2024年四川省雅安市中考数学一诊试卷（含解析）

这是一份2024年四川省雅安市中考数学一诊试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2024的绝对值是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为( )
A. 0.358×105B. 35.8×103C. 3.58×105D. 3.58×104
3.在直角坐标系中，点A(2,−8)、B关于y轴对称，则点B的坐标是( )
A. (−2,−8)B. (2,8)C. (−2,8)D. (8,2)
4.下列计算正确的是( )
A. a5+a3=a8B. 2a2+3a2=5a4C. (ab)2=a2b2D. a6÷a2=a3
5.若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
6.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E、F分别是AC、AD的中点，且BE=EF，若AB=8，BC=4，则CD的长为( )
A. 4 5
B. 4 3
C. 2 5
D. 8
7.某立方体的主视图如图所示，它的左视图不可能的是( )
A.
B.
C.
D.
8.下列说法中，正确的是( )
A. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
B. 某种彩票中奖的概率是110，则购买10张这种彩票一定会中奖
C. 为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100
D. 甲．乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2=3.2，s乙2=1，则乙的射击成绩较稳定
9.已知直角三角形的两条边长分别是方程x2−9x+20=0的两个根，则此三角形的第三边是( )
A. 4或5B. 3C. 41D. 3或 41
10.杭州第19届亚运会会徽名为“潮涌”，会徽主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，下方是主办城市名称与举办年份的印鉴，两者共同构成了完整的杭州亚运会会徽.小王同学在制作亚运会手抄报时，绘制了如图的扇面示意图，扇面弧所对的圆心角为120°，大扇形半径为10cm，小扇形半径为3cm，则此扇面中阴影部分的面积是( )
A. 913πcm2B. 863πcm2C. 703πcm2D. 653πcm2
11.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为( )
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
12.如图，是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴是直线x=1.对于下列说法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；④a+b≥m(am+b)(m为实数)；其中正确的是( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.一组数据1，6，7，4，7，5，2的中位数是______．
14.若x1，x2是方程x2−x−2023=0的两个实数根，则代数式x12+x2的值为______．
15.若正n边形的一个内角是140°，那么它的边数n=______．
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为______．
17.如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB=1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM，有如下结论：①DE=AF；②AN= 24AB；③∠ADF=∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB=1：8.上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
(1)计算：(12)−2−(π−3)0+| 3−2|+2sin60°；
(2)先化简，再求值：(x+1x−2−1)÷x2−2xx2−4x+4，其中整数x与2、3构成△ABC的三条边长，请求出所有满足条件的代数式的值．
19.(本小题8分)
为了倡导“节约用水，从我做起”，某社区决定对该辖区200户家庭用水情况进行调查.调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量(单位：吨)，调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______，c= ______．
(2)根据样本数据，估计该辖区200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？
(3)该社区决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享.请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率．
20.(本小题9分)
某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式：
(2)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
(3)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
21.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
