2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几何体中，主视图为三角形的是( )
A. B. C. D.
2.0.5的倒数是( )
A. 5B. 2C. −0.5D. −2
3.使分式5x−1有意义的x的取值范围是( )
A. x=1B. x≠1C. x>1D. x<1
4.下列计算正确的是( )
A. 2a2⋅a3=2a6B. (3a)2=9a2
C. (a+b)2=a2+b2D. 2a3+a2=3a5
5.若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,−3)，则它的图象也一定经过的点是( )
A. (−3,1)B. (−1,−3)C. (−3,−1)D. (1,3)
6.把一元二次方程1=2x−3x2化成ax2+bx+c=0(a>0)的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A. 3，−2，1B. −3，2，−1C. 3，−2，−1D. 3，2，−1
7.如图，小手盖住的点的坐标可能是( )
A. (−3,−3)B. (2,3)C. (2,−5)D. (−3,4)
8.如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(2,0)，“炮”位于点(−1,3).则将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点( )
A. (4,2)
B. (4,1)
C. (4,4)
D. (6,2)
9.在解方程x−13+x=3x+12时，去分母正确的是( )
A. 2x−1+6x=3(3x+1)B. 2(x−1)+6x=3(3x+1)
C. 2(x−1)+x=3(3x+1)D. (x−1)+x=3(x+1)
10.如图，正五边形ABCDE的边长为15，以AB为边作等边△ABF，以A为圆心，长度15为半径画弧EF，则图中阴影部分的面积为( )
A. 32π
B. 30π
C. 325π
D. 645π
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.甲、乙两位同学在五次数学测试中，平均成绩均为85分，方差分别为S甲2=0.7，S乙2=1.8，甲、乙两位同学中成绩较稳定的是______同学．
12.因式分解：m2−9= ．
13.如图，AD是△ABC的中线，AB=10，AC=8，若△ACD的周长为18，则△ABD周长为______．
14.分式方程3x+2=21−x的解为______．
15.二次函数______的图象向上平移5个单位长度后，再向右平移2个单位长度得到y=(x+2)2+3的图象．
16.如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠DBC=33°，则∠A等于______．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解不等式：4x+13<1．
18.(本小题4分)
已知：如图，△ABC中，AB=BC，∠B=120°．
(1)在AC上作一点M，使AM=BM(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AM=3，则CM= ______．
19.(本小题6分)
2022年10月12日我校推出四种校本课程：A.激光切割，B.数学游戏，C.击剑，D.Pythn趣味编程，学生可在长沙市中小学课后服务系统选择自己心仪的选修课程.为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)在平时的“Pythn趣味编程”的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加Pythn趣味编程大赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、乙两位同学的概率．
20.(本小题6分)
如图是从正面、左面、上面看到的几何体的形状图．
(1)该几何体的名称？
(2)根据图中所示数据求得这个几何体的表面积是多少？(保留π)
21.(本小题8分)
已知：P=(a+b)2−(a+b)(a−b)−2b2．
(1)化简P；
(2)若某圆锥的底面半径为a，母线长为b，且侧面积为2π，求P的值．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．
(1)求证：AM是⊙O的切线；
(2)当CE=3，csC=25时，求⊙O的半径．
23.(本小题12分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且MN是⊙O的切线．
(1)求证：∠MAC=∠ABC．
(2)设D是弧AC的中点，连接BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD=FG．
②若BC=3，AB=5，求AE的长．
24.(本小题12分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx−3经过点A(−3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．
①当点P在直线AC下方时，过点P作PE/​/x轴，交直线AC于点E，作PF/​/y轴.交直线AC于点F，求PE+PF的最大值；
②若∠PCB=3∠OCB，求m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、主视图是矩形，故此选项错误；
B、主视图是矩形，故此选项错误；
C、主视图是三角形，故此选项正确；
D、主视图是正方形，故此选项错误；
故选：C．
分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形．
2.【答案】B
【解析】解：∵0.5=12，12的倒数为2，
∴0.5的倒数是2，
故选：B．
根据倒数的定义求解即可．
本题考查了倒数的定义，熟知乘积是1的两数互为倒数是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意得：x−1≠0，解得：x≠1．
故选：B．
根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．
本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．
4.【答案】B
【解析】解：A、2a2⋅a3=2a5，故本选项不符合题意；
B、(3a)2=9a2，故本选项符合题意；
C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
D、2a3与a2不是同类项，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘单项式法则、积的乘方法则，逐项判断即可
本题主要考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘单项式法则、积的乘方法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,−3)，
∴k=1×(−3)=−3，
∵−3×1=−3，
−1×(−3)=3≠−3，
−3×(−1)=3≠−3，
1×3=3≠−3，
则它一定还经过(−3,1)，
故选：A．
先利用反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,−3)，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：一元二次方程1=2x−3x2的一般形式为3x2−2x+1=0，
