2023-2024学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,4,6,7}，B={1,3,4}，则A∩B=( )
A. {1,4}B. {1,3,4}C. {1,3,4,6}D. {1,2,3,4,6,7}
2.已知复数z满足2z−iz=2，则复数z的虚部为( )
A. 25iB. 45iC. 25D. 45
3.“x=π2”是“sinx=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，a，23，26，27，34，37，38，若该组数据的40%分位数为22，则a=( )
A. 19B. 20C. 21D. 22
5.已知向量|a|=1,|b|=2，且a与b的夹角为45°，则b在a方向上的投影向量为( )
A. 22aB. 2aC. 2bD. b
6.如图，AC是圆O的直径，∠DCA=45°，DA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AM⊥DC于M，AN⊥DB于N，则下列结论不正确的是( )
A. 平面ABC⊥平面DAC
B. CB⊥平面BAD
C. CD⊥平面AMN
D. 平面AMN⊥平面DAB
7.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)=2x，且f(x+1)≤af(2−x)对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,18]B. [18,+∞)C. (0,8]D. [8,+∞)
8.美国数学家JackKiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比t= 5−12≈0.618，现给出三倍角公式cs3α=4cs3α−3csα，则t与sin18°的关系式正确的为( )
A. 2t=3sin18°B. t=2sin18°C. t= 5sin18°D. t= 6sin18°
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2且a+cb=sinA−sinBsinA−sinC，则下列结论正确的是( )
A. C=π3
B. a的取值范围为(0,2]
C. ab的最大值为4
D. 若D为AB的中点，则CD的取值范围为(1,2)
10.一学生在求解以下问题“已知函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，关于(3,6)中心对称，且f(2)=4，求S=f(1)+f(2)+…+f(10)的值”时，思路如下：令f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,0<φ<π)，由对称轴和对称中心可求得T=4，再由对称轴求φ，对称中心求b，根据以上信息可得( )
A. φ=π2B. b=6C. S=60D. S=58
11.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=AA1=1，点D为侧棱BB1上的动点，M为线段A1B1中点.则下列说法正确的是( )
A. 存在点D，使得AD⊥平面BCM
B. △ADC1周长的最小值为1+ 2+ 3
C. 三棱锥C1−ABC的外接球的体积为 32π
D. 平面ADC1与平面ABC的夹角正弦值的最小值为 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a=(1,2)，b=(−1,x)，若a⊥b，则x= ______．
13.已知x>−12,y>−4，且2x+y=1，则12x+1+9y+4的最小值为______．
14.已知定义在R上的函数y=f(x+1)−1为奇函数，且函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，则f(3x−1)+f(2−x)<2的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)= 3sin2x+cs2x．
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和对称中心；
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的值域．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，M是线段PD的中点．
(Ⅰ)求证：PB/​/平面AMC；
(Ⅱ)求三棱锥P−ACM的体积；
(Ⅲ)求直线BM与底面ABCD所成角的正切值．
17.(本小题15分)
2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b=4a．
(Ⅰ)求图中a的值并估计满意度得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？
(Ⅲ)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日−6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日−6月14日调查的6万份数据中其满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日一6月14日的总样本的平均数与方差．
18.(本小题17分)
如图，三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACC1A1是等腰梯形，且A1C1=AA1=1，D为A1C1的中点．
