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广西省2024年高考第二次联合模拟考试 数学试卷
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这是一份广西省2024年高考第二次联合模拟考试 数学试卷，共9页。试卷主要包含了已知函数为偶函数，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则（ ）
A．1B．C．D．5
2．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2B．4C．D．
3．设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2B．C．3D．
4．从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A．2B．0C．1D．
6．已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．记函数的导函数为，的导函数为，则曲线的曲率．若函数为，则其曲率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作双曲线C渐近线的垂线，垂足分别为E，F，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．的外接圆半径为5
B．若，则的面积为
C．
D．的取值范围为
11．已知函数的定义域与值域均为，且，则（ ）
A．B．函数的周期为4
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，若，则实数______．
13．设实数x，，满足1，3，4，x，y，的平均数与50%分位数相等，则数据x，y，的方差为______．
14．在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间与极值．
16．（15分）
在正四棱柱中，已知，，点E，F，G，H分别在棱，，，上，且，．
（1）证明：F，E，H，G四点共面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
17．（15分）
某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用甲密码．
（1）分别求第3周和第4周使用甲密码的概率；
（2）记前n周中使用了乙密码的次数为Y，求．
18．（17分）
已知抛物线，过点作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
（1）证明：P在定直线上；
（2）若F为抛物线C的焦点，证明：．
19．（17分）
设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，取整函数是法国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：
①的定义域为R，值域为Z；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分；
③；
④．若整数a，b满足，则．
（1）解方程；
（2）已知实数r满足，求的值；
（3）证明：对于任意的正整数n，均有．
2024年高考第二次联合模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由
可知，
所以，又，
所以在点处的切线方程为．
（2），的定义域为．
由，得，或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数的单调递增区间为和；
单调递减区间为．
故函数在处取得极大值，极大值为；
在处取得极小值，极小值为．
16．（1）证明：如图：在正四棱柱中，
分别以，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
则：，，，．
所以，，
所以．
∴四边形为平行四边形，
故F，E，H，G四点共面．
（2）由（1）知，，，，，
∴平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，所以，
令，则，，
所以，
．
故平面与平面所成角的余弦值为．
17．解：（1）设第k周使用甲密码的概率为，
因为，，
所以，
，
答：第3周和第4周使用甲密码的概率分别为和．
（2）因为第k周使用甲密码的概率为，则
第周使用甲密码的概率为，
整理得，
因为，所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即．
设第k周使用甲密码的次数为，则服从分布，
所以
．
所以前n周中使用甲密码次数的均值，又因为乙、丙、丁地位相同，
所以．
18．证明：（1）设，，则，
直线的方程为，即
又因为直线过点，所以，即
设直线的方程为，与抛物线方程联立，解得或
又因为直线与抛物线相切，所以，即
所以直线的方程为，即
同理直线的方程为
由，解得，即
故点P在直线上．
（2）证明：∵，
注意到两角都在内，可知要证．即证
而，
所以，又
所以，同理
即有，故．
19．解：（1）令，则，
∴
又由高斯函数的定义有
解得：，则或
当时，则；当时，则；
（2）设，设，，，…，中有k个为，
个n，，
据题知：，则有，
解得，
所以，，即
故．
证明（3）：据题形式，可构造不等式，当时，有
设，
则有
从而．
而，则，
∴．
又当，2时，经检验原式成立，
故对一切的自然数n，原式成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
A
D
C
B
题号
9
10
11
答案
AD
BCD
ACD
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则（ ）
A．1B．C．D．5
2．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2B．4C．D．
3．设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2B．C．3D．
4．从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A．2B．0C．1D．
6．已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．记函数的导函数为，的导函数为，则曲线的曲率．若函数为，则其曲率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作双曲线C渐近线的垂线，垂足分别为E，F，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．的外接圆半径为5
B．若，则的面积为
C．
D．的取值范围为
11．已知函数的定义域与值域均为，且，则（ ）
A．B．函数的周期为4
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，若，则实数______．
13．设实数x，，满足1，3，4，x，y，的平均数与50%分位数相等，则数据x，y，的方差为______．
14．在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间与极值．
16．（15分）
在正四棱柱中，已知，，点E，F，G，H分别在棱，，，上，且，．
（1）证明：F，E，H，G四点共面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
17．（15分）
某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用甲密码．
（1）分别求第3周和第4周使用甲密码的概率；
（2）记前n周中使用了乙密码的次数为Y，求．
18．（17分）
已知抛物线，过点作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
（1）证明：P在定直线上；
（2）若F为抛物线C的焦点，证明：．
19．（17分）
设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，取整函数是法国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：
①的定义域为R，值域为Z；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分；
③；
④．若整数a，b满足，则．
（1）解方程；
（2）已知实数r满足，求的值；
（3）证明：对于任意的正整数n，均有．
2024年高考第二次联合模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由
可知，
所以，又，
所以在点处的切线方程为．
（2），的定义域为．
由，得，或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数的单调递增区间为和；
单调递减区间为．
故函数在处取得极大值，极大值为；
在处取得极小值，极小值为．
16．（1）证明：如图：在正四棱柱中，
分别以，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
则：，，，．
所以，，
所以．
∴四边形为平行四边形，
故F，E，H，G四点共面．
（2）由（1）知，，，，，
∴平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，所以，
令，则，，
所以，
．
故平面与平面所成角的余弦值为．
17．解：（1）设第k周使用甲密码的概率为，
因为，，
所以，
，
答：第3周和第4周使用甲密码的概率分别为和．
（2）因为第k周使用甲密码的概率为，则
第周使用甲密码的概率为，
整理得，
因为，所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即．
设第k周使用甲密码的次数为，则服从分布，
所以
．
所以前n周中使用甲密码次数的均值，又因为乙、丙、丁地位相同，
所以．
18．证明：（1）设，，则，
直线的方程为，即
又因为直线过点，所以，即
设直线的方程为，与抛物线方程联立，解得或
又因为直线与抛物线相切，所以，即
所以直线的方程为，即
同理直线的方程为
由，解得，即
故点P在直线上．
（2）证明：∵，
注意到两角都在内，可知要证．即证
而，
所以，又
所以，同理
即有，故．
19．解：（1）令，则，
∴
又由高斯函数的定义有
解得：，则或
当时，则；当时，则；
（2）设，设，，，…，中有k个为，
个n，，
据题知：，则有，
解得，
所以，，即
故．
证明（3）：据题形式，可构造不等式，当时，有
设，
则有
从而．
而，则，
∴．
又当，2时，经检验原式成立，
故对一切的自然数n，原式成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
A
D
C
B
题号
9
10
11
答案
AD
BCD
ACD
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