(1)求证：AF=CE．
(2)若DB=20，OE=6，求tan∠ODF的值．
22.(本小题10分)
如图，平面直角坐标系xOy中，函数y=kx的图象上A、B两点的坐标分别为A(n,n+1)，B(n−5,−2n)．
(1)求反比例函数y=kx和直线AB的解析式；
(2)连接AO、BO，求△AOB的面积．
23.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：AB⋅(AB−AE)=AC⋅BF
(3)若AB=10，AC=6，求AD的长．
24.(本小题12分)
已知二次函数y=x2+bx+c图象C交x轴于点(−1,0)和(3,0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线C1向上平移n个单位得抛物线C2，点P为抛物线C2的顶点，C(0,4)，过C点作x轴的平行线交抛物线C2于点A，点B为y轴上的一动点，若存在∠ABP=90°有且只有一种情况，求此时n的值；
(3)如图2，恒过定点(1,1)的直线QN交抛物线C1于点Q，N两点，过Q点的直线y=−2x+t的直线交抛物线C1于M点，作直线MN，求MN恒过的定点坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的绝对值是2024．
故选：A．
根据绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握|a|=a(a>0)0(a=0)−a(a<0)．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此解答即可．
【解答】
解：35800=3.58×104．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：∵点A与点B关于y轴对称，点A的坐标是(2,−8)，
∴点B的坐标是：(−2,−8)．
故选：A．
直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.a5与a3不是同类项，不能进行合并计算，故此选项不符合题意；
B.2a2+3a2=5a2，故此选项不符合题意；
C.(ab)2=a2b2，正确，故此选项符合题意；
D.a6÷a2=a4，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，然后作出判断．
本题考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题基础．
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键．
直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不为0，进而得出答案．
【解答】
解：∵分式x2−1x−1的值为0，
∴x2−1=0，且x−1≠0，
解得：x=−1．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】【解答】
解：∵∠ABC=90°，AB=8，BC=4，
∴AC= AB2+BC2= 82+42=4 5，
∵E是AC的中点，
∴BE=12AC=12×4 5=2 5，
∵BE=EF，
∴EF=2 5，
∵点E、F分别是AC、AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴CD=2EF=2×2 5=4 5，
故选A．
【分析】
由勾股定理求出AC的长度，由直角三角形斜边上中线的性质求出BE的长度，再由三角形中位线定理即可求出CD的长度．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据主视图可知共有两层，所以左视图不可能有一层，所以只有A选项不可能．
故选：A．
根据主视图可知共有两层，所以左视图不可能有一层，即可判断出答案．
本题考查对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖”就更容易得到答案．
8.【答案】D
【解析】解：A.为确保载人航天器的每个零件合格，应采取全面调查，不能用抽查，因此选项A不符合题意；
B.某种彩票中奖的概率是110，买10张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；
C.为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100袋洗衣粉的质量，样本容量为100，因此选项C不符合题意；
D.由于平均数相同，方差小的比较稳定，因此乙的射击成绩较稳定，所以选项D符合题意；
故选：D．
根据抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义进行判断即可．
本题考查抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量，理解抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义是正确判断的前提．
9.【答案】D
【解析】解：解方程x2−9x+20=0得：x=4或5，
分为两种情况：
①当直角边为4和5时，第三边(斜边)的长为 42+52= 41；
②当4为直角边，5为斜边时，第三边(为直角边)的长为 52−42=3，
所以第三边长为3或 41，
故选：D．
先求出方程的解，再分为两种情况：①当直角边为4和5，②当4为直角边，5为斜边时，根据勾股定理求出第三边的长即可．
本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出方程的解是解此题的关键，用了分类讨论思想．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可知，
