2022成都七中高三上学期7月零诊模拟考试数学（理）试题含答案

成都七中高2022届高二下期零诊模拟考试数学（理）

时间：120分钟  满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确选项．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．极坐标系中，直线的方程为与曲线：的位置关系为（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与有关

4．若双曲线的中心为坐标原点，其焦点在轴上，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

5．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

6．等差数列公差为，且满足，，成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

7．在圆内随机取一点，则点落在不等式组，表示的区域内的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线为曲线在处的切线，则在直线上方的点是（    ）

A． B． C． D．

9．设，，：向量与的夹角为钝角，：，则是的（    ）条件

A．充分不必要 B．充要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数满足：对任意，，，且在区间上，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知椭圆：的左右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点．设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

13．观察下列式子，，，，…，根据上述规律，第个不等式应该为______．

14．已知，，其中，，则的值为______．

15．已知偶函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为______．

16．抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．某企业员工人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数，的值；

（2）现在要从年龄较小的第，，组中用分层抽样的方法抽取人，年龄在第，，组的人数分别是多少？

（3）在（2）的前提下，从这人中随机抽取人参加社区宣传交流活动，求至少有人年龄在第组的概率．

18．已知曲线．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）对任意的，都有，求实数的取值范围．

19．如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求锐二面角的余弦值．

20．已知椭圆：的右焦点为，且经过点．点是轴上一点．过点的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，且直线与圆：相切于点，求的长．

21．已知函数，

（Ⅰ）当时，记，求的最小值；

（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于两点，，求的值．

成都七中高2022届高二下期零诊模拟考试数学（理）

1．  2．  3．  4．  5．  6．  7．  8．  9．  10．  11．  12．

13． 14．或

15． 16．

17．解：（1）由题设可知，，．

（2）因为第，，组共有人，

利用分层抽样在名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：

第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为，所以第，，组分别抽取人，人，人．

（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，，，，则从位同学中抽两位同学有：

，，，，，，，，，，，，，，共15种可能．

其中人年龄都不在第组的有：共种可能，

所以至少有人年龄在第组的概率为．

18．解：（1）函数的定义域为，

当时，，，

，，

所求切线方程为，即．

（2）由题意对于有则可得，．

设，，，

再设，，，

在上为增函数，，即，

在上为增函数，，即．

19．（1）证明：平面，平面，

．

是菱形，

．

，

平面．

平面，

平面平面．

（Ⅱ）平面，，以为原点，，，方向为，，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．

，，，

，，．

则，，，，

，．

设平面的法向量为，，，

．令，得．

同理可求得平面的法向量为．

．

20．解：（1）由题意知

，又．故，．

椭圆的方程为．

（2）设，直线：．，．由，有．

由．

由韦达定理得，．

由，，则．

．化简得．

原点到直线的距离．

又直线与圆：相切，

所以．即．

即．

解得．此时，满足．此时

在中，．

的长为．

21．解：（1）令，

则

令，，由，得，

所以，当时，，递减；

当时，，递增。

所以．

（2），

①当时，易得

在上单调递增

，

由零点存在定理知在上有一个零点。

②当时，，

在上无零点。

③当时，

，

在上单调递减

，

在上有一个零点。

综上，在上有2个零点。

22．解：（1）消去得直线的普通方程为

曲线的直角坐标方程：．

（2）代入曲线：得

设，两点对应的参数分别为，则不妨设，

．