2024年新疆高考数学第二次适应性试卷（含解析）

这是一份2024年新疆高考数学第二次适应性试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z+z−=4，且z−z−=2i，则|z|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
2.已知集合P={x|y= x+1}，Q={y|y=x2}，则下列选项中正确的是( )
A. P∪Q=RB. Q⊆PC. P∩Q=⌀D. P⊆Q
3.若函数f(x)=ax−1x−1的图象关于点(1,2)对称，则a=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4.已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx+m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为( )
A. ±2B. ± 2C. ± 3D. ±3
5.设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )
A. 若a1+a2>0，则a2+a3>0B. 若a1+a3<0，则a1+a2<0
C. 若0 a1a3D. 若a1<0，则(a2−a1)(a4−a1)<0
6.过点(1,4)且与曲线f(x)=x3+x+2相切的直线方程为( )
A. 4x−y=0B. 7x−4y+9=0
C. 4x−y=0或7x−4y+9=0D. 4x−y=0或4x−7y+24=0
7.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且tanα+tanβ=1csβ，则( )
A. 3α−β=π2B. 2α−β=π2C. 3α+β=π2D. 2α+β=π2
8.已知椭圆x29+y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为△MF1F2的内心和重心，则IG⋅F1F2=( )
A. 0B. 1C. 2 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若样本数据x1，x2，⋯，x6的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，⋯，2x6−1的方差为8
B. 若随机变量ξ～N(1,σ2)，P(ξ≤−2)=0.21，则p(ξ≥4)=0.79
C. 已知经验回归方程为y =b x+1.8，且x−=2，y−=20，则b =9.1
D. 根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到χ2=9.632，依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验(x0.001=10.828)，可推断“X与Y有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.001
10.α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的命题是( )
A. 如果m⊥n，m⊥α，n/​/β，那么α⊥β
B. 如果m⊥α，n/​/α，那么m⊥n
C. 如果α/​/β，m⊂α，那么m//β
D. 如果m/​/n，α/​/β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)+f(x)=0，若x∈[0,2]时，f(x)= 2x−x2，函数g(x)=−g(4−x).若y=f(x)与y=g(x)恰有2024个交点(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x2024,y2024)，则下列说法正确的是( )
A. f(2024)=1
B. 函数f(x)的图象关于直线x=1对称
C. i=12024(xi+yi)=4048
D. 当实数k∈(− 66,− 510)∪( 510, 66)时，关于x的方程|f(x)|+f(|x|)=kx恰有四个不同的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(ma−b)⊥(a+b)，则实数m= ______．
13.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中2名男生和4名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名男生相邻且农场主站在正中间的排列数为______.(用数字作答)
14.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体.如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB/​/CD/​/EF，AB=6，CD=8，EF=10，EF到平面ABCD的距离为5，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积V= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足ADAB=CDBC．
(1)证明：∠BAC+∠DAC=π；
(2)若AB=2，AC=1，BC= 7，求AD的长度．
16.(本小题15分)
某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%．
(1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为80%，求p的值．
17.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，C上任意一点到F的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为 63．