S阴影部分=S大扇−S小扇
=120π×102360−120π×32360
=91π3(cm2).
故选：A．
由扇形面积的计算方法，根据S阴影部分=S大扇−S小扇进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠AOC=2∠D=∠ABC，
∴2∠D+∠D=180°，
∴∠D=60°，
故选：B．
【分析】
先根据菱形的性质得到∠ABC=∠AOC，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠D=180°，∠AOC=2∠D，则2∠D+∠D=180°，进而求出∠D的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质，菱形的性质，圆周角定理，熟练掌握并正确运用圆内接四边形的性质，菱形的性质，圆周角定理是解题关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为值x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，2a+b=0，②正确．
∴ab<0，①正确．
∵x=3时y<0，
∴x=−1时，y=a−b+c=3a+c<0，③不正确．
由图象可得x=1时，函数值取最大值，
即a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m(am+b)，④正确．
故选：B．
由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线x=1可判断②，由x=3时y<0及抛物线的对称性可判断③，由x=1时函数取最大值可判断④．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
13.【答案】5
【解析】解：将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是5，因此中位数是5，
故答案为：5．
根据中位数的定义进行解答即可．
本题考查中位数，理解中位数的定义，掌握中位数的计算方法是解决问题的关键．
14.【答案】2024
【解析】解：∵x1，x2是方程x2−x−2023=0的两个实数根，
∴x12−x1−2023=0，x1+x2=1，
∴x12=x1+2023，
∴x12+x2=x1+x2+2023=2024．
故答案为：2024．
由x1，x2是方程x2−x−2023=0的两个实数根，推出x12−x1−2023=0，x1+x2=1，x12=x1+2023，利用整体代入的射线思考问题．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】9
【解析】解：∵正n边形的每个内角都是140°，
∴正n边形的每个外角的度数=180°−140°=40°，
∴n=360°÷40°=9．
故答案为：9．
根据多边形每个内角与其相邻的外角互补，则正n边形的每个外角的度数=180°−140°=40°，然后根据多边形的外角和为360°即可得到n的值．
本题考查了多边形内角与外角的关系及多边形的外角和定理，用到的知识点：多边形每个内角与其相邻的外角互补；多边形的外角和为360°．
16.【答案】3 2
【解析】解：如图，连接CP，
∵∠ACB=90°，AC=BC=6，AB= AC2+BC2= 62+62=6 2，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC=∠PEC=90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴DE=CP，
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，
此时，AP=BP，
∴CP=12AB=3 2，
∴DE的最小值为3 2，
故答案为：3 2．
连接CP，由勾股定理求出AB的长，再证四边形CDPE是矩形，得DE=CP，然后由等腰直角三角形的性质求出CP的长，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】①②③
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD=BC，∠CDE=∠DAF=90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
∠DAF=∠CDE=90°AD=CD∠ADF=∠DCE，
∴△ADF≌△DCE(ASA)，
∴DE=AF；故①正确；
∵AB/​/CD，
∴AFCD=ANCN，
∵AF：FB=1：2，
∴AF：AB=AF：CD=1：3，
∴ANCN=13，
∴ANAC=14，
∵AC= 2AB，
∴AN 2AB=14，
∴AN= 24AB；故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC= 10a，BG=32a，
∵∠DCE=∠DCM，∠CDE=∠CMD=90°，
∴△CMD∽△CDE，
∴CMCD=CDCE，
∴CM=9 1010a，
∵∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠HCG=90°，
∴∠DEC=∠HCG，
又∵∠CDE=∠CHG=90°，
∴△GHC∽△CDE，
∴CHDE=CGCE，
∴CH=9 1020a，
∴CH=MH=12CM，
∵GH⊥CM，
∴GM=GC，
∴∠GMH=∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°，
∴∠FMG=∠DCE，
∵∠ADF=∠DCE，
∴∠ADF=∠GMF；故③正确，
设△ANF的面积为m，
∵AF/​/CD，
