安徽省六安市金安区六安市轻工中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．）
1. 下列四个实数最小的是（ ）
A. ﹣1B. ﹣C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据选项中的各个数据，可以比较出它们的大小，从而可以得到哪个实数最小，本题得以解决．
【详解】∵，
∴最小的数是，
故选B．
【点睛】本题考查实数大小的比较，解题的关键是明确实数在原点左侧离原点距离越大，这个数越小，在原点右侧，离原点距离越远，这个数越大．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．根据相应的运算法则逐一分析即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 下列四个几何体中，其主视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义．主视图是从几何体的正面看到的图形，由此分析可得答案．
【详解】解：A．圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B．正方体的主视图是正方形，不符合题意；
C．圆柱的主视图是长方形，不符合题意；
D．球的主视图的圆，不符合题意；
故选A
4. 春节档期的热门电影《飞驰人生2》上映30天，累计票房33.39亿元，33.39亿用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1数，先确定a，n的值，再写成形如得出答案即可．
【详解】．
故选：C．
5. 直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】过E作EF∥AB CD,由平行线的质可得∠1=∠3,∠2=∠4, ∠3+∠4=∠1+∠2,根据三角形内角和可得: ∠3+∠4=60°,从而可得: ∠1+∠2=60°,由∠1=20°,可得: ∠2=40°.
【详解】如图,过E作EF∥AB,
则AB∥EF∥CD,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵∠3+∠4=60°,
∴∠1+∠2=60°,
∵∠1=20°,
∴∠2=40°,
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是要正确作出辅助线和熟练掌握平行线的性质.
6. 某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率．
【详解】解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果，
共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，
即甲和乙从同一节车厢上车的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7. 如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知A项不符合题意；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知B项不符合题意；根据全等三角形的判定与性质可知D项不符合题意进而即可判断．
【详解】解：∵，，
∴由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
∵，，
∴由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
∵，但和不一定平行，
∴项不能判定四边形是平行四边形，
故符合题意；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
8. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
9. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆．连接，根据，可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的外接圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析: 根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.
详解: ∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，
∴b＞0，
∵交点横坐标为1，
∴a+b+c=b，
∴a+c=0，
∴ac＜0，
∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．
故选B.
点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 计算________．
【答案】3
【解析】
【分析】先求算术平方根，再算减法．
【详解】解：
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的概念．
12 分解因式：_______．
【答案】b（a+2）（a-2）
【解析】
【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可.
【详解】.
故答案为：b（a+2）（a-2）.
【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式.
13. 如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧 的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求出圆心角∠BOC的大小，然后利用弧长公式即可解决问题．本题考查切线的性质、弧长公式、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是记住弧长公式，求出圆心角是关键，属于中考常考题型．
【详解】解：
∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴ 的长为 = ．
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查切线的性质，弧长的计算，解题的关键是熟知弧长公式的运用．
14. 根据里氏震级的定义，地震所释放出的相对能量E与震级n的关系为：E＝10n，那么9级地震所释放出的相对能量是7级地震所释放出的相对能量的倍数是_______．
【答案】100
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，可得答案
【详解】解：∵9级地震所释放出的相对能量为E9＝109，7级地震所释放出的相对能量为E7＝107，
∴9级地震所释放出的相对能量是7级地震所释放出的相对能量的倍数是：
109÷107＝102＝100，
故答案：100．
【点睛】本题考查了科学记数法，利用了同底数幂的除法底数不变指数相减．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式，先去分母，然后移项合并同类项即可．
【详解】解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：．
16. 江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000kg的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加的这种山货质量比粗加工的质量的3倍还多2000kg，求粗加工的这种山货的质量．
【答案】2000kg．
【解析】
【详解】解：设粗加工的该种山货质量为kg，
根据题意，得，
解得．
答：粗加工的该种山货质量为2000kg．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，-4)，B(3，-3)，C(1，-1)．
（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）请将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、CABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【小问1详解】
如图，△A1B1C1即为所求；
【小问2详解】
如图，△A2B2C2即为所求．

