新高考艺术生40天突破数学90分讲义第33讲直线方程(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第33讲直线方程(原卷版+解析)，共47页。

一、基本概念
斜率与倾斜角
我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在。轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即。
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
二、基本公式
1. 两点间的距离公式
2. 的直线斜率公式
3.直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线的斜率存在且过，
注：①当时，；②当不存在时，
（2）斜截式：直线的斜率存在且过，
（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：可表示经过两点的所有直线
（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定.
四、三种距离
1．两点间的距离
平面上两点的距离公式为.
特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离
2．点到直线的距离
点到直线的距离
特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离
3.两条平行线间的距离
已知是两条平行线,求间距离的方法:
(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
(2)设,则与之间的距离
注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））设，直线恒过定点A，则点A到直线的距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）(多选)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PS
C．PS∥QSD．PR⊥QS
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
例6．（2022·上海·高三专题练习）坐标原点关于直线对称的点的坐标是________.
例7．（2022·全国·高三专题练习）直线与直线之间的距离为__________．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点；
（2）且过点；
（3）且l1在y轴上的截距为.
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知的三个顶点分别为，，，BC中点为D点，求：
（1）边所在直线的方程
（2）边上中线AD所在直线的方程
（3）边的垂直平分线的方程.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.
（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（2）求△OAB面积的最小值.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有（ ）
A．k1C．k32．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与平行，则实数的值为（ ）
A．0B．1C．6D．0或6
4．（2022·全国·高三专题练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，且直线与平行，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．0或1
6．（2022·全国·高三专题练习）已知两点A(-2，4)，B(2，3)，过点P（1，0）的直线与线段AB有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
8．（2021·云南昆明·模拟预测（理））若等边三角形一边所在直线的斜率为，则该三角形另两条边所在直线斜率为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．（2022·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．平行或重合
10．（2022·全国·高三专题练习）直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线平行，则实数的值是（ ）
A．B．C．或D．不存在
12．（2022·全国·高三专题练习）直线与直线平行，那么的值是（ ）
A．B．C．或D．或
13．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．B．C．或D．不存在
14．（2022·全国·高三专题练习）设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
15．（2022·上海·高三专题练习）过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2022·全国·高三专题练习）过点且垂直于的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2022·全国·高三专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．B．
C．或D．或
20．（2022·全国·高三专题练习）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时，直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
21．（2022·全国·高三专题练习）经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A．或B．或
C．D．
22．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1B．C．﹣2D．﹣1
23．（2022·全国·高三专题练习）点关于直线的对称点是（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，则点P(2，2)关于对称的点的坐标为（ ）
A．(1，3)B．(-1，-1)C．(-1，5)D．(-2，-2)
25．（2022·全国·高三专题练习）若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
26．（2022·全国·高三专题练习）两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
28．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在轴截距相等的直线方程为
B．直线在y轴上的截距是；
C．直线的倾斜角是
D．过点并且倾斜角为的直线方程为
29．（2022·全国·高三专题练习）对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A．时直线的倾斜角为B．直线斜率必定存在
C．直线恒过定点D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
30．（2022·全国·高三专题练习）关于直线，下列说法正确的有（ ）
A．过点B．斜率为
C．倾斜角为60°D．在轴上的截距为1
31．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
32．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．直线与线段有公共点
B．直线的倾斜角大于
C．的边上的中线所在直线的方程为
D．的边上的高所在直线的方程为
33．（2022·全国·高三专题练习）(多选)若两平行直线3x-2y-1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则实数c的值是（ ）
A．2B．-4
C．5D．-6
34．（2022·全国·高三专题练习）已知直线过点且与点、等距离，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（2022·全国·高三专题练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
36．（2022·全国·高三专题练习）与直线平行且到直线l的距离为2的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
37．（2022·全国·高三专题练习）若直线经过点A(－,3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为___________．
38．（2022·江苏·高三专题练习）若经过，两点的直线的倾斜角为，则________.
39．（2022·全国·高三专题练习）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．
40．（2022·全国·高三专题练习）已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围________
41．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）直线和直线夹角的余弦值为________．
42．（2022·全国·高三专题练习）若点在直线上，则与的位置关系是________．
43．（2022·上海·高三专题练习）已知直线则直线与的夹角是________．
44．（2022·全国·高三专题练习）已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________．
45．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_________．
46．（2020·全国·高三专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称的直线的方程为____________.