(1)求C的方程；
(2)设过点R(1,13)的直线l与C交于M，N两点，若动点P满足PM=λMR，PN=−λNR，动点Q在椭圆C上，求|PQ|的最小值．
18.(本小题17分)
在圆柱OO1中，AB是圆O的一条直径，CD是圆柱OO1的母线，其中点C与A，B不重合，M，N是线段BD的两个三等分点，BM=MN=ND，AB=2，CD=3．
(1)若平面COM和平面CAN的交线为l，证明：l/​/平面ABD；
(2)设平面COM、平面CAN和底面圆O所成的锐二面角分别为α和β，平面ABD和底面圆O所成的锐二面角为γ，若α=β，求tanγ的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−a(x−1)ex，其中a∈R．
(1)讨论f(x)的极值点个数，并说明理由；
(2)若01，求证：x0+2lnx0>x1．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设z=a+bi(a,b都是实数)，
则z+z−=4=a+bi+a−bi=2a，且z−z−=2i=a+bi−(a−bi)=2bi，
所以a=2，b=1，
则|z|= 22+12= 5．
故选：D．
由已知条件可先求出复数z，然后结合模长公式即可求解．
本题主要考查了复数的运算，复数的模长公式的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意得P={x|x⩾−1}，Q={y|y⩾0}，所以P∪Q={x|x⩾−1}，P∩Q={y|y⩾0}．
故选：B．
分别求出集合P和集合Q，可得结果．
本题主要考查集合的交集，并集和包含关系，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：f(x)=a(x−1)+a−1x−1=a+a−1x−1，
因为函数关于(1,2)点对称，所以f(x)+f(2−x)=4，
所以a+a−1x−1+a+a−12−x−1=4，
可得a=2．
故选：D．
由函数关于(1,2)对称，可得a的值．
本题考查函数关于点的对称的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查了直线被圆所截得的弦长问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
将直线被圆C所截的弦长的最小值，转化为圆心到直线l的距离的最大值，结合点到直线的距离公式，得到等式关系，求解即可得到答案．
【解答】
解：圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx+m，
直线被圆C所截的弦长的最小值为2，设弦长为a，
则圆心C到直线l的距离d= 4−(a2)2= 4−a24，
当弦长取得最小值2时，则d有最大值 4−1= 3，
又d=|m| 1+k2，因为k2≥0，则 1+k2≥1，
故d取最大值时|m|= 3，解得m=± 3．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，举一反例a1=2，a2=−1，a3=−4，a1+a2>0，而a2+a3<0，A错误，
对于B，举同样反例a1=2.a2=−1，a3=−4，a1+a3<0，而a1+a2>0，B错误，
对于C，{an}是等差数列，若00，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，
由于a22−a1a5=(a1+a)2−a1(a1+2a)=a12+2a1d+d2−a12−2a1d=d2>0，则a12>a1a3⇒a1> a1a3，C正确；
对于D，(a2−a1)(a4−a1)=d⋅3d=3d2>0，D错误．
故选：C．
对于选项A，B可以举反例判断，利用作差法判断C，由等差数列的通项展开判断D．
本题考查了等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设过点P(1,4)的切线与曲线y=f(x)相切于点A(x0,x03+x0+2)，
由f(x)=x3+x+2，得f′(x)=3x02+1，
∴过切点的切线方程为y−4=(3x02+1)(x−1)，
将切点坐标A(x0,x03+x0+2)代入上式得，x03+x0+2−4=(3x02+1)(x0−1)，
整理得2x03−3x02+1=0，解得x0=1或x0=−12，
当x0=1时，f′(x0)=3x02+1=4，切线方程为4x−y=0，
当x0=−12时，f′(x0)=3x02+1=74，切线方程为7x−4y+9=0．
故选：C．
设过点P(1,4)的切线与曲线y=f(x)相切于点A(x0,x03+x0+2)，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切点坐标代入切线方程求出x0，即可得解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：因为tanα+tanβ=1csβ，
所以sinαcsα+sinβcsβ=sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ=sin(α+β)csαcsβ=1csβ，
所以sin(α+β)=csα，
因为α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，所以α+β∈(0,π)，
又因为sin(α+β)=csα=sin(π2±α)，所以α+β=π2±α或α+β+π2±α=π，
即2α+β=π2或β=π2(舍)，故2α+β=π2．
故选：D．
由商数关系和和差角公式计算可得sin(α+β)=csα，由诱导公式结合角的范围即可求得．
本题考查商数关系和和差角公式，诱导公式等，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设M(m,n)，n>0，内心I(s,t)，t>0，