(Ⅰ)证明：AC⊥BD；
(Ⅱ)若过B，B1，D三点的平面截三棱台ABC−A1B1C1所得的截面面积为9 316.当二面角A1−AC−B为锐二面角时，求二面角B1−BC−A的正弦值．
19.(本小题17分)
利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设f(x)定义在[a,b]上的函数，若对于[a,b]中任意两点x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|(k>0)，则称f(x)是“k−利普希兹条件函数”．
(Ⅰ)判断函数y=x+1，y=x2在R上是否为“1−利普希兹条件函数”；
(Ⅱ)若函数y=x+2x(1≤x≤2)是“k−利普希兹条件函数”，求k的最小值；
(Ⅲ)设f(x)=sinx，若存在t∈R，使g(x)=tx+n(t>1)是“2024−利普希兹条件函数”，且关于x的方程f(2x)=g(f(x))+g(f(x+π2))在x∈(−π4,π4]上有两个不相等实根，求n的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={1,2,4,6,7}，B={1,3,4}，
则A∩B={1,4}．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：由2z−iz=2，得z=22−i=2(2+i)(2−i)(2+i)=45+25i，
∴复数z的虚部为25．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：当x=π2时，满足sinx=1，即充分性成立，
但sinx=1，则x=π2+2kπ，k∈Z，即必要性不成立，
故“x=π2”是“sinx=1”的充分不必要条件，
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：数据共10个，10×40%=4，
该组数据的40%分位数为22，
则a+232=22，解得a=21．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】解：向量|a|=1,|b|=2，且a与b的夹角为45°，
则|b|cs45°×a|a|=2× 22×a= 2a．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：AC是圆O的直径，∠DCA=45°，DA垂直于圆O所在的平面，
因为DA⊂平面DAC，所以平面DAC⊥平面BAC，所以A正确；
B中，由A选项可知BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC，
B为圆周上不与点A，C重合的点，
所以BC⊥AB，AB∩DA=A，
所以BC⊥平面BAD，所以B正确；
C中，因为AM⊥DC于M，AN⊥DB于N，
由B选项分析，可得AN⊂平面BAD，
所以BC⊥AN，BC∩DB=N，
所以AN⊥平面DBC，而DC⊂平面DBC，
所以AN⊥DC，而AN∩AM=A，
所以DC⊥平面AMN，所以C正确；
D中，由C选项的分析，无法判断DB是否与MN，AM垂直，
所以无法判断面AMN与平面DAB是否垂直，所以D不正确．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：当x≥0时，f(x)=2x，∴f(x)在[0,+∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，∴f(x)=2−x，且在(−∞,0)上单调递减，
当−1≤x≤2时，x+1≥0，2−x≥0，∴2x+1≤a⋅22−x，a≥22x−1，∵−1≤x≤2，∴只需a≥22×2−1=8；
当x>2时，x+1>0，2−x<0，∴2x+1≤a⋅2−(2−x)，∴a≥23=8；
当x<−1时，x+1<0，2−x>0，∴2−(x+1)≤a⋅22−x，∴a≥2−3=18，
综上，a≥8．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：由三倍角公式有cs54°=4cs318°−3cs18°=sin36°=2sin18°cs18°，
化简得4cs218°−3=2sin18°，
∴4sin218°+2sin18°−1=0，
解得sin18°= 5−14(负值舍去)，
∴t=2sin18°．
故选：B．
9.【答案】AC
【解析】解：由a+cb=sinA−sinBsinA−sinC，结合正弦定理可得a+cb=a−ba−c，
即为a2+b2−c2=ab，
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=12，
由0由c=2，可得a2+b2−ab=4，
又a2+b2≥2ab，可得ab≤4，当且仅当a=b=2时，取得等号，
即ab的最大值为4，故C正确；
由a2+b2−ab=4，即b2−ab+a2−4=0有解，可得Δ=a2−4(a2−4)≥0，解得0由CD=12(CA+CB)，两边平方可得CD2=14(CA2+CB2+2CA⋅CB)，
即为CD2=14(b2+a2+2ba×12)=14(a2+b2+ab)=14(4+2ab)≤14×(4+8)=3，
则CD≤ 3，故D错误．
故选：AC．
10.【答案】ABD
【解析】解：由题意知，A=6−4=2，b=6，选项B正确；
又T=4，所以ω=2πT=π2，f(2)=2sin(π2×2+φ)+6=4，
得sin(π+φ)=−sinφ=−1，所以sinφ=1，
因为0<φ<π，所以φ=π2，选项A正确；
