江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共8页。
注意事项：
1．答卷前。考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，已知，则=（ ）
A．45B．60C．90D．180
2．已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．的展开式中的系数为（ ）
A．7B．23C．－7D．－23
5．已知点在焦点为F的抛物线上，若，则=（ ）
A．16B．12C．8D．4
6．已知，若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．9B．12C．14D．16
7．文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为（ ）
A．720B．1440C．2400D．2880
6．已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．数列的通项公式为
C．D．数列是公差为2的等差数列
10．已知为双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线C右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则的周长为B．弦FQ长的最小值为
C．点P到两渐近线的距离之积为D．点P与直线距离的最小值为1
11．甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12．一个口袋内装有7只不同的白球和1只黑球，从口袋内取出3只球，其中必有1只黑球，则不同的取法共有______种．
13．已知函数，当时，，则实数a的取值范围为______．
14．设椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为，连接并延长交椭圆C于点P，若，则该椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知递增的等比数列满足，且成等差数列．
（1）求的通项公式：
（2）设，求数列的前2n项和．
16．（15分）
已知函数在处取得极大值．
（1）求a的取值集合；
（2）当时，求证：
17．（15分）
如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面均是边长为2的正方形．
（1）证明：．
（2）若，求与平面所成角的正弦值。
18．（17分）
已知．
（1）当时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；
（2）设．
①求的系数（用n表示）：
②求（用n表示）．
19．（17分）
已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切．
（1）求双曲线E方程；
（2）过的直线l与双曲线E交于M，N两点，
③若，求△MON的面积取值范围：
②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
江苏省海门中学2023-2024学年度第二学期期中考试试卷
高二数学答案
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．2113．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（1）因为成等差数列，所以，即，
又，所以，所以通项公式为；
（2）由（1）可知，
所以
．
16．（1），定义域，
由得，，因为当时，取极大值，
所以，即；
（2）由（1）得，在上递减，在上递增，
所以，
则，
令，
则
因为，所以恒成立，即在是递增，所以，
所以，即时在上恒成立
17．（1）证明：连接，因为底面ABCD和侧面均为正方形，所以四边形为菱形，
则．由底面ABCD和侧面均为正方形，得．
因为，所以．又，所以．
因为，所以．又，所以．
（2）因为平面ABCD和平面均为正方形，所以，
又，且，所以，
又因为，所以为正三角形，取中点E，连接AE，则以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，，，
所以
设平面的法向量为，则，令，
则法向量，所以与平面所成角的余弦值，
所以与平面所成角的正弦值．
18．（1）由题，所以，所以，所以，所以；
（2）由题意得，，
①
②所以对等式两边同时求导，
得，
即，令，
得，
即，，
作差得，，所以．
19．（1），圆：，因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离为，
即，即，又，且，
所以，所以双曲线E的标准方程为；
（2）①设直线l的方程为，代入，得，，
设，所以，
则，
因为，所以，所以
即，所以，
令，所以，
又因为S在上递减，所以：
②即，
所以，
由题，设MN的中点为S ，
，
所以PQ的直线方程：
所以，因为Q在双曲线上，
所以，即，
令，即，即，
即，所以，即，与题意不符，
因此不存在P、Q两点，使得四边形PMQN为菱形．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
A
A
C
D
D
B
9
10
11
AB
ABC
ABD