2023成都七中高三上学期零诊模拟考试数学（理）含答案

成都七中高 2023 届零诊模拟检测试题

理科数学

一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1. 设非空集合 满足 , 则

A.

B. , 有

C. , 有

D. , 有

2. 若复数 满足 , 则 在复平面内对应的点位于

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 已知 均为单位向量, 且满足 , 则 的值为

A.

B.

C.

D.

4. 数列 满足 , 则以下说法正确的个数

①

②;

③对任意正数 , 都存在正整数 使得 成立

④

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

5. 如图, 已知抛物线 的顶点在坐标原点, 焦点在 轴上, 且过点

圆 , 过圆心 的直线 与抛物线和圆的四个交点依次为 , 则 的最小值为

A.

B.

C.

D.

6. 德国数学家莱布尼茨(1646 年一1716 年)于 1674 年得到了第一个关于 的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国. 在我国科技水平业已落后的情况下, 我国数学家、天文学家明安图(1692 年一1765 年)为提高我国的数学研究水平, 从乾隆初年(1736 年)开始,历时近 30 年, 证明了包括这个公式在内的三个公式, 同时求得了展开三角函数和反三角函数的 6 个新级数公式, 著有 割圆密率捷法》一书, 为我国用级数计算 开创了先河. 如图所示的程序框图可以用莱布尼茨 “关于 的级数展开式” 计算 的近似值(其中 表示 的近似值, 若输入 , 则输出的结果是

A.

B.

C.

D.

7. 在正四面体 中, 异面直线 与 所成的角为 , 直线 与平面 所成的角为 ,二面角 的平面角为 , 则 的大小关系为

A.

B.

C.

D.

8. 对于角 , 当分式 有意义时, 该分式一定等于下列选项中的哪一个式子

A.

B.

C.

D.

9. 对于三次函数 , 给出定义: 设 是函数 的导数, 是 的导数, 若方程 有实数解 , 则称点 为函数 的 “拐点”. 某同学经过探究发现: 任何一个三次函数都有 “拐点” ; 任何一个三次函数都有对称中心, 且 “拐点” 就是对称中心. 设函数 ,

则

A. 2014

B. 2013

C.

D. 1007

10. 算盘是中国传统的计算工具, 其形长方, 周为木框, 内贯直柱, 俗称 “档”, 档中横以梁, 梁上两珠, 每珠作数五, 梁下五珠, 每珠作数一. 算珠梁上部分叫上珠, 梁下部分叫下珠. 例如: 在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠, 个位档拨上一颗上珠, 则表示数字65 若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠, 再随机选择两个档位各拨一颗下珠, 则所拨数字大于 200 的概率为

A.

B.

C.

D.

11. 已知不等式 恰有 2 个整数解, 则 的取值范围为

A.

B.

C.

D.

12. 已知双曲线 的左, 右焦点分别是 , 点 是双曲线 右支上异于顶点的点, 点 在直线 上, 且满足 .

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。

13. 命题 “ , 使得 ” 为假命题, 则 的取值范围为.

14. 已知 为数列 的前 项和, 数列 满足 , 且 是定义在 上的奇函数, 且满足 , 则 .

15. 已知实数 满足 , 则 的取值范围为.

16. 设函数 , 若存在互不相等的 4 个实数 , 使得

, 则实数 的取值范围为.

三、解答题: 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 题为选考题, 考生根据要求作答。

（一）必考题: 共 60 分。

17. 由于 2020 年 1 月份国内疫情爆发, 餐饮业受到重大影响, 目前各地的复工复产工作在逐步推进, 居民生活也逐步恢复正常. 李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到,地推经济、小店经济是就业岗位的重要来源, 是人间的烟火, 和 “高大上” 一样, 也是中国的商机. 某商场经营者王某准备在商场门前 “摆地推”, 经营 “冷饮与小吃”生意.已知该商场门前是一块扇形区域, 拟对这块扇形空地 进行改造. 如图所示, 平行四边形 域为顾客的休息区域, 阴影区域为 “摆地推” 区域, 点 在弧 上, 点 和点 分别在线段 和线段 上, 且 米, . 记 .

(1) 当 时, 求 ;

(2) 请写出顾客的休息区域 的面积 关于 的函数关系式, 并求当 为何值时, 取得最大值.

18. 如图 1, 在边长为 4 的菱形 中, , 点 分别是边 的中点,. 沿 将 翻折到 的位置, 连接 ,得到如图 2 所示的五棱雉 .

(1) 在翻折过程中是否总有平面 平面 ? 证明你的结论;

(2) 当四棱雉 体积最大时, 求直线 和平面 所成角的正弦值;

(3) 在 (2) 的条件下, 在线段 上是否存在一点 , 使得二面角 余弦值的绝对值为 ? 若存在, 试确定点 的位置; 若不存在, 请说明理由.

19. 新冠肺炎疫情发生以来, 我国某科研机构开展应急科研攻关, 研制了一种新型冠状病毒疫苗, 并已进入二期临床试验. 根据普遍规律. 志愿者接种疫苗后体内会产生抗体, 人体中检测到抗体, 说明有抵御病毒的能力. 通过检测, 用 表示注射疫苗后的天数. 表示人体中抗体含量水平(单位: , 即: 百万国际单位/毫升), 现测得某志愿者的相关数据如下表所示:

根据以上数据, 绘制了散点图.

（1）根据散点图判断, 均为大于零的常数)哪一个更适宜作为描述 与 关系的回归方程类型? (给出判断即可, 不必说明理由)

(2) 根据 (1) 的判断结果求出 关于 的回归方程, 并预测该志愿者在注射疫苗后的第 10 天的抗体含量水平值;

(3) 从这位志愿者的前 6 天的检测数据中随机抽取 4 天的数据作进一步的分析, 记其中的 值大于 50 的天数为 , 求 的分布列与数学期望.

参考数据:

其中 lny.

参考公式: 用最小二乘法求经过点 的线性回归方程

的系数公式,

20. 在平面直角坐标系 中, 是抛物线 的焦点, 是抛物线 上位于第一象限内的任意一点, 过 三点的圆的圆心为 , 点 到抛物线 的准线的距离为 ,

(1) 求抛物线 的方程;

(2) 若点 的横坐标为 , 直线 与抛物线 有两个不同的交点 与圆 有两个不同的交点 , 求当 时, 的最小值.

21. 已知函数 .

(1) 当 时, 求函数 的极小值;

(2) 若 上, 使得 -成立, 求 的取值范围.（二）选考题: 共 10 分。请考生在第 题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。

22. [选修 4-4: 坐标系与参数方程] (10 分)

在直角坐标系 中, 倾斜角为 的直线 的参数方程为: (t为参数), 在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 的极坐标方程为 .

(1) 求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程;

(2) 若直线 与曲线 交于 两点, 且 , 求直线 的倾斜角.

23. [选修 4-5: 不等式选讲] (10 分)

已知函数 .

(1) 当 时, 有 , 求实数 的取值范围.

(2) 若不等式 的解集为 , 正数 满足 , 求

的最小值.