2024年四川省南充市中考数学一诊试卷（含解析）

这是一份2024年四川省南充市中考数学一诊试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(−3)2的相反数是( )
A. −6B. −9C. 9D. −19
2.下列运算正确的是( )
A. a6÷a3=a2B. (−a+b)(−a−b)=−a2−b2
C. −a2b2⋅ab3=a3b5D. (−3a3b2)2=9a6b4
3.一张矩形纸片，截下一个三角形后，剩下部分的形状不可能是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 四边形D. 五边形
4.如图，在正五边形ABCDE中，作AF⊥CD于F，连接BE与AF交于G.下列结论，错误的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠4=2∠3
C. AF⊥BE
D. BG=CD
5.不等式组2x+3>0x−2 3<0的整数解的个数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.已知一组数据4，5，6，7，a的平均数为5，则这组数据的方差为( )
A. 1B. 1.2C. 1.5D. 2
7.若A(a,m)，B(b,m)，P(a+b,n)是抛物线y=x2+2x+3上不同三点，则n的值为( )
A. 3B. 2C. 6D. 不确定
8.如图，A，B，C，D均在⊙O上，∠BCD=5∠BAD，若BD= 3，则AB的长最大为( )
A. 3
B. 4
C. 2 3
D. 3 2
9.甲计划用若干天完成某项工作，两天后，乙加入合做，结果提前两天完成任务.若甲、乙两人工效相同，则甲计划完成此项工作的天数是( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AD靠近点A的四等分点.F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG.连接DG，则DG的最小值为( )
A. 6
B. 2 2
C. 52 2
D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.比较大小： 2−1 ______12.(选用“>”或“<”)
12.在一个不透明的袋子中装有3张完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3.从中随机抽取两张，组成的两位数是3的倍数的概率为______．
13.如图，在直角坐标系中，已知A(−3,0)，B(1,−2).将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是______．
14.设p是关于x的方程x2−2x+n−1=0的一个实数根，若(p2−2p+3)(n+4)=7，则n= ______．
15.如图，▱ABCD中，E，F在BC的延长线上，连接AE，AF，分别与CD交于G，H，若BC=4CE=4，AG=2.4，AH=FH，则∠HAG与∠HAD的大小关系是______．
16.如图，经过(2,0)的抛物线y=ax2+bx+c与x轴有个交点的横坐标在0与1之间.下列结论：①abc<0；②2a>c；③a+2b+4c>0；④ba+4ab+4<0.正确的有______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
化简：(2a2+2aa2−1−a2−aa2+1−2a)÷2aa+1．
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，∠B=∠AED=∠C，∠EAD=∠EDA.求证：AB+CD=BC．
19.(本小题8分)
为全面增强中学生体质健康，掌握多项活动要领，每月课外活动选择一项侧重训练.A.跳绳；B.篮球；C.排球；D.足球.某校开学初共有100名男生选择了A项目，两周后从这100名男生中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x(个/min)绘制成频数分布直方图．

(1)若抽取的同学的测试成绩x落在160≤x<165这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则这组数据的中位数是______，众数是______；
(2)根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占的圆心角为______度；
(3)学校准备在不低于175(个/min)的组中推荐2名参加全区的跳绳比赛，请用树状图或列表法求其中的甲和乙同时被选中的概率．
20.(本小题10分)
已知关于x的方程x2+2mx+m2+m=0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求m的取值范围；
(2)若x12x2+x1x22+4m=0，求m的值．
21.(本小题10分)
如图，双曲线y=kx的一支与直线y=−14x交于A(−4,m)，与直线AB另一交点为B，直线AB与两坐标轴分别交于C，D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，当BF=32时，比较△ACE与△BDF面积的大小．
22.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AE⊥BC于E，BA平分∠EBD．
(1)AE是否为⊙O的切线，请证明你的判断；
(2)若AB= 5BE，求ABBC的值．
23.(本小题10分)
一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利.市场调研认为，若每件降价1元，则平均每天就可多售出2件．
(1)若活动期间平均每天的销售量为38件，求每件春装盈利是多少元？
(2)要想平均每天销售这款春装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？
(3)平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？
24.(本小题10分)
如图，矩形ABCD具有下列特征：在边AB上取点E，连接DE，CE，当DE平分∠ADC时，将△BCE沿CE翻折，点B恰在线段DE上．