【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18. 如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（＝1．7）．
【答案】32.4m．
【解析】
【详解】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形，
∴CE=AB=12m，
在Rt△CBE中，ct∠CBE=，
∴BE=CE•ct30°=12×=12，
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，
得DE=BE=12．
∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．
答：楼房CD的高度约为32.4m．
考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
（1）请你按照上述等式规律写出第4个等式为_____________．
（2）根据上述等式规律写出第n个等式，并验证你所写的等式的正确性．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了运算的变化规律探究，根据已知得出数据中变与不变的量，从而得出规律是解题关键．
（1）根据已知得出数据的分子与分母的变化规律，进而得出答案即可；
（2）先归纳得到第n个等式，再分别从左边和右边计算规律式，即可得到证明；
【小问1详解】
解：∵第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：，
第4个等式：；
【小问2详解】
由（1）归纳可得：
第个等式为；
理由如下：
∵，
，
∴．
20. 如图，函数的图象与函数，的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为，C点坐标为．
（1）求函数的表达式和B点的坐标；
（2）当时，直接写出自变量x取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．
（1）把，代入可求出和b；把代入求出，然后把两个解析式联立起来解方程组即可求出B点坐标；
（2）观察函数图象，当时，根据一次函数的图象在反比例函数图象的上方可得答案．
【小问1详解】
解：∵点，在函数的图象上，
∴，解得：，
∴函数的表达式为．
∵点在函数的图象上，
，
∴函数的表达式为．
由，解得：或，
∵点，
∴点B的坐标为；
【小问2详解】
由图象可知：当时
则．
六、（本题满分12分）
21. 2024年元旦前夕，某校七年级举行了“爱我中华，学习强国”知识竞赛活动，并把成绩分成、、、四个等级，学校决定对成绩为等级的学生分批进行培训王老师随机抽取了七（4）班的成绩进行统计，并绘制成了两幅不完整的统计图，如下所示：
根据信息解答：
（1）求七（4）班参加知识竞赛的学生一共有多少名？
（2）求扇形统计图中，等级对应扇形圆心角的度数；
（3）若该校七年级共有600名学生，估计七年级需要参加培训的学生大约有多少名？
【答案】（1）40名 （2）
（3）75名
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的相关知识，用样本估计总体．
（1）根据A等级的人数以及占比即可求出参加知识竞赛的总人数．
（2）先求出等级的人数，然后根据C等级人数得占比即可求出对应的圆心角度数．
（3）用总人数乘以样本中等级的人数占比即可求出答案．
【小问1详解】
解：（人），
故七（4）班参加知识竞赛的学生一共40人.
【小问2详解】
等级的人数为：（人），
∴等级对应扇形的圆心角的度数.
【小问3详解】
（人），
∴七年级需要参加培训的学生大约有75人.
七、（本题满分12分）
22. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求与之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式；
（3）售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）W与x之间的函数解析式为；
（3）售价为70元时，利润最大为1800元．
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式；
（3）将（2）得到的解析式配方成顶点式即可得最值情况．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数解析式为，
将代入得：
解得：，
；
【小问2详解】
解：
；
W与x之间的函数解析式为；
【小问3详解】
解：，
∵，，
∴当时，W取得最大值为1800，
售价为70元时，总利润最大为1800元．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，是等边三角形，点在的延长线上，点在上，，，交于点．

（1）①求证：；
②求证：；
（2）如图2，若点是的中点，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得，，相减后可得结论；
②过点作，可得是等边三角形，证明即可；
（2）设，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得出，然后计算即可．
【小问1详解】
①证明：是等边三角形，
，
，
，
，
；
②证明：过点作，则，

∵，
是等边三角形，
，
，，，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
设，则，
点是的中点，
，
，，
，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60