2022-2023学年河北省沧州市东光县等三县清北班高二（下）联考数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年河北省沧州市东光县等三县清北班高二（下）联考数学试卷（4月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，则不同的报名方式有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

2.  已知等差数列的前项和为，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  小明每天上学途中必须经过个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，且，则下列结论错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  若函数在上存在极值，则正整数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱将在年全部对接，形成““字结构在中国空间站建造阶段，有名航天员共同停留在空间站，预计在某项建造任务中，需名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少人，至多人，则不同的安排方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7.  已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，且，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是(    )

A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值

10.  若，则(    )

A.
B.
C.
D.

11.  设，为随机事件，且，，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则，可能不相互独立
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则

12.  已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 的极小值点为
B. 的最小值为
C. 过原点且与曲线相切的直线有条
D. 若，且，则的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  某班从名男同学和名女同学中选取人参加学校的“辩论大赛”，要求男、女生都有，则不同的选法共有______ 种

14.  某防空导弹系统包含辆防空导弹发射车，其中联装，联装，联装防空导弹发射车各辆，当警戒雷达车发现敌机后通知指挥车，指挥车指挥防空导弹发射车发射导弹，每次只选择辆防空导弹发射车已知指挥车指挥联装，联装，联装防空导弹发射车发射导弹的概率分别为，，，且联装，联装，联装防空导弹发射车命中敌机的概率分别为，，在某次演习中警戒雷达车发现一架敌机，则此防空导弹系统发射导弹命中敌机的概率为______ ．

15.  已知数列满足，且，若，则数列的前项和 ______ ．

16.  对于函数，若存在，则称点与点是函数的一对“隐对称点”若时，函数的图象上只有对“隐对称点”，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知的展开式中前三项的二项式系数和为．
求；
求展开式中的常数项．

18.  本小题分
已知函数，且．
求函数的图象在点处的切线方程；
求函数在区间上的值域．

19.  本小题分
某校举办元且晚会，现有首歌曲和个舞蹈需要安排出场顺序结果用数字作答
如果首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
如果个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么有多少种不同的出场顺序．

20.  本小题分
已知数列满足，．
求的通项公式；
设，在和之间插入个数，使得这个数构成公差为的等差数列，求的前项和．

21.  本小题分
已知函数，．
若函数在上单调递增，求的取值范围；
若，求证：．

22.  本小题分
已知函数的导函数为．
当时，求函数的极值点的个数；
若在上恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，
每个人都有种选择，则不同的报名方式种数为种．
故选：．
分析可知每个人都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果．
本题主要考查分步乘法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：等差数列，，，
，，
则．
故选：．
利用等差数列的通项公式求出和，再利用等差数列的前项和公式求解即可．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和公式，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件，
“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，
则由题意可得，
则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为．
故选：．
由条件概率公式求解即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，A正确；
对于，，，B错误；
对于，由组合数的性质可得，C正确；
对于，，D正确．
故选：．
根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合可得答案．
本题考查排列组合数公式，注意排列组合数公式的形式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
函数在上存在极值，
函数在上不是单调函数，
可得有两个不等的根，
即，
解得，或，
正整数的最小值为．
故选：．
求出函数的导数，由题意得函数的导数在上有两个不等实数根，再由判别式大于求出实数的取值范围，即可得到正整数的最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查化归与转化思想，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：方案一：每个舱各安排人，共有种不同的方案；
方案二：分别安排人，人，人，共有种不同的方案．
所以共有种不同的安排方案．
故选：．
根据分组分配问题的处理步骤，先将人分成三组，再将三组分到三个舱内即可．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得，
所以，
当为奇数时，，易得单调递减，且，所以；
当为偶数时，，易得单调递增，且，所以．
所以的最大值与最小值分别为，．
函数在上单调递增，所以．．
所以的最小值．
故选：．
由已知可求得，为奇数时，，根据单调性可得：，为偶数时，，根据单调性可得：，可得的最大值与最小值分别为，，考虑到函数在上单调递增，即可得出结论．
本题主要考查数列与不等式的综合，考查转化能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得，即，
令，则，
，
在上单调递增，
又，，，
，
故选：．
对已知等式变形可得，构造函数，则，求出可知在上单调递增，从而得到成立．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可知时，，单调递增，故A正确；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，故B错误；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，故C正确；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，故D正确．
故选：．
根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：令时，，故A错误；
时，；
时，；
所以，，B正确；
，C错误；
令，可得，
故，故D正确．
故选：．
利用赋值法令求出判断，令，，得到两式，两式相加、相减即可判断，令判断．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于选项，根据条件概率公式及，
得，即，所以，、相互独立，错；
对于选项，由知，当时，，
所以，，对；
对于选项，由，得，
所以，对；
对于选项，，
，所以，，对．
故选：．
利用条件概率公式以及独立事件的定义可判断选项；利用条件概率公式可判断选项．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项A：已知，函数定义域为，
可得，
令，
解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的极小值点为，故选项A正确；
对于选项B，因为，
所以函数的最小值不可能为，故选项B错误；
对于选项C：设切点坐标为，
此时切线斜率为，
所以切线方程为，
又该切线过原点，
所以，
即，方程无解，
即过原点且与曲线相切的直线不存在，故选项C错误；
对于选项D：由，
可得，
即，
又，，且，
所以，
因为，
所以，
则，
此时，
不妨令，，
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
则的最小值为，故选项D正确．
故选：．
由题意，对函数进行求导，利用导数的几何意义得到函数的单调性，结合极值点的定义可判断选项A；根据可判断选项B选项；设切点为，利用导数写出切线的方程，再将原点代入切线方程，得到关于的等式，判断关于的方程的解的个数，即可判断选项C；利用已知得到，令，此时，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到在上的最小值，进而判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 

