
所以；
若选①③，三个已知条件是，
由余弦定理得，
即，解得，此时存在且唯一，
所以.
练习35．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知的内角，，所对的边分别是，，，且______.
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答.
(1)求；
(2)若，，点为的中点，点满足，且，相交于点，求.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）若选择条件①：利用三角形内角和、正弦定理可求答案；
若选择条件②：利用三角形内角和、正弦定理、辅助角公式可求答案；
若选择条件③：利用余弦定理、正切公式可求答案.
（2）法一:利用换基底和平面向量数量积的运算；法二:建立坐标系，利用余弦公式.
【详解】（1）若选择条件①：
因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
若选择条件②：
因为，所以由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
若选择条件③：
因为，所以由余弦定理得，
即，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
（2）法一：因为为中点，点满足，
所以，.
因为，，，所以，
所以，
，
故.
又因为与的夹角即，所以.
法二：以为原点建立平面直角坐标系（如图），

则，，，
由可知.
联立直线，的方程解得，
所以
.
题型一
利用基本不等式求最值（范围）
题型二
利用三角函数值域求角的范围
题型三
利用三角函数值域求边的范围
题型四
图形切割
题型五
角平分线的应用
题型六
中线的应用
题型七
解三角形的结构不良