所以f(x)=2sin(π2x+π2)+6=2cs(π2x)+6；
所以S=f(1)+f(2)+…+f(10)=6+4+6+8+6+4+6+8+6+4=58，选项D正确，C错误．
故选：ABD．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由题意知BC⊥BB1，BC⊥AB，BB1∩AB=B，
∴BC⊥平面AA1B1B，由AD⊂平面AA1B1B，得BC⊥AD，
当D为BB1的中点时，四边形AA1B1B为正方形，得BC⊥AD，
∴BM⊥AD，由BM∩BC=B，BM，BC⊂平面BCM，
∴AD⊥平面BCM，故A正确；
对于B，将平面AA1B1B和平面BB1C1C铺成一个平面，如图，
连接AC1，交BB1于D，
此时A，D，C1三点共线，AD+C1D取得最小值，即△AC1D的周长取得最小值，
又AC1= ( 2)2+12= 3，AD+C1D≥ AC2+C1C2= 5，
∴△AC1D的周长的最小值为 3+ 5，故B错误；
对于C，易知△ABC中，AB⊥BC，取AC的中点E，过E作EF⊥平面ABC，如图，
则三棱锥C1−ABC的外接球的球心必在EF上，且OE=12CC1=12，
∴球的半径为R= OE2+CE2= 32，其体积为43πR3=43π×( 32)3= 32π，故C正确；
对于D，由题意知BB1，BA，BC两两垂直，建立空间直角坐标系B−xyz，如图，
则A(1,0,0)，B1(0,0,1)，C1(0,1,1)，设D(0,0,a)，(0≤a≤1)，
则AC1=(−1,1,1)，AD=(−1,0,a)，B1B=(0,0,1)，
易知BB1=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量，设平面C1AD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AC1=−x+y+z=0n⋅AD=−x+az=0，令z=1，得n=(a,a−1,1)，
∴|cs|=|BB1⋅n||BB1|⋅|n|=11× a2+(a−1)2+1=1 2× (a−12)2+34≤1 2× 34= 63，
当且仅当a=12时，等号成立，设平面C1AD与平面ABC所成角为θ，
则csθ≤ 63，∴sinθ≥ 1−( 63)2= 33，故D正确．
故选：ACD．
12.【答案】12
【解析】解：∵a=(1,2)，b=(−1,x)，且a⊥b，
∴a⋅b=1×(−1)+2x=0，解得x=12
故答案为：12
13.【答案】83
【解析】解：因为x>−12,y>−4，且2x+y=1，
所以2x+1+y+4=6，
则12x+1+9y+4=16(12x+1+9y+4)(2x+1+y+4)
=16(10+y+42x+1+9(2x+1)y+4)≥(10+2 y+42x+1⋅9(2x+1)y+4)×16=83，
当且仅当y+4=3(2x+1)，即x=14，y=12时取等号．
故答案为：83．
14.【答案】{x|x<12}
【解析】解：定义在R上的函数y=f(x+1)−1为奇函数，
所以f(x)关于(1,1)对称，
令g(x)=f(x+1)−1，
因为函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，
根据函数的对称性可知，f(x)在R上单调递增，
所以g(x)在R上单调递增且为奇函数，
则f(3x−1)+f(2−x)<2可转化为g(3x−2)+1+g(1−x)+1<2，
所以g(3x−2)<−g(1−x)=g(x−1)，
所以3x−2解得x<12．
故答案为：{x|x<12}.
15.【答案】解：因为f(x)= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期T=π，
令2x+π6=kπ，k∈Z，则x=kπ−π62，
故函数的对称中心为(kπ2−π12,0)；
(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，2x+π6∈[π6,7π6]，
所以−12≤sin(2x+π6)≤1，
故函数的值域为[−1,2]．
【解析】(I)先结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及对称性即可求解；
(Ⅱ)结合正弦函数的性质即可求解函数的值域．
16.【答案】解：(Ⅰ)证明：如图，连接BD，设BD∩AC=N，连接MN，
∵底面ABCD是边长为1的正方形，∴N是BD中点，
又M是线段PD的中点，∴MN/​/PB，
又PB⊄平面AMC，MN⊂平面AMC，
∴PB/​/平面AMC；
(Ⅱ)根据题意可得三棱锥P−ACM的体积为：
VP−ACM=VD−ACM=VM−ACD
=12VP−ACD=12×12VP−ABCD
=14×13×1×1×2=16；
(Ⅲ)取AD的中点H，连接MH，则MH/​/PA，
又PA⊥底面ABCD，∴MH⊥底面ABCD，
∴直线BM与底面ABCD所成角为∠MBH，
又易知MH=12PA=1，BH= 12+(12)2= 52，
∴tan∠MBH=MHBH=1 52=2 55，
故直线BM与底面ABCD所成角的正切值为2 55．
【解析】(Ⅰ)根据连接BD，设BD∩AC=N，连接MN，则易知MN/​/PB，再根据线面平行的判定定理，即可证明；
(Ⅱ)根据题意可得三棱锥P−ACM的体积为：VP−ACM=VD−ACM=VM−ACD=12VP−ACD=12×12VP−ABCD，再根据锥体的体积公式计算即可求解；
(Ⅲ)取AD的中点H，连接MH，则易证MH⊥底面ABCD，从而可得∠MBH即为所求，再解三角形，即可得解．
17.【答案】解：(Ⅰ)由题意知a+4a+0.05=0.1，
∴a=0.01，