(1)这样的矩形，长AB与宽AD之比为______；
(2)如图2，连接AF并延长交CE于G，判断△EFG的形状并证明；
(3)在图2中，有无与△AEG相似的三角形？并证明你的结论．
25.(本小题12分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的动点，过点P作PE/​/x轴交直线AC于点E，作PF/​/y轴交直线AC于点F，求E，F两点间距离的最大值；
(3)如图2，连接BC，在抛物线上求出点Q，使∠QAC+∠OCB=45°．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵(−3)2=9，
∴(−3)2的相反数为−9，
故选：B．
先计算(−3)2，再根据相反数的定义可得．
本题主要考查乘方运算和相反数，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方的定义和相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A、a6÷a3=a3，故A不符合题意；
B、(−a+b)(−a−b)=a2−b2，故B不符合题意；
C、−a2b2⋅ab3=−a3b5，故C不符合题意；
D、(−3a3b2)2=9a6b4，故D符合题意；
故选：D．
利用平方差公式，单项式乘单项式的法则，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：一张矩形纸片，截下一个三角形后，剩下部分的形状可能有五边形，四边形，等腰三角形，
但不能是等边三角形，
故选：B．
根据矩形的性质和截取的图形形状判断即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和截取的图形形状解答．
4.【答案】D
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=AE=BC=CD=DE，∠ABC=∠BAE=∠AED=(5−2)×180°5=108°，
∴∠ABE=∠AEB=180°−108°2=36°，即∠3=36°，
∴∠4=108°−∠3=72°，
∴∠4=2∠3，
因此②不符合题意；
∵∠4=72°，∠D=108°，
∴∠4+∠D=180°，
∴BE/​/CD，
∵AF⊥CD，
∴AF⊥BE，
因此③不符合题意；
∵AB=AE，AF⊥BE，
∴∠1=∠2，
因此①不符合题意；
在Rt△ABG中，∠ABG=36°，∠1=54°，∠AGB=90°，
∴BG≠AB，
即BG≠CD，
因此④符合题意．
故选：D．
根据正五边形的性质以及等腰三角形的性质逐项进行判断即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及等腰三角形的性质和判定是正确解答的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由2x+3>0得：x>−1.5，
由x−2 3<0得：x<2 3，
则不等式组的解集为−1.5∴不等式组的整数解为−1、0、1、2、3，
故选：C．
分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由题意知，4+5+6+7+a=5×5，
解得a=3，
所以这组数据为3、4、5、6、7，
则这组数据的方差为15×[(3−5)2+(4−5)2+(5−5)2+(6−5)2+(7−5)2]=2，
故选：D．
先根据算术平均数的定义列式求出a的值，再依据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握方差和算术平均数的定义．
7.【答案】A
【解析】解：由抛物线y=x2+2x+3的对称轴为x=−1，
得A(a,m)，B(b,m)关于x=−1对称，
故a+b=−1×2=−2，
由P(a+b,n)是抛物线y=x2+2x+3上的点，
得n=(−2)2+2×(−2)+3=3．
故选：A．
由抛物线y=x2+2x+3的对称轴为x=−1，得A(a,m)，B(b,m)关于x=−1对称，故a+b=−1×2=−2，由P(a+b,n)是抛物线y=x2+2x+3上的点，得n=(−2)2+2×(−2)+3=3．
本题主要考查了二次函数知识，解题关键是利用二次函数图象的对称性．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接OB、OD，
∵四边形ABCD为⊙O内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BCD=5∠BAD，
∴∠BAD=30°，
由圆周角定理得：∠BOD=2∠BAD=60°，
∵OB=OD，
∴△BOD为等边三角形，
∴OB=BD= 3，
当AB为⊙O的直径时，AB最大，最大值为2 3，
故选：C．
连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠BAD，根据圆周角定理求出∠BOD，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：设甲计划完成此项工作的天数是x天，
由题意得：x−2x+x−2−2x=1，
解得：x=6，
经检验，x=6是原分式方程的解，且符合题意，
即甲计划完成此项工作的天数是6天，
故选：A．
设甲计划完成此项工作的天数是x天，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，结果提前两天完成任务，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：过点G作GM⊥AB于M，作GN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∵GM⊥AB，GN⊥AD，
∴∠FMG=∠DNG=90°，
∴四边形AMGN是矩形，
∴MG=AN，AM=NG，∠A=∠FMG，
∵线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，
∴EF=FG，∠EFG=90°，
∴∠EFA+∠GFM=90°，
∵∠GFM+FGM=90°，
∴∠EFA=∠FGM，
在△AEF和△MFC中，
∠A=∠FMC∠EFA=∠FGMEF=FG，
∴△AEF≌△MFG(AAS)，
∴AE=MF，AF=MG，
∵AE=1，
∴MF=1，