由椭圆x29+y28=1可得a=3，c=1，F1(−1,0)，F2(1,0)，e=13，
由切线的性质和椭圆的焦半径公式可得|MF1|−|MF2|=3+13m−(3−13m)=23m=(s+1)−(1−s)，
即有s=13m，
由S△MF1F2=12n⋅|F1F2|=12t(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)，
即为2n=t(6+2)，即t=14n，
可得I(13m,14n)，
又G(13m,13n)，则IG=(0,112n)，F1F2=(2,0)，
可得IG⋅F1F2=0+0=0．
故选：A．
由椭圆的定义和焦半径公式、切线的性质和三角形重心的坐标、向量的数量积的坐标表示，计算可得所求值．
本题考查椭圆的定义、方程和性质，以及切线的性质和三角形重心的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：若样本数据x1，x2，⋯，x6的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，⋯，2x6−1的方差为22×2=8，故A正确；
若随机变量ξ～N(1,σ2)，P(ξ≤−2)=0.21，则p(ξ≥4)=P(ξ≤−2)=0.21，故B错误；
已知经验回归方程为y =b x+1.8，且x−=2，y−=20，则b =20−1.82=9.1，故C正确；
根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到χ2=9.632<10.82，
依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验(x0.001=10.828)，可推断“X与Y有关联”，此推断犯错误的概率大于0.001，故D错误．
故选：AC．
由方差公式判断A；利用正态分布求概率判定B；把样本点的中心的坐标代入线性回归方程求解b​后判定C；利用独立性检验判断D．
本题考查概率统计及其有关概念，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：如果m⊥n，m⊥α，n/​/β，不能得出α⊥β，故A错误；
如果n/​/α，则存在直线l⊂α，使n/​/l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n.故B正确；
如果α/​/β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m/​/β.故C正确
如果m/​/n，α/​/β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故D正确；
故选：BCD．
根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．
11.【答案】BCD
【解析】解：因为函数的定义域为R，f(x+2)+f(x)=0，
所以f(x+2)=−f(x)，
所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以函数y=f(x)的周期为4，
所以f(2024)=f(506×4+0)=f(0)= 2×0−02=0，故A错误；
又因为函数y=f(x)是R上的奇函数，
所以f(x+2)=−f(x)=f(−x)，
所以f(1+x)=f(1−x)，
即函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，故B正确；
又因为g(x)=−g(4−x)，
所以g(x)的图象关于(2,0)对称，
又因为f(x+2)=−f(x)，
用2−x代换上式中的x，则有f(4−x)=−f(2−x)，
又因为f(1+x)=f(1−x)，所以f(x)=f(2−x)，
所以f(4−x)=−f(x)，
所以函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称，
所以函数y=f(x)与y=g(x)的交点也关于(2,0)对称，
所以i=12024(xi+yi)=i=12024xi+i=12024yi=20242×4+20242×0=4048，故C正确；
令h(x)=|f(x)|+f(|x|)，x∈R，
则h(−x)=|f(−x)|+f(|−x|)=|−f(x)|+f(|x|)=|f(x)|+f(|x|)=h(x)，
所以h(x)为R上的偶函数，
因为当x∈[0,2]时，f(x)= 2x−x2，f(x)=−f(x+2)，
用x−2替换x，得f(x)=−f(x−2)，
所以当x∈[2,4]时，x−2∈[2,4]，
所以f(x)=−f(x−2)=− 2(x−2)−(x−2)2=− −x2+6x−8，
作出函数y=f(x)在[0,4]上的图象如图所示：
又因为f(x)的周期为4，
所以将函数在[0,4]上图象进行左右平移即可得函数在R上的图象，
又因为h(x)=|f(x)|+f(|x|)=2f(x),x∈[4k,4k+2]0,x∈(4k+2,4k+4],k∈Z,x∈R，为偶函数，
作出y=h(x)的图象，如图所示：
由此可得当k∈(− 66,− 510)∪( 510, 66)时，关于x的方程|f(x)|+f(|x|)=kx恰有四个不同的实数根，故D正确．
故选：BCD．
由题意可得函数y=f(x)的周期为4，从而得f(2024)=f(506×4+0)=f(0)=0，即可判断A；
结合函数为R上奇函数及，可得f(x+2)=−f(x)=f(−x)，可得f(1+x)=f(1−x)，从而判断B；
根据题意求得函数y=f(x)及y=g(x)都关于(2,0)对称，即可判断C；
令h(x)=|f(x)|+f(|x|)，x∈R，可得y=h(x)为R上的偶函数，作出函数h(x)的图象，结合图象即可判断D．
本题考查了奇函数的性质、函数的对称性、周期性，考查了转化思想及数形结合思想，属于难题．
12.【答案】85
【解析】解：向量a=(1,3)，b=(3,4)，
则ma−b=(m,3m)−(3,4)=(m−3,3m−4)，a+b=(4,7)，
∵(ma−b)⊥(a+b)，