47．（2022·全国·高三专题练习）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________．
48．（2022·上海·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是__________.
四、解答题
49．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三学业考试）已知，，线段的垂直平分线为直线．
（1）求直线的一般式方程；
（2）若点在直线上，且，求点坐标．
50．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．
(1) 求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程，并求l2与l3的交点P；
(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．
51．（2022·上海·高三专题练习）两平行线，分别过点与．
（1）若与距离为2，求两直线方程；
（2）设与之间距离是，求的取值范围．
52．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：x＋2y－2＝0.
（1）求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
53．（2022·上海·高三专题练习）已知直线和直线，若直线被和截得的线段的中点恰为坐标原点，求直线的方程．
两直线方程
平行
垂直
(斜率存在)
(斜率不存在)
或
或中有一个为0，另一个不存在.
第33讲 直线方程
【知识点总结】
一、基本概念
斜率与倾斜角
我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在。轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即。
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
二、基本公式
1. 两点间的距离公式
2. 的直线斜率公式
3.直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线的斜率存在且过，
注：①当时，；②当不存在时，
（2）斜截式：直线的斜率存在且过，
（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：可表示经过两点的所有直线
（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定.
四、三种距离
1．两点间的距离
平面上两点的距离公式为.
特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离
2．点到直线的距离
点到直线的距离
特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离
3.两条平行线间的距离
已知是两条平行线,求间距离的方法:
(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
(2)设,则与之间的距离
注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
设直线的斜率为，则直线方程为，直线在轴上的截距为1－，
令－3<1－<3，解不等式得或.
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））设，直线恒过定点A，则点A到直线的距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】
恒过的点为，直线变形为，恒过点，所以点到直线的距离最大值即为的长，其中.
故选：D
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得．
解得或．，．
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练习）(多选)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PS
C．PS∥QSD．PR⊥QS
【答案】ABD
【详解】
依题意，直线PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分别为：，，
，，，
由得PQ∥SR，由得PQ⊥PS，由得PR⊥QS，而得PS与QS不平行，
即选项ABD正确，选项C不正确.
故选：ABD
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
【答案】.
【详解】
由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
例6．（2022·上海·高三专题练习）坐标原点关于直线对称的点的坐标是________.
【答案】
【详解】
解：设原点关于直线对称的点的坐标是，
则中点坐标为在直线上，直线的斜率为
则，解得，．
要求的对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
例7．（2022·全国·高三专题练习）直线与直线之间的距离为__________．
【答案】
【详解】
化简直线为，
根据平行线间的距离公式，可得，
即直线与直线之间的距离为.
故答案为：.
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点；
（2）且过点；
（3）且l1在y轴上的截距为.
【解析】
（1）解：由于与相交于一点，故把点代入的方程
可得，联立解得.
（2）解：当时，可得和，此时不满足；
当时，因为且过点，可得，
解得或.
（3）解：由且l1在y轴上的截距为，可得，解得.
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知的三个顶点分别为，，，BC中点为D点，求：
（1）边所在直线的方程
（2）边上中线AD所在直线的方程
（3）边的垂直平分线的方程.
【解析】
（1），故边所在直线的方程为：，
化简得到.
（2）中点为，即，故，
故AD所在直线的方程为，即.
（3），故垂直平分线的斜率为，中点为，
故垂直平分线的方程为，即.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.
（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（2）求△OAB面积的最小值.
【详解】
解：（1）由题意可设直线的方程为，即，
则，解得．
故直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，
，，依题意，解得，
则的面积为．
则（当且仅当时，等号成立）．
故面积的最小值为．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有（ ）
A．k1C．k3【答案】D
【分析】
根据图像可知，，，再由与倾斜角的大小得到，进而得到结果.
【详解】
由图可知，，，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以.
综上可知.
故选:D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【分析】
由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.
【详解】
由题设，直线斜率，若直线的倾斜角为，则，
∵，
∴.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与平行，则实数的值为（ ）
A．0B．1C．6D．0或6
【答案】C
【分析】
求出直线的与的斜率，利用两个斜率相等列方程即可求解.
【详解】
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
因为直线经过点和，所以直线斜率为，
因为直线与平行，所以，解得：，
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据斜率的取值范围，结合来求得倾斜角的取值范围.