估计满意度得分的平均值x−=65×0.15+75×0.35+85×0.4+95×0.1=79.5；
(Ⅱ)超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75，
又由满意度在[60,70)的频率为0.15<0.4，满意度在[60,80)的频率为0.5>0.4，
知40%分位数位于[70,80)，由70+0.4−0.150.5−0.15×10=5407，
可以估计40%分位数为5407>75，
∴有超过60%的人满意度在75分及以上，衡州市5月份文旅成绩合格了；
(Ⅲ)把6月1日−6月7日的样本记为x1，x2，……，x40000，其平均数记为x−，方差记为sx2，
把6月8日−6月14日的样本记为y1，y2，⋯，y60000，其平均数记为y−，方差记为sy2，
则总样本平均数z−=410x−+610y−=410×80+610×90=86，
由方差的定义，总样本方差s2=110000[i=140000(xi−z−)2+i=160000(yi−y−)2]=110{4[sx2+(x−−z−)2]+6[sy2+(y−−z−)2]}=110×{4×[75+(80−86)2]+6×[70+(90−86)2]}=96，
∴总样本的平均数为86，方差为96．
【解析】(Ⅰ)利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值，再利用平均数的定义求解；
(Ⅱ)利用百分位数的定义求解；
(Ⅲ)利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：如图，取AC中点O，连接OB，OD，

∵△ABC是等边三角形，点O是AC的中点，
∴AC⊥OB，
又四边形ACC1A1是等腰梯形，且D为A1C1的中点，
∴AC⊥OD，
又OB∩OD=O，OB，OD⊂平面BOD，
∴AC⊥平面BOD，又BD⊂平面BOD，
∴AC⊥BD．
(Ⅱ)过D，B1分别作DE⊥BO，B1M⊥BO，B1N⊥BC，垂足为E，M，N，连接MN，

由(Ⅰ)易知平面DB1BO⊥平面ABC，B1M⊥BO，
平面DB1BO∩平面ABC=BO，B1M⊂平面PBO，
∴B1M⊥平面ABC，∴B1M⊥BC，
又∵B1N⊥BC，且B1M∩B1N=B1，
∴BC⊥平面B1MN，
∴BC⊥MN，又∵B1N⊥BC，
∴∠B1NM为二面角B1−BC−A的平面角，
∵过B，B1，D三点的截面为梯形BB1DO，
则SBB1DO=12(B1D+BO)⋅DE=3 34⋅DE=9 316，
DE=B1M=34，OE= DO2−DE2= 34，
∵EM= 32，∴BM= 34，
∴MN=BM⋅sinπ6= 38，
∴B1N= B1M2+MN2= 398，
∴sin∠B1NM=B1MB1N=2 3913，
即二面角B1−BC−A的正弦值为2 3913．
【解析】(Ⅰ)根据条件先证出AC⊥平面BOD，再利用线面垂直的判定定理即可得证；
(Ⅱ)先证明∠B1NM为二面角B1−BC−A的平面角，再计算即可求解．
本题考查线线垂直的判定以及二面角的计算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题知，函数y=x+1，定义域为R，
所以|f(x1)−f(x2)|−|x1−x2|=k1−x2|−k1−x2|=0，
所以函数y=x+1在R上是“1−利普希兹条件函数”，
函数y=x2，
所以f(x1)−f(x2)|−|x1−x2|=|x12−x22|−|x1−x2|=|x1−x2|(|x1+x2|−1)，
当|x1+x2|>1时，则|f(x1)−f(x2)|−|x1−x2|>0，
函数y=x2在R上不是“1−利普希兹条件函数”．
(2)若函数y=x+2x(1≤x≤2)是“k−利普希兹条件函数”，
则对于定义域[1,2]上任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，
则k≥|f(x1)−f(x2)||x1−x2|=|(x1−x2)(1−2x1x2)||x1−x2|=|2x1x2|恒成立，
因为1≤x1≤2，1≤x2≤2，所以1≤xx≤4，得|1−2x1x2|≤1，
所以k的最小值为1．
(3)解：因为函数g(x)=tx+n(t>1)是“2024−利普希兹条件函数”，
所以|g(x1)−g(x2)|≤2024|x1−x2|在R上恒成立，即t|x1−x2|≤2024|x1−x2|在R上恒成立，
由|x1−x2|>0，得1在x∈(−π4,π4]上有两个不相等实根，令m=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
∵x∈(−π4,π4]，所以 m∈(0, 2],
则①式等价于关于m的方程m2−tm−2n−1=0在m∈(0, 2]上有两个不相等实根，
参数分离可得t=m−2n+1m，令ℎ(m)=m−2n+1m，
所以问题等价于存在直线y=t(1当2n+1>0即n>−12时，函数ℎ(m)=m−2n+1m在(0, 2]只有一个交点，不合题意．
当2n+1<0即n<−12时，则ℎ( 2)>1且函数ℎ(m)=m−2n+1m在(0, −2n−1]上单调递减，在( −2n−1,+∞)上单调递增，
依题意可得 −2n−1< 2即n>−32符合题意，
综上所述：n∈(−32,−12)．
【解析】(1)根据函数y=x2，结合1−利普希兹条件函数的定义判断即可．
(2)根据新定义有f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|，分离参数求解即可．
(3)将方程根的问题转化为函数交点问题，根据2n+1分类讨论．
本题以新定义为数学背景，考查函数与方程的综合应用，属于难题．