∴(m−3)×4+(3m−4)×7=0，解得m=85．
故答案为：85．
根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题．
13.【答案】192
【解析】解：2名男生相邻且农场主站在中间可分三步完成：
第一步：相邻男生排在一起有A22=2种；
第二步：相邻男生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；
第三步：4名女生排在剩下的位置有A44=24种；
因此2名男生相邻且农场主站在中间共有2×4×24=192种站法．
故答案为：192．
农场主站在中间，先考虑男生所站位置，采用捆绑法，再考虑女生的位置，利用排列知识进行求解．
本题主要考查排列组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】200
【解析】解：如图，连接DB，DF，AF，
设四棱锥F−ABCD的体积为V0，
则V0=13×12×(6+8)×10×5=3503，
设三棱锥D−AEF的体积为V2，三棱锥D−ABF的体积为V1，
则V2=106V1=106×66+8V0=57V0=57×3503=2503，
∴这个羡除的体积V=V2+V0=2503+3503=200．
故答案为：200．
连接DB，DF，AF，根据锥体的体积公式，转化锥体的底面与顶点，即可求解．
本题考查多面体的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
15.【答案】解：(1)证明：在△ABC中，由正弦定理得ABBC=sinCsin∠BAC，
在△ADC中，由正弦定理得ADCD=sinCsin∠DAC，
又ADAB=CDBC，可得ADCD=ABBC，
可得sinCsin∠DAC=sinCsin∠BAC，
可得sin∠BAC=sin∠DAC，
又因为∠BAC>∠DAC，
所以∠BAC+∠DAC=π，得证；
(2)因为AB=2，AC=1，BC= 7，
所以由余弦定理可得cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=4+1−72×2×1=−12，
又∠BAC为三角形的内角，
可得∠BAC=120°，
由(1)知∠DAC=60°，
故∠DAB=∠BAC−∠DAC=60°，
因为S△ABC=S△ABD+S△ADC，
所以12⋅AB⋅AC⋅sin120°=12⋅AB⋅AD⋅sin60°+12⋅AD⋅AC⋅sin60°，
故AD=23．
【解析】(1)由已知利用正弦定理可求sin∠BAC=sin∠DAC，由∠BAC>∠DAC，可得∠BAC+∠DAC=π，即可得证；
(2)利用余弦定理可求cs∠BAC，进而可求∠BAC=120°，∠DAB=60°，利用三角形的面积公式即可求解AD的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由题意可得ξ的所有可能取值为2，3，4，
P(ξ=2)=C52C22C74=1035=27，
P(ξ=3)=C53C21C74=2035=47，
P(ξ=4)=C54C20C74=535=17，
所以ξ的分布列为：
数学期望E(ξ)=2×27+3×47+4×17=207．
(2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，则“输入的问题有语法错误”为事件A−，记“回答被采纳”为事件B，
由已知得，P(B)=0.8，P(B|A)=0.9，P(B|A−)=0.5，P(A−)=p，P(A)=1−p，
因为P(B)=P(AB)+P(A−B)
=P(A)⋅P(B|A)+P(A−)⋅P(B|A−)
=0.9(1−p)+0.5p=0.9−0.4p，
所以0.9−0.4p=0.8，解得p=0.25．
【解析】(1)ξ的所有取值为2，3，4，求出对应的概率，可得分布列及数学期望；
(2)由全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合已知可得关于p的方程，解方程即可得解．
本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设E(x,y)，F(−c,0)，
由椭圆的性质可得：|EF|max⋅|EF|min=a2−c2=1，即b2=1，
又椭圆的离心率e=ca= 63，所以c= 63a，
则a2−c2=a2−23a2=13a2=1，
解得a2=3，
故C的方程为：x23+y2=1；
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(x0,y0)，因为PM=λMR，
所以(x1−x0,y1−y0)=λ(1−x1,13−y1)，
若λ=−1，则PM=−MR，即P与R重合，与PN=NR矛盾，
若λ=1，则PN=−NR，即P与R重合，与PM=MR矛盾，
故λ≠±1，于是x1=λ+x01+λ,y1=13λ+y01+λ，
将点M(λ+x01+λ,13λ+y01+λ)代入x23+y2=1中，
化简得−5λ2+(6x0+6y0−18)λ+3x02+9y02−9=0，
同理可得，−5λ2−(6x0+6y0−18)λ+3x02+9y02−9=0，
故λ，−λ为方程−5x2+(6x0+6y0−18)x+3x02+9y02−9=0的两根，
由韦达定理可得λ+(−λ)=6x0+6y0−18=0，即x0+y0−3=0，
动点P在定直线l1：x+y−3=0上．
令直线l2：x+y−m=0(m>0)，当l2与T相切时，记l1，l2的距离为d，则|PQ|≥d，
联立x+y+m=0x23+y2=1，整理可得：4x2−6mx+3m2−3=0，
由Δ=(6m)2−16(3m2−3)=0，解得m=±2，又m>0，则m=2，
解得x=32，y=12，即切点为(32,12)，
所以直线l1，l2的距离为d=|3−2| 1+1= 22，
故|PQ|的最小值为 22．
【解析】(1)设C上点E，由椭圆的性质可得|EF|的最大值和最小值的表达式，由题意可得b的值，再由离心率的值，可得a，b的关系，进而求出a的值，即求出椭圆的方程；