设AF=x(0≤x≤4)，
则MG=x，AM=x+1，AN=MG=x，
∴NG=x+1，
∵AB=4，
∴DN=4−x，
∴DG= DN2+NG2= (4−x)2+( x+1)2= 2( x−32)2+252，
∴当x=32时，DG取最小值，其最小值为 252=5 22，
故选：C．
过点G作GM⊥AB于M，作GN⊥AD于N，根据AAS证△AEF≌△MFG，设AF=x，则NG=x+1，DN=4−x，根据勾股定理得出DG的表达式，求最小值即可．
本题主要考查图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练应用勾股定理得出DG关于x的代数式并求出最值是解题的关键．
11.【答案】<
【解析】解：∵1< 2<112，
∴0< 2−1<12，
故答案为：<．
通过对无理数 2−1进行大小的估算进行比较、求解．
此题考查了对无理数进行大小比较的能力，关键是能准确并算术平方根知识进行估算、比较．
12.【答案】13
【解析】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中组成的两位数是3的倍数的结果有：12，21，共2种，
∴组成的两位数是3的倍数的概率为26=13．
故答案为：13．
列表可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是3的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13.【答案】(−1,4)
【解析】解：分别过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
AC=AB，∠CAB=90°，
∴∠CAN+∠BAM=∠CAN+∠C=90°，
∴∠C=∠BAM．
在△CAN和△ABM中，
∠C=∠BAM∠CNA=∠AMBAC=AB，
∴△CAN≌△ABM(AAS)，
∴AN=BM，CN=AM．
又∵A(−3,0)，B(1,−2)，
∴AN=BM=2，CN=AM=4，
∴NO=3−2=1，
∴点C的坐标为(−1,4)．
故答案为：(−1,4)．
分别过点C和点B作x轴的垂线，利用全等三角形的性质即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化−旋转，根据所给旋转方式构造出全等三角形是解题的关键．
14.【答案】−3
【解析】解：∵p是方程的一个实数根，
∴p2−2p+n−1=0，
即p2−2p=1−n．
∵(p2−2p+3)(n+4)=7，
∴(1−n+3)(n+4)=7，
即n2=9，
解得n=3或n=−3，
又由关于x的一元二次方程有实数根，
∴△≥0，即(−2)2−4(n−1)≥0，
解得n≤2，
∴n=−3．
由方程根的定义，可用p表示出x，代入已知等式可得到关于n的方程；再根据判别式，则可求得n的取值范围．
本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
15.【答案】∠HAG=∠HAD
【解析】解：∵BC=4CE=4，AG=2.4，
∴CE=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//DA，BC=DA=4，
∵E，F在BC的延长线上，
∴CE//DA，
∴△ECG∽△ADG，
∴EGAG=CEDA=14，
∴EG=14AG=14×2.4=0.6，
∴AE=AG+EG=2.4+0.6=3，
∴CF//DA，AH=FH，
∴△FCH∽△ADH，
∴CFDA=FHAH=1，
∴CF=DA=4，
∴FE=CF−CE=4−1=3，
∴FE=AE，
∴∠HAG=∠F，
∵∠F=∠HAD，
∴∠HAG=∠HAD，
故答案为：∠HAG=∠HAD．
由BC=4CE=4，得CE=1，由平行四边形的性质得BC/​/DA，BC=DA=4，可证明△ECG∽△ADG，得EGAG=CEDA=14，则EG=14AG=0.6，所以AE=AG+EG=3，再证明CF=DA=4，则FE=CF−CE=3，所以FE=AE，则∠HAG=∠F=∠HAD，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明△ECG∽△ADG是解题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴b<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0
∴abc<0，所以①正确；
∵图象与x轴交于两点(x1,0)，(2,0)，其中0∴2+02<−b2a<2+12，
∴1<−b2a<32，
当−b2a<32时，b>−3a，
∵当x=2时，y=4a+2b+c=0，
∴b=−2a−12c，
∴−2a−12c>−3a，
∴2a−c>0，故②正确；
当x=12时，y=14a+12b+c，
给14a+12b+c乘以4，即可化为a+2b+4c，
∵抛物线的对称轴在1<−b2a<32，
∴x=12关于对称轴对称点的横坐标在32和52之间，
由图象可知x在32和2之间y为负值，在2和52之间y为正值，
∴a+2b+4c与0的关系不能确定，故③错误；
∵(2a+b)2>0，
∴b2+4a2+4ab>0，
∴4a2+b2>−4ab，
∵a>0，b<0，
∴ab<0，
∴4a2+b2ab<−4，
即4ab+ba+4<0，故④正确．
故答案为：①②④．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
17.【答案】解：(2a2+2aa2−1−a2−aa2+1−2a)÷2aa+1
=[2a(a+1)(a+1)(a−1)−a(a−1)(a−1)2]⋅a+12a
=(2aa−1−aa−1)⋅a+12a
=aa−1⋅a+12a
=a+12a−2．
【解析】先化简括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠DEC，∠B=∠AED，
∴∠BAE=∠DEC，
∵∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
在△ABE与△ECD中，
∠BAE=∠DEC∠B=∠CAE=DE，
∴△ABE≌△ECD(AAS)，
∴BE=CD，AB=EC，
∴BC=BE+EC=AB+CD．