【详解】
设倾斜角为，因为，且，所以.
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，且直线与平行，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．0或1
【答案】D
【分析】
分直线与的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可.
【详解】
当直线与的斜率不存在，即时，直线AB的方程为：，直线CD的方程为：，显然，满足题意.
②当直线与的斜率存在，即时，直线AB的斜率，直线CD的斜率
要使直线与平行，须，即，解得：或（舍）
当时，直线AB的方程为：，直线CD的方程为：，显然，满足题意.故.
综上所述，或.
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知两点A(-2，4)，B(2，3)，过点P（1，0）的直线与线段AB有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据直线的斜率，利用数形结合法求解.
【详解】
如图所示：
由图象知：过点P（1，0）的直线为直线PA，PB之间任意一条直线，
而，
因为直线与线段AB有公共点，
所以或，
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习）已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【分析】
直线经过定点，利用斜率计算公式可得：，，根据直线与线段相交，即可得出．
【详解】
解：直线经过定点，
，，
又直线与线段相交，
，
故选：．
8．（2021·云南昆明·模拟预测（理））若等边三角形一边所在直线的斜率为，则该三角形另两条边所在直线斜率为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】
根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为，且，由直线的到角公式即可求出.
【详解】
根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为，且，
则有，解得，，
故另两条边所在直线斜率为，.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是正确利用直线的夹角公式.
9．（2022·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．平行或重合
【答案】D
【分析】
求出直线的斜率，根据，的斜率关系，即可求解.
【详解】
由点，，可求得直线的斜率，
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
则有，则直线与直线平行或重合.
故选： D.
10．（2022·全国·高三专题练习）直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
利用充分条件，必要条件和充要条件的定义判断.
【详解】
当时，直线，，，所以，故充分；
当时，，解得或，故不必要；
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线平行，则实数的值是（ ）
A．B．C．或D．不存在
【答案】C
【分析】
先判断两条直线的斜率都存在，再根据两条直线平行的关系，得到的方程，从而解得的值.
【详解】
因为直线，互相平行
则两直线的斜率都应存在，
所以由两直线平行得到
，
解得或，
故选：C
12．（2022·全国·高三专题练习）直线与直线平行，那么的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】
根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解.
【详解】
因为直线与直线平行，
所以，解得：，
故选：B.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．B．C．或D．不存在
【答案】C
【分析】
分为直线斜率存在和不存在两种情况直接求解即可.
【详解】
当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；
当时，由两直线垂直可得，解得或1（舍去），
综上所述，或.
故选：C
14．（2022·全国·高三专题练习）设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据两直线垂直，求的值，再根据充分必要条件的定义，判断选项.
【详解】
由题知，当时，直线的方程为，斜率，直线的方程为，斜率．因为，所以两直线垂直，故充分性成立；若直线与垂直，则有，解得或，故必要性不成立.
故选：A．
15．（2022·上海·高三专题练习）过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，通过点斜式即可得结果.
【详解】
结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为，即.
故选：A.
16．（2022·全国·高三专题练习）过点且垂直于的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
求出直线l的斜率，再借助垂直关系的条件即可求解作答.
【详解】
直线的斜率为，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为，
于是有：，即，
所以所求直线方程为.
故选：B
17．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程．
【详解】
把坐标代入两条直线和,得
,,
,
过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
故选 ：A.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.
【详解】
可化为，∴直线过定点，
故选：D.
19．（2022·全国·高三专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】
分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒
【详解】
当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为，
∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，
故选：D﹒
20．（2022·全国·高三专题练习）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时，直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设，，利用中点坐标公式即可得出a，b，利用截距式即可得出直线l的方程.
【详解】
解：设，，
∵P为AB中点，∴，
解得，，
∴直线的方程为：，
化为：，
故选：D.
21．（2022·全国·高三专题练习）经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】
先求出两直线的交点为，再对直线是否经过原点分两种情况讨论得解.
【详解】
解：由，求得，
可得两直线与的交点为．
当要求的直线经过原点时，直线的方程为，即．
当要求的直线不经过原点时，直线的方程为，
把代入，可得，，此时，直线的方程为．
综上可得，要求的直线方程为或，
故选：B．
22．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1B．C．﹣2D．﹣1
【答案】A
【分析】
分析可得直线一定相交，联立两方程，求得交点坐标为，当时，直线为，分析可得不满足题意，当时，当直线l3分别与直线l1、l2平行时，以及过直线交点时，均满足题意，分别求解，即可得答案.