3x2−2x+1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，−2，1，
故选：A．
把原方程化为一元二次方程的一般形式即可得到答案．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
7.【答案】C
【解析】解：如上图，小手盖住的点的坐标可能是(2,−5)，
故选：C．
根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征(+,−)，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据“帅”位于点(2,0)，“炮”位于点(−1,3)，建立平面直角坐标系如图所示，
∴“马”的坐标是(4,2)，
∴将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点(4,2+2)，即(4,4)．
故选：C．
根据“帅”位于点(2,0)，“炮”位于点(−1,3)，可得“马”的坐标，再根据平移的法则即可得答案．
本题考查了坐标确定位置与坐标与图形变化−平移，正确得出原点的位置建立坐标系和掌握平移法则是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：在解方程x−13+x=3x+12的两边同时乘以6，得2(x−1)+6x=3(3x+1)．
故选：B．
方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元一次方程中的去分母，熟练掌握最简公分母和等式的性质是关键．注意不要漏乘．
10.【答案】B
【解析】解：∵△ABF是等边三角形，
∴∠BAF=60°，
∵∠BAE=(5−2)×180°5=108°，
∴∠EAF=∠BAE−∠BAF=48°，
∴阴影部分的面积为48⋅π×152360=30π，
故选：B．
确定扇形的圆心角的度数后利用扇形面积计算公式求得阴影部分的面积即可．
本题考查了正多边形和圆、扇形的面积计算等知识，解题的关键是确定正五边形的内角的度数，难度不大．
11.【答案】甲
【解析】解：∵S甲2=0.7，S乙2=1.8，
∴S甲2∴成绩较稳定的是甲．
故答案为：甲．
根据方差的意义：方差越小，它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此求解可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12.【答案】(m+3)(m−3)
【解析】【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：m2−9=m2−32
=(m+3)(m−3)．
故答案为：(m+3)(m−3)．
13.【答案】20
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=10−8=2，
∵△ACD的周长为18，AB比AC长2，
∴△ABD周长为：18+2=20．
故答案为：20．
根据三角形中线的定义可得BD=CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
14.【答案】x=−15
【解析】解：原方程去分母得：3(1−x)=2(x+2)，
整理得：3−3x=2x+4，
解得：x=−15，
检验：当x=−15时，(x+2)(1−x)≠0，
故原方程的解为x=−15，
故答案为：x=−15．
利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
15.【答案】y=(x+4)2−2
【解析】解：y=(x+4)2−2的图象向上平移5个单位长度后，再向右平移2个单位长度得到y=(x+2)2+3的图象．
故答案为：y=(x+4)2−2．
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
本题考查了二次函数图象的平移，掌握抛物线的平移规律是解题关键．
16.【答案】57°
【解析】解：连结CD，如图，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
而∠DBC=33°，
∴∠BDC=90°−33°=57°，
∵BC=BC，
∴∠A=∠BDC=57°．
故答案为：57°．
连结CD，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角得到∠BCD=90°，利用互余可计算出∠D=57°，然后根据圆周角定理即可得到∠A的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
17.【答案】解：4x+13<1，
去分母得，4x+1<3，
移项得，4x<3−1，
合并同类项得，4x<2，
系数化为1得，x<12．
【解析】去分母，移项，合并同类项，系数化为1可得出答案．
此题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18.【答案】6
【解析】解：(1)如图，点M即为所求；
(2)∵AB=BC，∠B=120°，
∴∠A=∠C=30°，
由(1)知：AM=BM，
∴∠A=∠MBA=30°，
∴∠CBM=90°，
∴CM=2BM=2AM=6．
故答案为：6．
(1)作AB的垂直平分线MN交AC于点M即可；
(2)根据已知条件可得∠A=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质可得AM=BM，根据30度角所对直角边等于斜边一半即可得结论．
本题考查了作图−复杂作图，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
19.【答案】200
【解析】解：(1)这次被调查的学生总人数为80÷40%=200(人)；
故答案为：200；
(2)选修C课程的人数为200−20−80−40=60(人)，
条形统计图补充为：
(3)画树状图：
共有12种等可能的结果，其中同时选中甲、乙两位同学的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙两位同学的概率=212=16．
(1)用选修B课程的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
(2)先计算出选修C课程的人数，然后补全条形统计图；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出同时选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
20.【答案】解：(1)由三视图确定该几何体是圆柱体；
(2)底面半径是4÷2=2(cm)，高是5cm．
所以该几何体的表面积为2π×2×5+π×22×2=28π．
【解析】(1)根据三视图确定该几何体是圆柱体；
(2)再计算圆柱体的表面积．
此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的表面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．
21.【答案】解：(1)P=(a+b)2−(a+b)(a−b)−2b2
=a2+2ab+b2−a2+b2−2b2
=2ab；
(2)由题意得：12⋅2πa⋅b=2π，
则ab=2，
∴P=2ab=4．
