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江苏省淮安市开明教育集团2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案涂到答题纸上．）
1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
2. 分式与的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 如图，在平行四边形中，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
6. 若点，都在函数的图像上，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
7. 甲、乙两人每小时一共可做30个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了90个零件时乙做了60个零件，设甲每小时能做x个零件，根据题意可列分式方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ）
A. 甲对、乙不对B. 甲不对、乙对C. 甲、乙都对D. 甲、乙都不对
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分． 请将答案填写在答题纸上．）
9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______．
10. 已知最简二次根式与二次根式同类二次根式，则 _____．
11. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出长为，由此可知A，B间距离＝ _____．
12. 如图，矩形的对角线相交于点，，，则线段的长度为________．
13. 如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ____．
14. 若关于的方程有增根，则_______．
15. 是方程的一个根，则代数式的值是______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ______．
三、解答题：（本大题共9小题，共72分． 请将解答过程填写在答题纸上．）
17. 计算：（1）；
解方程：（2）
18. 先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值．
19. 如图，菱形的对角线交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形面积．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若是该方程的两个实数根，且，求a的值．
21. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，，求的面积；
（3）当时，x的范围为 ．
22. 已知平行四边形是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点E关于平行四边形对称中心的对称点．
（1）如图1，点是平行四边形的上一点；
（2）如图2，点是平行四边形外一点．
23. 第十九届亚运会在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（）．
（1）请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式 ．
（2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？
24. 如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．
（1）当OP＝3时：
①点M “的l镜像”；（填“在”或“不在”）
②“l镜像”与x轴交点坐标是 ；
（2）过y轴上的点Q作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，点B在点C左侧．若点Q把线段BC划分成的两部分，求的长．
（3）如果改变翻折方式，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，则k的范围是 ．
25. 综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：
如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系： ， °；
（2）类比探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：
如图3，正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ；
（4）实践应用：
如图4，正方形中，，H点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P．则线段最大值为 ．
一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案涂到答题纸上．）
1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
2. 分式与的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 如图，在平行四边形中，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
6. 若点，都在函数的图像上，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
7. 甲、乙两人每小时一共可做30个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了90个零件时乙做了60个零件，设甲每小时能做x个零件，根据题意可列分式方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ）
A. 甲对、乙不对B. 甲不对、乙对C. 甲、乙都对D. 甲、乙都不对
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分． 请将答案填写在答题纸上．）
9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______．
10. 已知最简二次根式与二次根式同类二次根式，则 _____．
11. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出长为，由此可知A，B间距离＝ _____．
12. 如图，矩形的对角线相交于点，，，则线段的长度为________．
13. 如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ____．
14. 若关于的方程有增根，则_______．
15. 是方程的一个根，则代数式的值是______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ______．
三、解答题：（本大题共9小题，共72分． 请将解答过程填写在答题纸上．）
17. 计算：（1）；
解方程：（2）
18. 先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值．
19. 如图，菱形的对角线交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形面积．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若是该方程的两个实数根，且，求a的值．
21. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，，求的面积；
（3）当时，x的范围为 ．
22. 已知平行四边形是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点E关于平行四边形对称中心的对称点．
（1）如图1，点是平行四边形的上一点；
（2）如图2，点是平行四边形外一点．
23. 第十九届亚运会在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（）．
（1）请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式 ．
（2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？
24. 如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．
（1）当OP＝3时：
①点M “的l镜像”；（填“在”或“不在”）
②“l镜像”与x轴交点坐标是 ；
（2）过y轴上的点Q作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，点B在点C左侧．若点Q把线段BC划分成的两部分，求的长．
（3）如果改变翻折方式，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，则k的范围是 ．
25. 综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：
如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系： ， °；
（2）类比探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：
如图3，正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ；
（4）实践应用：
如图4，正方形中，，H点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P．则线段最大值为 ．
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