∴AFCD=FNDN=13，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴S△ANF：S四边形CNFB=1：11，故④错误，
故答案为①②③．
①正确．由“ASA”可证△ADF≌△DCE，可得DE=AF；
②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可；
③正确．作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC= 10a，通过计算证明MH=CH即可解决问题；
④错误．设△ANF的面积为m，由AF//CD，推出AFCD=FNDN=13，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积=△ABC的面积=12m，由此即可判断．
本题是四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用参数表示三角形的面积是解题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=4−1+2− 3+2× 32
=4−1+2− 3+ 3
=5；
(2)原式=(x+1x−2−x−2x−2)÷x(x−2)(x−2)2
=3x−2⋅x−2x
=3x
∵整数x与2、3构成△ABC的三条边长，
∴3−2∴x=2，3，4，
∵x−2≠0，x(x−2)≠0，
∴x≠2且x≠0，
∴x=3或4，
当x=3时，原式=1，
当x=4时，原式=34．
【解析】(1)分别计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值以及三角函数值，然后合并；
(2)先化简分式，然后求出x的取值范围，求出x的整数值，代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，正确运用分式运算法制是解题的关键．
19.【答案】20 0.18 0.20
【解析】解：(1)抽查的户数为：4÷0.08=50(户)，
∴a=50×0.40=20，b=9÷50=0.18，c=10÷50=0.20，
故答案为：20，0.18，0.20；
(2)∵4+20+9=33(户)，
∴估计该市辖区200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有：200×3350=132(户)；
(3)画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，
∴恰好选到甲、丙两户的概率为212=16．
(1)根据频数4除以频率0.08求出抽查的户数，用抽查户数乘以频率0.40求出a，用频数9除以抽查户数求出b，用频数10除以抽查户数求出c；
(2)由总户数乘以月平均用水量不超过5吨的户数所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，列举出来，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法、平均数、众数、中位数以及频数分布表等知识点，能正确画出树状图是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(30,150)；(80,100)分别代入得：
30k+b=15080k+b=100，
解得：k=−1b=180，
∴y与x之间的函数关系式为y=−x+180；
(2)设利润为w元，
由题意得：
w=(x−30)(−x+180)
=−x2+210x−5400，
∴w=−x2+210x−5400(30≤x≤80)；
令−x2+210x−5400=3600，
解得x=60或x=150(舍)，
∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元；
(3)由(2)知，w=−(x−105)2+5625，
∵−1<0，
∴当x≤105时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤80，
∴当x=80时，w最大，最大为5000元．
∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元．
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，由待定系数法求解即可；
(2)利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范围，并根据每天所获利润为3600元，建立方程，求解即可；
(3)将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
在△OEB和△OFD中，
∠OEB=∠OFD∠BOE=∠DOFOB=OD，
∴△OEB≌△OFD(AAS)，
∴OE=OF，
∴OA−OF=OC−OE，
∴AF=CE；
(2)解：由(1)得：OE=OF，
∴OE=OF=6，
∵OD=12DB，DB=20，
∴OD=10，
∵BF⊥AC，
∴∠OFD=90°，
∴DF= OD2−OF2= 102−62=8，
∴tan∠ODF=OFDF=68=34．
【解析】(1)证△OEB≌△OFD(AAS)，得OE=OF，即可得出结论；
(2)由勾股定理得DF=8，再由锐角三角函数定义求解即可．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵A、B两点在y=kx的图象上，而A(n,n+1)，B(n−5,−2n)，
∴n(n+1)=(n−5)(−2n)，即n2+n=−2n2+10n3n2−9n=0，
解得n1=0，n2=3
∵y=kx的图象与坐标轴没有交点，
∴n1=0舍去，
∴n=3，
∴A(3,4)，B(−2,−6)，
∴k=3×4=12，
设直线AB的解析式为：y=ax+b，
则3a+b=4−2a+b=−6，
解得：a=2b=−2
∴直线AB的解析式为：y=2x−2，反比例函数解析式为：y=12x；
