河北省沧州市东光县等三县2022-2023学年高一下学期4月联考数学试卷(含答案)

这是一份河北省沧州市东光县等三县2022-2023学年高一下学期4月联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数为纯虚数，则实数m的值为( )
A.B.1C.1或D.或0
2．下列说法错误的是( )
A.球体是旋转体B.圆柱的母线平行于轴
C.斜棱柱的侧面中没有矩形D.用平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若，，，则b的长为( )
A.B.C.D.1
4．设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“是钝角三角形”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．设有直线m、n和平面、，下列命题中正确的命题是( )
A.若，，则B.若，，，，则
C.若，，则D.若，，则
7．某车间生产一种圆锥形高脚杯，杯口直径为，高为R，将该高脚杯装满水（水面与杯口齐平），现将一直径为的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入（整个铁球在水面以下）水中并静止后，从杯口溢出水的体积为高脚杯容积的，则( )
A.B.C.D.
8．已知外接圆圆心为O，G为所在平面内一点，且.若，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．复数z满足，则下列说法正确的是( )
A.z的实部为3B.z的虚部为2C.D.
10．在中，，，，则( )
A.B.
C.的面积为D.外接圆的直径是
11．已知向量，满足，且与的夹角为.若与的夹角为钝角，则实数的值可以是( )
A.B.C.D.
12．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则( )
A.直线与直线AF异面
B.直线与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形
D.三棱锥的体积是正方体体积的
三、填空题
13．若复数，则________.
14．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形较长的对角线的长度为____.
15．在中，P是上一点，若，，则__________.
四、解答题
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为______.
17．已知复数，，(，i是虚数单位).
(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数a的值.
18．已知，，.求：
(1)
(2)
19．如图，正方体的棱长为3，点E在棱上，点F在棱上，G在棱上，且，H是棱上一点.
(1)求证：E，B，F，D四点共面；
(2)若平面平面，求证：H为的中点.
20．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若的周长为，且外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.
21．已知向量，，.
(1)若，求实数k；
(2)设满足，且，求的坐标.
22．如图，在海岸边的观测站A点发现南偏西方向上，距离A点20海里的C处有一艘走私船，立刻通知了停在A的正东方向上，且距离A点海里的B处的缉私艇，缉私艇立刻以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从C处向正南方向逃窜.
(1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
(2)缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
参考答案
1．答案：B
解析：因为z是纯虚数，所以，解得.
故选：B.
2．答案：C
解析：因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，
即球体是旋转体，A正确；
由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于其底面，B正确；
如图，斜平行六面体中，若平面，
则侧面四边形是矩形，C错误；
由正棱台的定义知：用平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台，D正确.
故选：C.
3．答案：C
解析：由余弦定理，得，即，解得.
故选C.
4．答案：D
解析：由题意，在上的投影向量为.
故选：D.
5．答案：B
解析：若中B为钝角，则C为锐角，，即有，故充分性不成立；
若，由余弦定理得即C为钝角，故必要性成立.
故选：B.
6．答案：D
解析：若，，则m，n可以平行、相交或异面，故A错误
若，，，，m与n相交，则，故B错误
若，，则或，故C错误
若，，则，故D正确
故选：D.
7．答案：B
解析：由题可得圆锥型高脚杯的体积，小铁球的体积为，由题可得，即.故选B.
8．答案：C
解析：取的中点D，连接AD，由，知G为的重心，则G在AD上，
所以，而，
所以A，G，O，D四点共线，所以，即，
不妨令，则，.
所以.
故选：C.
9．答案：BD
解析：由于，可得，
所以z的实部为-3，虚部为2，所以，.
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：A选项，，故A正确；
B选项，由A选项知，
由余弦定理得.
故，B正确；
C选项，由于在中，，故，
所以，
，C错误；
D选项，设外接圆半径为R，，D正确.
故选：ABD.
11．答案：BC
解析：因为向量，满足，且与的夹角为，
所以.
因为与的夹角为钝角，
所以，化简得：，解得：且.
对照四个选项，实数的值可以是和.
故选：BC.
12．答案：ABC
解析：
对于选项A，易知AF与异面，选项A正确；
对于选项B，取的中点为M，连接、GM，则，，易证，从而，选项B正确；
对于选项C，连接，，易知平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形，选项C正确；
对于选项D.设正方体棱长为a，三棱锥A-CEF的体积，选项D错误.
故选：ABC.
13．答案：1
解析：因为复数，
所以.
故答案为：1.
14．答案：
解析：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，
所以在原图形中对应的线段CB平行于x轴且长度不变，
点和在原图形中对应的点C和B的纵坐标是的2倍，
则，，所以，
，，
故原图形较长的对角线长为.
故答案为：.
15．答案：/
解析：在中，，
则，
又，且，不共线，
则，，所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：如图，由余弦定理得，
，又，
两式相加得，即，化简得，
所以.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)
则在复平面对应的点坐标为，在复平面对应的点落在第一象限，，解得.
(2)是方程的根
则，即，
所以，解得.
18．答案：(1)5
(2)
解析：，
平方得，即,
则.
(2)，
则.
19．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)证明：在上取一点N，使得，
连接，，则，，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
同理，四边形是平行四边形，所以，且，
又，且，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，
所以四点共面.
(2)因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以.
所以.
在中，，
在中，，
所以，即H为的中点.
20．答案：(1)
(2)等边三角形，
解析：(1)由题意，
由正弦定理得，
因为，
所以，因为，所以，所以，
又，所以.
(2)设外接圆的半径为R，则，由正弦定理得，
因为的周长为，所以，
由余弦定理得，即，所以，
由得，所以为等边三角形，
所以的面积.
21．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因为向量，，，
则，.
因为，
所以，解得.
(2)设，由题意，，，
由于，且，则，
解得或.因此或.
22．答案：(1)走私船距缉私艇海里，在缉私艇的西南方向上
(2)缉私艇至少需要小时才能追上走私船
解析：(1)由题意知：，，.
在中，由余弦定理得：，
由正弦定理得：，解得：，.
则刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的西南方向上.
(2)如图，
设t小时后缉私艇在D处追上走私船，则，，.
在锐角中，由正弦定理得：，解得：，
则，.
，
在中，由正弦定理得：，即，
解得：，则缉私艇至少需要小时才能追上走私船.