13.【答案】 

【解析】解：利用间接法，先求出选取的人都是男生或都是女生的情况，共有种情况，
所以男、女生都有的不同的选法共有种．
故答案为：．
利用间接法，结合排列组合知识求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意知，此防空导弹系统发射导弹命中敌机的概率为．
故答案为：．
此防空导弹系统发射导弹命中敌机分为类：指挥联装发射导弹且命中、指挥联装发射导弹且命中及指挥联装发射导弹且命中．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意，由，
可得，
则，，，，，
各项相乘，可得，
，



．
故答案为：．
本题先根据题干给出的递推公式运用累乘法推导出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前项和．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，累乘法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得：关于原点对称的函数为，故原题意等价于与函数的图象只有个交点，
对于函数可知：在上单调递减，在上单调递增，
故，
对于，则，
由于，，则有：
令，解得；令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
分别作出与的图象如图所示：

若与函数的图象只有个交点，
则，
即，解得．
故答案为：．
根据题意分析可得原题意等价于与函数的图象只有个交点，分别判定与的单调性，结合图象分析运算．
本题属于新概念题，考查了转化思想、数形结合思想及导数的综合运用，作出图象是关键，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，
所以，
即，
解得或舍去，
的展开式中通项为，
由时，可得，即第项为常数项，
所以展开式中的常数项为． 

【解析】写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；
利用通项，并令的指数为，求出常数项．
本题考查二项式定理，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
，解得：，
，则，
在点处的切线方程为：，即．
由知：，则，
当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
，，的值域为． 

【解析】利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；
利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得的值域．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：根据题意，将首歌曲看成一个元素，再与个舞蹈节目全排列即可，
有种不同的出场顺序；
根据题意，先将首歌曲全排列，再将个舞蹈节目安排在其空位中，
有种不同的出场顺序；
根据题意，分种情况讨论：
甲在最后一个出场，其余个节目全排列即可，有种出场顺序；
甲不在最后一个出场，甲有种安排方法，乙有种安排方法，其余个节目全排列即可，
有种出场顺序；
则共有种出场顺序． 

【解析】根据题意，用捆绑法分析：将首歌曲看成一个元素，再与个舞蹈节目全排列，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，用插空法分析：先将首歌曲全排列，再将个舞蹈节目安排在其空位中，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，分种情况讨论：甲在最后一个出场，甲不在最后一个出场，由分类计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：，
，，
两式相减可得：，，
，，又当时，，也满足，
，；
由知，，
，
，
，
两式相减可得：
，
． 

【解析】根据数列的前项和，采用作差法，即可求解；
根据等差数列的公差公式，错位相减法求和，即可求解．
本题考查根据数列的前项和求通项公式，等差数列的公差公式，错位相减法求和，化归转化思想，属中档题．
 

21.【答案】解：由题意得，
函数在上单调递增，
在上恒成立，
又在上单调递增，则，
故，解得，
故的取值范围是；
证明：，，要证，只需证，
令，则．
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，即，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，即，
故当时，，即．
故． 

【解析】对求导后，问题转化为在上恒成立，进而求得的最小值，即可得出答案；
由可得只需证明，令，求导后求得；令，求导后求得，从而可得，即可证明结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，，定义域为，
，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，，
所以，，
所以存在唯一的，，使得，
且当和时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
故在处取得极小值，在处取得极大值，
即函数的极值点的个数为．
，，
即恒成立，
即在上恒成立．
记，，
当时，，不符合题意，
当时，，
记，，
则，
所以在上单调递增，
又，，
所以，使得，即，
故当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由式可得，所以，
代入式得，
因为，即，
故，，即，
所以当时，恒成立，
故实数的取值范围为． 

【解析】求导得到导函数，构造，再次求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算最值确定，，得到极值点个数即可；
变换得到在上恒成立，构造函数，考虑和两种情况，求导得到导函数，再次构造函数，确定函数的单调区间，利用隐零点代换得到答案．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．