【解析】根据三角形的外角性质得出∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠DEC，进而利用AAS证明△ABE与△ECD全等，进而利用全等三角形的性质解答．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS证明△ABE与△ECD全等解答．
19.【答案】162 162 175 108
【解析】解：(1)将这组数据按照从小到大的顺序排列：
160，161，162，162，163，164，
排在第3和第4的为162和162，
∴该组数据的中位数是(162+162)÷2=162；
该组数据中出现次数最多的为162，
∴该组数据的众数为162．
故答案为：162，162；
(2)全校的男生人数为100÷20%=500(人)，
∴选择B项目的男生共有500×35%=175(人)．
扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为360°×(1−20%−35%−15%)=108°．
故答案为：175，108；
(3)不低于175(个/min)的组中有四名学生，分别记为甲、乙、丙、丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为212=16．
(1)根据中位数和众数的定义可得答案．
(2)先用选择A项目的男生人数除以扇形统计图中A的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中B的百分比可得选择B项目的男生人数；用360°乘以扇形统计图中D得百分比即可．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数(率)分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵关于x的方程x2+2mx+m2+m=0有两个不相等实数根x1，x2，
∴Δ=(2m)2−4(m2+m)=−4m>0，
∴m<0；
(2)∵x1+x2=−2m，x1⋅x2=m2+m，x12x2+x1x22+4m=0，
∴x1x2(x1+x2)+4m=0，
∴(m2+m)(−2m)+4m=0，
∴m(m2+m−2)=0，
解得：m=0或1或m=−2，
∵m<0，
∴m=−2．
【解析】(1)由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系找出x1+x2=−2m，x1⋅x2=m2+m，结合x12x2+x1x22+4m=0，即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，结合(1)的结论即可得出m的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据方程解的情况结合根的判别式找出关于m的不等式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵A(−4,m)在直线y=−14x图象上，
∴m=−14×(−4)=1，
∴A(−4,1)，
∵点A(−4,1)在反比例函数图象上，
∴k=−4×1=−4．
∴反比例函数解析式为：y=−4x；
(2)BF=32时，B点的横坐标为−32，
在反比例函数y=−4x中，当x=−32时，y=83，
∴B(−32,83)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，代入点A(−4,1)，B(−32,83)坐标得：
−4k+b=1−32k+b=83，解得k=23b=113，
∴直线AB解析式为：y=23x+113，
∴C(−112,0)，D(0,113)，
∵S△ACE=12×CE×AE=12×(−4+112)×1=34，S△BDF=12×BF⋅DF=12×32×(113−83)=34．
故S△ACE=S△BDF．
【解析】(1)待定系数法求出反比例函数解析式即可；
(2)先求出直线AB解析式，继而求出点C、D坐标，根据面积计算比较即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
22.【答案】解：(1)AE是⊙O的切线，
证明：连接OA，如图所示，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵BA平分∠DBE，
∴∠EBA=∠DBA，
∴∠EBA=∠OAB，
∴OA//BE，
∵AE⊥CE，
∴AE⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
(2)连接AC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵AE⊥BE，
∴∠E=90°，
∵∠ABE=∠ABD，
∴△ABE∽△DBA，
∴ABBE=BDAB= 5，
∴设AB=x，BD= 5x，
∴AD= BD2−AB2=2x，
∵∠ABE=ADC，∠ACD=∠ABD，ABE=∠ABD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AD=AC，
∴AD=AC，
连接AO并延长交CD于H，
∴AH⊥CD，CH=DH，
∴∠AHD=∠BAD=90°，
∴△ADH∽△DBA，
∴ADBD=DHAB，
∴2x 5x=HDx，
∴HD=2 55，
∴CD=2DH=4 55x，
∴BC= BD2−CD2= 5x2−165x2=3 55x，
∴ABBC=x3 55x= 53．
【解析】(1)连接OA，如图所示，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，根据角平分线的定义得到∠EBA=∠DBA，根据切线的判定定理得到AE是⊙O的切线；
(2)连接AC，根据圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=90°，根据相似三角形的性质得到ABBE=BDAB= 5，设AB=x，BD= 5x，连接AO并延长交CD于H，根据相似三角形的性质得到CD=2DH=4 55x，根据勾股定理得到BC= BD2−CD2=3 55x，于是得到ABBC=x3 55x= 53．
此题是圆的综合题，考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、切线的判定、解直角三角形等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、切线的判定、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意得：40−(38−20)÷2
