山西省部分学校2023-2024学年高三年级阶段性测试(定位)数学试题（原卷版+解析版）

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数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，，则=（ ）
A. B.
C. D.
2. 的展开式中常数项为（ ）
A. 112B. 56C. 28D. 16
3. 已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（ ）
A. 丁辰年B. 癸未年C. 甲午年D. 甲申年
5. 将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为，外弧长为，外弧半径与内弧半径之差为，若该圆台的体积为，则（ ）
A 4B. 3C. 2D. 1
6. 设非零复数和在复平面内对应的向量分别为和，其中O为原点，若为纯虚数，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知均是锐角，设的最大值为，则=（ ）
A B. C. 1D.
8. 已知实数满足，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，若（O为坐标原点），则（ ）
A. B.
C. D.
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 不等式解集为
11. 在四棱锥中，已知，，且，则（ ）
A. 四棱锥的体积的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 四棱锥外接球的表面积的最小值为8π
D. 与平面所成角的正弦值可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆C经过点，且有一条直径的两个端点分别在x，y轴上，则圆C的面积的最小值为______．
13. 甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为，乙每次射门射进的概率均为，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为______．
14. 已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线l经过点且交于两点（点在第一象限），若的面积是的面积的3倍，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的列联表：
（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；
（2）若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：．
16. 如图，是以为直径的圆上的点，平面分别是线段上的点，且满足，．
（1）求证：；
（2）若二面角的正弦值为，求的值．
17. 已知双曲线C：的渐近线与圆的一个交点为．
（1）求C的方程．
（2）过点A作两条相互垂直直线和，且与C的左、右支分别交于B，D两点，与C的左、右支分别交于E，F两点，判断能否成立．若能，求该式成立时直线的方程；若不能，说明理由．
18. 已知函数，．
（1）若，，讨论在区间上的单调性；
（2）设t为常数，若”’是“在上具有单调性”的充分条件，求t的最小值．
19. 对于数列，若存在，使得对任意，总有，则称为“有界变差数列”．
（1）若各项均为正数的等比数列为有界变差数列，求其公比q的取值范围；
（2）若数列满足，且，证明：是有界变差数列；
（3）若，均为有界变差数列，且，证明：是有界变差数列．
更喜欢正装
更喜欢运动装
家长
120
80
学生
160
40
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828