【解析】(1)根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简；
(2)根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是整式的混合运算、圆锥的计算，熟记圆锥的侧面展开图是扇形硬件扇形面积公式是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OM，如图，

∵BM平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
又∵OM=OB，
∴∠2=∠3，
∴OM//BC，
∵AE是BC边上的高线，
∴AE⊥BC，
∴AM⊥OM，
∴AM是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，AE⊥BC，
∴E是BC中点，
∴EC=3，
∵csC=25=ECAC，
∴AC=52EC=152，
∵OM/​/BC，∠AOM=∠ABE，
∴△AOM∽△ABE，
∴OMBE=AOAB，
又∵∠ABC=∠C，
∴∠AOM=∠C，
在Rt△AOM中，cs∠AOM=csC=25，
∴OMAO=25，
∴AO=52OM，
AB=52OM+OB=72OM，
而AB=AC=152，
∴72OM=152，
∴OM=157，
∴⊙O的半径是157．
【解析】(1)连接OM，易证OM/​/BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线；
(2)由于AB=AC，由csC=25=ECAC，可知：AC=52EC=152，易证△AOM∽△ABE，所以OMBE=AOAB，再证明cs∠AOM=csC=25，所以AO=52OM，从而可求出OM=157．
本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°；
∵MN是⊙O的切线，
∴∠MAB=90°，
∴∠MAC+∠CAB=90°，
∴∠MAC=∠ABC．
(2)①∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴FD=FG；
②如图，连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．
∵∠DBC=∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DH，
在Rt△BDE与Rt△BDH中，
DH=DEBD=BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH(HL)，
∴BE=BH，
∵D是弧AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE与Rt△CDH中，
DE=DHAD=CD，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH(HL)．
∴AE=CH．
∴BE=AB−AE=BC+CH=BH，即5−AE=3+AE，
∴AE=1．
【解析】(1)由AB为直径知∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90°.由切线知∠MAB=90°，∠MAC+∠CAB=90°，从而得到∠MAC=∠ABC；
(2)①∠BDE=90°−∠ABD；∠DGF=∠CGB=90°−∠CBD.因为D是弧AC的中点，所以∠ABD=∠CBD，可以得到∠BDE=∠DGF即可，从而得证；
②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，可得AE=CH.根据AB=BH可求出答案．
本题是圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx−3经过点A(−3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．
∴9a−3b−3=0a+b−3=0，
解得：a=1b=2，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
(2)①在y=x2+2x−3中，令x=0，得y=−3，
∴C(0,−3)，
设直线AC解析式y=kx+n，∵A(−3,0)、C(0,−3)，
∴−3k+n=0n=−3，
解得：k=−1n=−3，
∴直线AC解析式y=−x−3，
∵OA=OC=3，∠AOC=90°，
∴tan∠ACO=OAOC=33=1，
∴∠ACO=45°，
∵点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m，
∴P(m,m2+2m−3)，
∵PE/​/x轴，PF/​/y轴，
∴F(m,−m−3)，∠PFE=∠ACO=45°，∠EPF=90°，
∴PEPF=tan∠PFE=tan45°=1，
∴PE=PF=−m−3−(m2+2m−3)=−m2−3m，
∴PE+PF=2(−m2−3m)=−2(m+32)2+92，
∵−2<0，
∴当m=−32时，PE+PF的最大值=92；
②作点B关于y轴的对称点B′(−1,0)，连接B′C，过点B′作B′D⊥B′C交CP于D，过点D作DE⊥x轴于E，
∵∠PCB=3∠OCB，
∴∠PCO=2∠OCB，
∵OB=OB′，OC⊥BB′，
∴tan∠OCB=OBOC=13，tan∠OCB′=OB′OC=13，
∴tan∠OCB=tan∠OCB′，
∴∠OCB=∠OCB′，
∴∠PCB′=∠OCB，
∴tan∠PCB′=tan∠OCB=13，即B′DB′C=13，
∵B′C= OB′2+OC2= 12+32= 10，
∴B′D= 103，
∵∠CB′D=∠B′ED=90°，
∴∠DB′E+∠CB′O=90°，
∵∠OCB+∠CB′O=90°，
∴∠DB′E=∠OCB，
∴sin∠DB′E=sin∠OCB=OB′B′C=1 10= 1010，cs∠DB′E=cs∠OCB=OCB′C=3 10=3 1010，
∴DEB′D= 1010，B′EB′D=3 1010，
∴DE= 1010B′D= 1010× 103=13，B′E=3 1010B′D=3 1010× 103=1，
∴OE=OB′+B′E=1+1=2，
∴D(−2,−13)，
设直线CD解析式为y=k1x+b1，
则：−2k1+b1=−13b1=−3，解得：k1=−43b1=−3，
∴直线CD解析式为y=−43x−3，
联立方程组：y=−43x−3y=x2+2x−3，解得：x1=0y1=−3(舍去)，x2=−103y2=139；
∴m=−103．
【解析】(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
(2)①运用待定系数法求得直线AC解析式y=−x−3，应用平行线性质及三角函数定义可求得PE=PF，再根据点P的横坐标为m，表示出PE+PF=−2(m+32)2+92，运用二次函数最值即可得到答案；
②作点B关于y轴的对称点B′(−1,0)，连接B′C，过点B′作B′D⊥B′C交CP于D，过点D作DE⊥x轴于E，通过构造等角，运用三角函数定义求得点D坐标，再应用待定系数法求得直线CD解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标，即可求得m．
本题是一道二次函数的综合运用的试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式．直角三角形的性质，三角函数定义的应用，函数的最值，二次函数顶点式的运用，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形或相似三角形或等角．