【详解】
因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.
当时，直线与x轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；
当时，直线的斜率为：.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，所以实数a的取值不可能为1.
故选：A
23．（2022·全国·高三专题练习）点关于直线的对称点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】
解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，则点P(2，2)关于对称的点的坐标为（ ）
A．(1，3)B．(-1，-1)C．(-1，5)D．(-2，-2)
【答案】C
【分析】
设点，根据对称得到,计算得到答案.
【详解】
设点，根据对称得到,解得：，所以(-1，5).
故选：C.
25．（2022·全国·高三专题练习）若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由题意可得已知直线过点，，由反射原理，反射光线必经过点和点关于轴的对称点，然后由求直线方程的方法可得答案．
【详解】
解：由已知直线方程，令可得，令可得，
即入射光线所在直线与轴、轴分别相交于点，，
由反射原理，反射光线必经过点和点关于轴的对称点，
故可得其斜率为：，由斜截式方程可得，
所求反射光线所在直线方程为：
故选：．
26．（2022·全国·高三专题练习）两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求出a，利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行，
所以，解得：a=6，所以ax+8y+11=0为6 x+8y+11=0，即，
由两平行线间的距离公式可得：
两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为：.
故选：B.
27．（2022·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
二、多选题
28．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在轴截距相等的直线方程为
B．直线在y轴上的截距是；
C．直线的倾斜角是
D．过点并且倾斜角为的直线方程为
【答案】BD
【分析】
求出截距相等的直线方程判断A，求出直线的纵截距判断B，由直线方程求得倾斜角判断C，根据倾斜角得出直线方程判断D．
【详解】
解：对A：过点且在x，y轴截距相等的直线方程，要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线过原点时，直线方程为；当直线不过原点时，直线方程为，所以A错误.
对B：直线在y轴上的截距，令，得，所以直线在y轴上的截距为，所以B正确.
对C：直线的斜率为，设倾斜角为，则，所以，所以C错误.
对D：过点并且倾斜角为，斜率不存在，所以直线方程为，即，所以D正确.
故选：BD.
29．（2022·全国·高三专题练习）对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A．时直线的倾斜角为B．直线斜率必定存在
C．直线恒过定点D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
【答案】AB
【分析】
由斜率、倾斜角的定义判断AB，由方程可判断CD.
【详解】
当时，直线的倾斜角为，故A错误；
当时，直线斜率不存在，故B错误；
由直线方程可知直线恒过定点，故C正确；
当时，直线与两坐标轴交点为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故D正确.
故选：AB.
30．（2022·全国·高三专题练习）关于直线，下列说法正确的有（ ）
A．过点B．斜率为
C．倾斜角为60°D．在轴上的截距为1
【答案】BC
【分析】
A. 当时，，所以该选项错误；
B. 直线的斜率为，所以该选项正确；
C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当时，，所以该选项错误.
【详解】
A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；
B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；
C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.
故选：BC
31．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】
由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程.
【详解】
由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，
当直线时，的斜率为， 的方程是，
即；
当直线经过线段的中点时，的斜率为，
的方程是，即，
故选：AC
32．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．直线与线段有公共点
B．直线的倾斜角大于
C．的边上的中线所在直线的方程为
D．的边上的高所在直线的方程为
【答案】BCD
【分析】
因为，，所以可以判断A错误；因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；因为求出直线方程可判断C、D.
【详解】
、
因为，，所以直线与线段无公共点，A错误；
因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；
因为线段的中点为，所以边上的中线所在直线的方程为，C正确；
因为，所以上的高所在直线的方程为，即，D正确.
故选：BCD
33．（2022·全国·高三专题练习）(多选)若两平行直线3x-2y-1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则实数c的值是（ ）
A．2B．-4
C．5D．-6
【答案】AD
【分析】
根据两直线平行先计算参数a的值，再运用两平行线间的距离公式计算参数c的值即可.
【详解】
依题意知，，解得a＝-4，c≠-2，
即直线6x＋ay＋c＝0可化为，
又两平行线之间的距离为，根据两平行线间的距离公式可得：
，解得c＝2或-6.选项AD正确，选项BC错误.
故选：AD.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知直线过点且与点、等距离，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】
设所求直线的方程为，解方程 即得解.