(2)设动点P的坐标，由向量的关系，可得点P的坐标与M，N的坐标的关系，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由题意可得λ，−λ为方程−5x2+(6x0+6y0−18)x+3x02+9y02−9=0的两根，可得点P的轨迹方程，设过动点Q的直线与动点P的直线平行，与椭圆联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条平行线间的距离，即求出点Q到直线的距离的最值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：由已知易得M是BN的中点，O是BA的中点，
∴OM//AN，又∵AN⊆平面CAN，OM⊂平面CAN，∴OM/​/平面CAN，
又∵OM⊆平面COM，平面COM∩平面CAN=l，
由线面平行的性质定理可得，l/​/OM，
又∵OM⊂平面ABD，l⊂平面ABD，∴l/​/平面ABD．
(2)以O为坐标原点，OA方向为x轴，底面圆O所在平面内垂直于OA方向为y轴，OO1方向为z轴建立如图所示空间直角坐标系．

由对称性，不妨设∠AOC=θ(0<θ<π)，由题意得底面圆O的半径为1，
则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(−1,0,0)，C(csθ,sinθ,0)，
D(csθ,sinθ,3)，M(csθ−23,sinθ3,1)，N(2csθ−13,2sinθ3,2)，
由题意知底面圆O的一个法向量为n1=(0,0,1)，
OM=(csθ−23,sinθ3,1)，OC=(csθ,sinθ,0)，
设平面COM的一个法向量为n2=(x,y,z)，
则n2⋅OM=csθ−23x+sinθ3y+z=0n2⋅OC=xcsθ+ysinθ=0，令x=sinθ，解得n2=(sinθ,−csθ,2sinθ3)，
∴csα=|n1⋅n2||n1||n2|=23sinθ 1+49sin2θ，
AC=(csθ−1,sinθ,0)，AN=(2csθ−43,2sinθ3,2)，
设平面CAN的一个法向量为n3=(a,b,c)，
则n3⋅AN=2csθ−43a+2sinθ3b+2c=0n3⋅AC=a(csθ−1)+bsinθ=0，令a=sinθ，解得n3=(sinθ,1−csθ,sinθ3)，
∴csβ=|n1⋅n3||n1||n3|=sinθ3 2−2csθ+19sin2θ，
∵α、β∈(0,π2)，且α=β，
∴csα=csβ⇒23sinθ 1+49sin2θ=sinθ3 2−2csθ+19sin2θ⇒14+19sin2θ=2−2csθ+19sin2θ⇒csθ=78，
∴sinθ= 1−cs2θ= 158，
过点C作AB的垂线，垂足为E点，∵CD为圆柱的母线，∴CD⊥平面ABC，
又AB⊆平面ABC，∴CD⊥AB，∵CE∩CD=C，∴AB⊥平面CED，
∴AB⊥DE，∴∠DEC为平面ABD和底面圆O所成锐二面角的平面角．
∴tanγ=|CD||CE|=|CD|sinθ=8 155．
【解析】(1)推导出OM//AN，OM/​/平面CAN，由线面平行的性质定理可得l/​/OM，由此能证明l/​/平面ABD．
(2)以O为坐标原点，OA方向为x轴，底面圆O所在平面内垂直于OA方向为y轴，OO1方向为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
本题考查线面平行的判定与性质、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】(1)解：f′(x)=1x−axex=1−ax2exx，x>0，
①当a≤0时，1−ax2ex>0，从而f′(x)>0，
所以f(x)在(0,+∞)内单调递增，无极值点；
②当a>0时，令g(x)=1−ax2ex，
则由于g(x)在[0,+∞)上单调递减，g(0)=1>0，g(1 a)=1−e1 a<0，
所以存在唯一的x0∈(0,+∞)，使得g(x0)=0，
所以当x∈(0,x0)时，g(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(x0,+∞)时，g(x)<0，即f′(x)<0，
所以x0是f(x)的唯一极值点．
所以当a>0时，f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个极值点．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数f(x)只有一个极值点．
(2)证明：由题意得f(x1)=0f′(x0)=0，
即1−ax02ex0=0lnx1−a(x1−1)ex1=0，
消去参数a，可得，x02ex0lnx1=(x1−1)ex1，即lnx1=x1−1x02ex1−x0．
令φ(x)=lnx−x+1，其中x>0，则φ′(x)=1−xx，
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，
故x=1时，函数φ(x)取得唯一极小值，也是最小值φ(1)=0，
故φ(x)≤0，则lnx−x+1≤0，于是lnx≤x−1．
因为当x1>1时，lnx1x0>1，
故x1−1x02ex1−x0两边取对数，得lnex1−x0于是x1−x0<2lnx0，整理得x0+2lnx0>x1．
【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系对a进行分类讨论即可求解；
(2)由题意得f(x1)=0f′(x0)=0，代入可得，lnx1=x1−1x02ex1−x0，结合等式特点构造函数φ(x)=lnx−x+1，x>0，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了导数与函数在不等式证明中的应用，属于中档题．ξ
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