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    2024成都七中高三下学期三诊模拟考试数学(理)含答案

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    这是一份2024成都七中高三下学期三诊模拟考试数学(理)含答案,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.若向量与向量是共线向量,则实数等于( )
    A.2B.C.D.0
    2.复数(其中为虚数单位)的共轭复数为( )
    A.B.C.D.
    3.已知全集,集合,则等于( )
    A.B.C.D.
    4.的展开式中,第5项为常数项,则正整数等于( )
    A.8B.7C.6D.5
    5.三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四条棱中,棱长最大值为( )
    A.B.C.D.2
    6.已知,则( )
    A.3B.C.或0D.3或0
    7.已知圆,直线,则“”是“圆上任取一点,使的概率小于等于”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要
    8.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表:
    附:.
    已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是( )
    A.甲班人数少于乙班人数
    B.甲班的优秀率高于乙班的优秀率
    C.表中的值为15,的值为50
    D.根据表中的数据,若按的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”
    9.若,则的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    10.已知函数,若,则( )
    A.B.C.D.0
    11.已知双曲线的左、右焦点分别为,左、右顶点分别为为双曲线上一点,且直线与的斜率之积等于3,则下列说法正确的是( )
    A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线的离心率为
    C.若,则的面积为D.以为圆心,为半径的圆与渐近线相切
    12.设函数,正实数满足,若,则实数的最大值为( )
    A.B.4C.D.
    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.
    13.某班男女生的比例为,全班的平均身高为,若女生的平均身高为,则男生的平均身高为______.
    14.抛物线的焦点为,过的直线与抛物线相交于两点(在第一象限),分别过作准线的垂线,垂足分别为,若,则直线的倾斜角等于______.
    15.在中,角所对的边分别为,若,则______.
    16.在三棱柱中,平面是矩形内一动点,满足,则当三棱锥的体积最大时,三棱锥的外接球的表面积为______.
    三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(本小题满分12分)
    某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的医疗保障,设计了一款针对该疾病的保险,现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析,这100个样本按年龄段分成了五组,其频率分布直方图如下图所示,每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.(保费:元)据统计,该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.
    (Ⅰ)用样本的频率分布估计总体的概率分布,为使公司不亏本,则保费至少为多少元?(精确到整数)
    (Ⅱ)随着年龄的增加,该疾病患病的概率越来越大,经调查,年龄在的老人中每15人就有1人患该项疾病,年龄在的老人中每10人就有1人患该项疾病,现分别从年龄在和的老人中各随机选取1人,记表示选取的这2人中患该疾病的人数,求的数学期望.
    18.(本小题满分12分)
    已知数列的前项和为.
    (Ⅰ)证明:数列是等比数列,并求出通项公式;
    (Ⅱ)设函数的导函数为,数列满足,求数列的前项和.
    19.(本小题满分12分)
    如图,在三棱柱中,平面是棱的中点,在棱上,且.
    (Ⅰ)证明:平面;
    (Ⅱ)若四棱锥的体积等于1,求二面角的余弦值.
    20.(本小题满分12分)
    在平面直角坐标系中,椭圆过点,直线与椭圆相交于不同于点的,两点,为线段的中点,当直线斜率为时,直线的倾斜角等于.
    (Ⅰ)求椭圆的方程;
    (Ⅱ)直线分别与直线相交于两点.线段的中点为,若的纵坐标为定值,判断直线是否过定点,若是,求出该定点,若不是,说明理由.
    21.(本小题满分12分)
    已知函数.
    (Ⅰ)若,证明:;
    (Ⅱ)若函数在内有唯一零点,求实数的取值范围.
    请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
    22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
    在直角坐标系中,直线的参数方程(t为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且直线与曲线相交于两点.
    (Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
    (Ⅱ)设点是直线上一点,满足,求点的直角坐标.
    23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
    已知函数.
    (Ⅰ)求不等式的解集;
    (Ⅱ)若函数的最小值为,正数满足,证明:.
    优秀
    非优秀
    甲班
    10
    乙班
    30
    0.05
    0.025
    0.010
    0.005
    3.841
    5.024
    6.635
    7.879
    年龄
    保费
    成都七中高2024届三诊模拟考试数学试题(理科参考答案)
    一、选择题:
    CBBCADCDABDA
    二、填空题:
    13.174 14. 15. 16.
    三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.解:(Ⅰ),解得
    保险公司每年收取的保费为:
    所以要使公司不亏本,则,即,
    解得,即保费元;
    (Ⅱ)由题意知的取值为0,1,2,




    18.解:(Ⅰ),

    相减得,即,
    所以数列是以4为公比的等比数列,又,
    所以.
    (Ⅱ),



    19.解:(Ⅰ)面,
    又,
    平面,
    又平面,
    由得:为棱的中点,
    连接交于,连接交于,连接,
    在中,交,
    平面,
    平面;
    (Ⅱ)设,
    四棱锥的体积为,解得,
    以分别为轴建立空间直角坐标系,如图,
    则,
    设平面的法向量为,
    由,得,令,得,
    取平面的法向量,

    因为二面角的大小为锐角,所以二面角的余弦值为.
    20.解:(Ⅰ)由已知得,
    设中点为
    由相减得,
    得,即.
    所以椭圆方程为.
    (Ⅱ)设,
    所以,即,
    ,同理,
    设直线过点是方程的两根.即,
    整理得,


    ,所以直线过点.
    21.解:(Ⅰ)当时,不等式等价于,
    则,令函数,
    则,

    所以函数在上单调递增,且,
    在上恒成立,
    即函数在上单调递增,且,
    所以时,不等式成立;
    (Ⅱ)当时,,
    由(Ⅰ)可知此时,所以此时函数没有零点,与已知矛盾,
    ,,令函数,
    所以,令函数,

    ①若,
    所以函数在上递增,且,
    ,使函数在上递减,在上递增,
    ②若时,显然,
    所以函数在上递减,在上递增,且
    ,使函数在上递减,在上递增,
    又,
    ,且,使得,
    综上得,当时,函数在内有唯一零点,
    的取值范围是.
    22.解:(Ⅰ)由得,
    即直线的普通方程为,
    由得:,

    即曲线的直角坐标方程为;
    (Ⅱ)设直线的参数方程为,代入得:,整理得,
    设点对应的参数分别为,
    ,且.
    解得,或者
    所以求点的直角坐标为或.
    (或者利用普通方程求出的坐标,从而求出的坐标)
    23.解:(Ⅰ)不等式等价于,
    当时,得,
    当时,得,此时无解,
    当时,得,
    综上,不等式的解集为;
    (Ⅱ),当时取等号,
    ,即,

    相加得,
    .所以不等式成立.
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