(2)设直线AB交x轴于点D，则
当y=0时，2x−2=0，
∴x=1，
∴D(1,0)，
∴S△AOB=12×1×4+12×1×6=5
∴△AOB的面积为5．
【解析】(1)根据反比例函数系数k=xy得出n(n+1)=(n−5)(−2n)，即n2+n=−2n2+10n3n2−9n=0，解方程求得A、B的坐标，进而即可利用待定系数法求得函数的解析式；
(2)求得D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得A、B点的坐标是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图，连接OD．
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠EAD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴OD/​/AE，
∴∠ODF=∠E=90°，
∴半径OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
(2)证明：如图，连接CD．
由(1)知∠FDB+∠ODB=90°，AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠FDB=∠CAD，
∵∠ACD+∠ABD=180°，∠ABD+∠FBD=180°，
∴∠FBD=∠DCA，
∴△FBD∽△DCA，
∴BDAC=BFCD，
∵∠CAD=∠DAB，
∴BD=CD，
∴BD2=AC⋅BF，
又△AED∽△ADB，
∴AEAD=ADAB，
∴AD2=AE⋅AB，
∵AB2=AD2+BD2，
∴AB2=AE⋅AB+AC⋅BF，
∴AB⋅(AB−AE)=AC⋅BF．
(3)解：如图，连接BC，交OD于点H．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=8，
∵CD=BD，
∴OD⊥BC，
∴CH=BH=12BC=12×8=4，
∵OA=OB，
∴OH=12AC=3，
∴DH=2，
∴BD2=DH2+BH2=22+42=20，
∴AD2=AB2−BD2=102−20=80，
∴AD= 80=4 5．

【解析】(1)连接OD，由题可知，D已经是圆上一点，欲证EF为切线，只需证明∠ODF=90°即可；
(2)连接CD.由(1)知∠FDB+∠ODB=90°，AB为⊙O的直径，由△FBD∽△DCA得BDAC=BFCD，又△AED∽△ADB，所以AEAD=ADAB，所以AD2=AE⋅AB，因为AB2=AD2+BD2，所以AB2=AE⋅AB+AC⋅BF，即可证明AB⋅(AB−AE)=AC⋅BF；
(3)连接BC，根据勾股定理求出BC，进而根据三角形的中位线定理可得OH的长，从而得DH的长．
本题考查了切线的判定，掌握三角形的中位线定理，勾股定理，角平分线的定义，切线的判定等知识点是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意得：1−b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3
∴y=x2−2x−3；
(2)∵y=x2−2x−3向上平移n个单位得新抛物线，
∴y=(x−1)2−4+n，
∵点P为抛物线的顶点，
∴P(1,n−4)，
∵C(0,4)，CA//x轴，
∴CA⊥y轴，
过点P作PT⊥y轴于点T，

∵∠ABP=90°，
∴△ABC∽△APT，
∵存在∠ABP=90°有且只有一种情况，
∴△ABC≌△APT，
∴CB=PT=1，
∴B(0,3)，
∴AC=BT=3，
∴A(3,4)，
∴A点在抛物线上，
∴n=4；
(3)∵MN恒过定点，
∴y=−2x+t中t为任意值都满足条件，
令t=1，
联立−2x+1=x2−2x−3，
∴x=2或x=−2，
∴Q(−2,5)，M(2,−3)，
设过定点(1,1)的直线QN解析式为y=k(x−1)+1，
将点Q入，得5=k(−2−1)+1，
∴k=−43，
∴y=−43x+73，
联立x2−2x−3=−43x+73，
∴x=−2或x=83，
∴N(83,−119)，
由点M、N
∴y=83x−253；
令t=6，y=−2x+6，
联立−2x+6=x2−2x−3，
∴x=3或x=−3，
∴Q(−3,12)，M(3,0)，
设过定点(1,1)的直线NQ解析式为y=k(x−1)+1，
将点Q代入得12=k(−3−1)+1，
∴k=−114，
∴y=−114x+154，
联立x2−2x−3=−114x+154，
∴x=−3或x=94，
∴N(94,−3916)，
由点M、N的坐标得，MN的解析式为y=134x−394，
联立83x−253=134x−394，
解得x=177，
直线MN经过定点(177,−137).
【解析】(1)将点(−1,0)(3,0)代入y=x2+bx+c即可求解析式，
(2)设y=(x−1)2−4+n，则P(1,n−4)，由题可知CA⊥y轴，过点P作PT⊥y轴于点T，由∠ABP=90°，则可证明△ABC∽△APT，若存在∠ABP=90°有且只有一种情况，所以只能是△ABC≌△APT，即可求A(3,4)，将A点代入抛物线表达式，即可求n；
(3)MN恒过定点，得到Q(−2,5)，M(2,−3)，设过定点(1,1)的直线QN解析式为y=k(x−1)+1，得到N(83,−119)，设过定点(1,1)的直线NQ解析式为y=k(x−1)+1，将点Q代入得12=k(−3−1)+1，得到y=−114x+154，则N(94,−3916)，即可求解．
本题考查二次函数与一次函数的综合，(2)中构造K字型，由所求挖掘出三角形全等的条件是关键；(3)中取任意两种情况，联立即可求出定点，即可将问题简单化，此题有一定的难度以及计算量，需要一定的数学功底．月平均用水量(吨)
3
4
5
6
7
频数(户数)
4
a
9
10
7
频率
0.08
0.40
b
c
0.14