【详解】
设所求直线的方程为，即，
由已知及点到直线的距离公式可得，
解得或，
即所求直线方程为或，
故选：BC.
35．（2022·全国·高三专题练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】
分截距为零和不为零两种情况讨论即可.
【详解】
当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，
当截距不为0时，设直线方程为，可得，
∴，所以直线方程为,
故选：AC.
36．（2022·全国·高三专题练习）与直线平行且到直线l的距离为2的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】
设所求直线方程为，由平行线间距离公式求得参数值，得直线方程．
【详解】
解：设所求直线方程为，由题意得，解得或.
故选：AB．
三、填空题
37．（2022·全国·高三专题练习）若直线经过点A(－,3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为___________．
【答案】x－y＋6＝0.
【分析】
由题设可得已知直线的倾斜角为120°，即知所求直线的斜率，结合所过的点，应用点斜式写出直线方程.
【详解】
由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为-，
∴倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，
故所求直线的斜率为，又直线过点A(-,3)，
∴所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.
故答案为：x－y＋6＝0
38．（2022·江苏·高三专题练习）若经过，两点的直线的倾斜角为，则________.
【答案】2
【分析】
由斜率公式与斜率的定义求解即可
【详解】
由题意可得：，
解得，
故答案为：2
39．（2022·全国·高三专题练习）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．
【答案】和.
【分析】
根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为，得到，得出对角线所在直线的斜率为，结合两角和的正切公式，求得，再结合两直线的位置关系，即可求解.
【详解】
设正方形一边所在直线的倾斜角为，其斜率，
则其中一条对角线所在直线的倾斜角为，其斜率为，
根据题意值，可得，解得，
即正方形其中一边所在直线的斜率为，
又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为.
故答案为：和.
40．（2022·全国·高三专题练习）已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围________
【答案】或
【分析】
求出的斜率，利用的斜率可求出结果.
【详解】
如图：
，，
因为直线过点与线段相交，
所以或.
故答案为：或
41．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）直线和直线夹角的余弦值为________．
【答案】
【分析】
由直线方程可得两直线斜率，，，利用求出夹角正切值，再结合同角三角函数可求其余弦值.
【详解】
设的斜率为，由得，
设的斜率为，由得，
设两直线夹角为，则，则.
故答案为：
42．（2022·全国·高三专题练习）若点在直线上，则与的位置关系是________．
【答案】垂直
【分析】
由点在直线上，求出的值，再验证两直线的位置关系，可得答案.
【详解】
由点在直线上，得，解得
所以直线，则
又，则
则，所以
故答案为：垂直
43．（2022·上海·高三专题练习）已知直线则直线与的夹角是________．
【答案】
【分析】
将直线方程化为斜截式方程，进而求得倾斜角，再求解夹角即可.
【详解】
解：将直线方程化为斜截式方程得，
所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以直线与的夹角是
故答案为：
44．（2022·全国·高三专题练习）已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________．
【答案】3
【分析】
由题意可得两点在直线的同侧，求出点关于直线的对称点，所以当点为直线与直线的交点时，取得最小值为
【详解】
如图，可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点，
则，
所以的最小值为，
因为，直线为，所以，
所以，
所以的最小值是3
故答案为：3
45．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_________．
【答案】2
【分析】
求出关于直线和的对称点，由两个对称点间距离得结论．
【详解】
设点P关于直线AB的对称点为，
直线方程为，
因此．解得，即，
关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程PMN的长为CD＝2．
故答案为：．
46．（2020·全国·高三专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称的直线的方程为____________.
【答案】2x－3y－9＝0
【分析】
在l上任取两点，求出其关于点A的对称点坐标，再利用两点式即可求出直线l关于点A对称的直线的方程.
【详解】
法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如M（1,1），N（4,3），
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上，
易知M′（－3，－5），N′（－6，－7），
由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二设P（x，y）为l′上任意一点，
则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y），
∵P′在直线l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
故答案为：2x－3y－9＝0.
【点睛】
本题考查直线关于点的对称直线，关键是对称点的求解，是基础题.
47．（2022·全国·高三专题练习）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________．
【答案】
【分析】
根据直线过定点的求法可求得点坐标，根据关于对称的两条直线平行，且到点距离相等可构造方程求得结果.