=40−18÷2
=40−9
=31(元)．
答：每件新款春装盈利31元；
(2)设每件新款春装应降价x元，则每件盈利(40−x)元，平均每天可售出(20+2x)件，
根据题意得：(40−x)(20+2x)=1200，
整理得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
又∵要尽量减少库存，
∴x=20．
答：每件新款春装应降价20元；
(3)设每件新款春装应降价x元，每天销售这款春装盈利y元，
根据题意得，y=(40−x)(20+2x)=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250，
答：平均每天销售这款春装盈利的最大值是1250元．
【解析】(1)利用每件新款春装的销售利润=40−增加的销售量÷2，即可求出结论；
(2)设每件新款春装应降价x元，则每件盈利(40−x)元，平均每天可售出(20+2x)件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论；
(3)设每件新款春装应降价x元，每天销售这款春装盈利y元，根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24.【答案】 2：1
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠ADC=∠B=90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDF=45°，
∵将△BCE沿CE翻折，点B恰在线段DE上，
∴CF=BC=AD，∠CFE=∠B=90°，
∴∠CFD=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=AB= 22CF= 22BC，
∴长AB与宽AD之比为 2：1；
故答案为： 2：1；
(2)△EFG是等腰三角形；
证明：由(1)知，△CDF是等腰直角三角形，
∴DF=CF=AD=BC，
∵∠ADF=45°，
∴∠DAF=∠DFA=67.5°，
∴∠GFE=AFD=67.5°，
∵AB=CD，
∴∠AED=∠CDE=45°，
∵将△BCE沿CE翻折，点B恰在线段DE上，
∴∠CEF=∠CEB=12×(180°−45°)=67.5°，
∴∠GFE=∠GEF，
∴△EFG是等腰三角形；
(3)△AFE∽△AEG，
证明：由(2)知，∠AFD=∠CEB=67.5°，
∴∠AFE=∠CEB=112.5°，
∵∠EAF=∠GAE，
∴△AFE∽△AEG．
(1)根据矩形的性质得到AB=CD，AD=BC，∠A=∠ADC=∠B=90°，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDF=45°，根据折叠的性质得到CF=BC=AD，∠CFE=∠B=90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
(2)由(1)知，△CDF是等腰直角三角形，得到DF=CF=AD=BC，根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠DFA=67.5°，求得∠GFE=AFD=67.5°，根据折叠的性质得到∠CEF=∠CEB=12×(180°−45°)=67.5°，根据等腰三角形的判定定理得到结论；
(3)根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定和等腰三角形的判定定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)，
则y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)=ax2+bx+3，
则a=−1，
则抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3；
(2)由抛物线的表达式知，点C(0,3)，
则△CAO为等腰直角三角形，则∠ACO=45°=∠PFE，
则EF= 2PF，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=x+3，
设点P的坐标为：(x,−x2−2x+3)，则点F(x,x+3)，
则PF=(−x2−2x+3)−(x+3)=−x2−3x，
∵−1<0，
故PF有最大值，当x=−32时，PF的最大值为：94，
则EF的最大值为：9 24；
(3)当点Q在AC下方时，如下图，
设OQ交y轴于点H，

∵∠QAC+∠QAB=45°，∠QAC+∠OCB=45°，
∴∠OCB=∠QAB，
∴tan∠OCB=tan∠QAB，
即OBCO=OHAO，即13=OH3，
则OH=1，
则直线AH的表达式为：y=13(x+3)，
联立上式和抛物线的表达式得：−x2−2x+3=13(x+3)，
解得：x=−3(舍去)或23，
则点Q(23,119)；
当点Q在AC上方时，
同理可得，直线AQ的表达式为：y=3(x+3)，
联立上式和抛物线的表达式得：−x2−2x+3=3(x+3)，
解得：x=−3(舍去)或−2，
则点Q(−2,3)；
综上，点Q的坐标为(23,119)或(−2,3)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)证明EF= 2PF，由PF=(−x2−2x+3)−(x+3)=−x2−3x，即可求解；
(3)当点Q在AC下方时，证明∠OCB=∠QAB，则tan∠OCB=tan∠QAB，得到OH=1，即可求解；当点Q在AC上方时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、最值的确定等，分类求解是解题的关键．1
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12
13
2
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23
3
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