【详解】
由得：，当时，，；
设直线关于点对称的直线方程为，
，解得：或（舍），
直线关于点对称的直线方程为.
故答案为：.
48．（2022·上海·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是__________.
【答案】
【分析】
先求得两条直线的交点坐标,再在直线上取一个点,求得点关于直线的对称点,即可利用两个点的坐标求得其对称点的直线方程.
【详解】
因为直线与直线
所以联立直线方程可得,解方程组可得
即两条直线的交点的坐标为
在直线上取一个点,设关于直线的对称点为,由中点坐标公式及斜率关系可得
,解方程组可得
所以
则直线方程的斜率为
由点斜式可得直线的方程为
化简可得
即直线关于直线对称的直线方程为
故答案为:
【点睛】
本题考查了直线交点坐标的求法,点关于直线的对称点求法,两条垂直直线的斜率关系点斜式方程的用法,属于基础题.
四、解答题
49．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三学业考试）已知，，线段的垂直平分线为直线．
（1）求直线的一般式方程；
（2）若点在直线上，且，求点坐标．
【答案】
（1）
（2）或
【分析】
（1）由题意，求出线段的中点坐标及直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程，化简即可得答案；
（2）设点坐标为，由题意，列出关于的方程组求解即可得答案.
（1）
解：因为，，所以线段的中点为，，
又线段的垂直平分线为直线，所以，
所以直线的方程为，即，
所以直线的一般式方程为；
（2）
解：设点坐标为，
由题意有，解得或，
所以点坐标为或.
50．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．
(1) 求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程，并求l2与l3的交点P；
(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．
【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2) 3x+4y+10＝0或x＝﹣2.
【分析】
(1)由对称关系求直线l3的方程，联立l2与l3的方程，求点P的坐标，(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m的方程，再检验过点P的斜率不存在的直线是否满足要求.
【详解】
(1)由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，
从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点，
∴直线l3的方程为2x﹣y+3＝0，
由解得
∴P（﹣2，﹣1）．
(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y+1＝k（x+2），
即kx﹣y+2k﹣1＝0，
∴原点O（0，0）到直线m距离为，解得，
∴直线m方程为3x+4y+10＝0，
当直线m的斜率不存在时，直线x＝﹣2满足题意，
综上直线m的方程为3x+4y+10＝0或x＝﹣2．
51．（2022·上海·高三专题练习）两平行线，分别过点与．
（1）若与距离为2，求两直线方程；
（2）设与之间距离是，求的取值范围．
【答案】（1），或，；（2）
【分析】
（1）根据直线的夹角的定义，结合点到直线的距离公式、直线的方向向量、锐角三角函数定义进行求解即可；
（2）根据平行线的几何性质进行求解即可.
【详解】
（1），设直线与这两平行直线的夹角为，则
，设直线的一个方向向量为，
取两平行线的一个方向向量为，
则，
当时，，；
当时，取平行线的一个方向向量为，
则，
，
综上，，
或，；
（2）当平行线，与直线垂直时，两平行线的距离最大，即
，所以，.
【点睛】
本题考查了已知平行线间的距离求平行线问题，考查了平行线问题距离最值问题，考查了数学运算能力.
52．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：x＋2y－2＝0.
（1）求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
【答案】（1）7x－y－14＝0；（2）x＋2y－4＝0.
【分析】
（1）先求出两直线的交点P(2,0)，再求出，即得直线l2的方程；（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0，求出m的值即得解.
【详解】
（1）由解得交点P(2,0)．
在l1上取点M(0，－2)，
M关于l的对称点设为N(a，b)，
则,
解得，所以，
又直线l2过点P(2,0)，
所以直线l2的方程为7x－y－14＝0.
（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，
所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.
在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，
所以,所以m＝－4，
即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.
【点睛】
本题主要考查点和直线的对称问题，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
53．（2022·上海·高三专题练习）已知直线和直线，若直线被和截得的线段的中点恰为坐标原点，求直线的方程．
【答案】
【分析】
设交的交点为，则交的交点为，联立方程得到，根据直线的法向量得到答案.
【详解】
设交的交点为，则由条件交的交点为，
则在上，在上，即，故．
又过原点，则直线的一个方向向量为，则直线的一个法向量为．
所以直线的方程为．
两直线方程
平行
垂直
(斜率存在)
(斜率不存在)
或
或中有一个为0，另一个不存在.