2023-2024学年浙江省绍兴市新昌县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省绍兴市新昌县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，将点(−2,3)向下平移1个单位长度，得到的点的坐标是( )
A. (−1,3)B. (−2,2)C. (−2,4)D. (−3,3)
3.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是( )
A. 5，6，11B. 5，12，16C. 2，4，8D. 3，3，7
4.把一个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则该不等式的解集为( )
A. x<1B. x≥1C. x>1D. x≤1
5.一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 75°
6.若a>b，则下列式子一定成立的是( )
A. a+1−4bC. a−3>b−3D. a27.下列命题是真命题的是( )
A. 相等的角是对顶角B. 一个角的补角是钝角
C. 同位角相等D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
8.如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上.下面给出5个论断：①AB=DE，②AC=DF，③BE=CF，④∠ACB=∠DFE，⑤∠A=∠D.选其中3个作为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A. ①②③B. ②③④C. ③④⑤D. ①②④
9.在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如表：
他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是( )
A. (−1,−3)B. (0,−1)C. (1,0)D. (2,3)
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以其三边为边向形外分别作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，使点D，E，F；G，H恰好在长方形的边上，则图中阴影部分的面积为( )
A. 119725
B. 134725
C. 56
D. 259725
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若点P(2,3)关于y轴的对称点是点P′(a,3)，则a= ______．
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，D为斜边AB的中点，则CD的长是______．
13.“x的3倍减去y的差是正数”用不等式表示为______．
14.已知等腰三角形的一个外角等于70°，则它的底角度数为______．
15.已知直线l1：y=2x+1，把直线l1沿y轴向上平移，得直线l2：y=mx+m−n，则n的取值范围是______．
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是AB上一点，且BD=2 3，E是BC上一点，把△BDE沿DE翻折得△B′DE，线段B′D与BC交于点F，当B′D所在的直线与△ABC的一边垂直时，DF的长是______．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
解下列不等式或不等式组：
(1)3x−4≤2x．
(2)解不等式组2x+1>02−x2≥x+33．
18.(本小题5分)
如图，在4×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1.已知线段PE的端点均在格点上．
(1)在图中画出以线段PE为腰的等腰三角形PEF，要求顶点均在格点上(画出一个即可)．
(2)已知点P为原点，点A坐标为(−1,2)，求点D的坐标．
19.(本小题6分)
已知一次函数y=kx+b，它的图象经过(1,−3)，(4,6)两点．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)当−1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．
20.(本小题6分)
如图，∠ABD=∠ACD=90°，连结BC交AD于点E，∠1=∠2．
(1)求证：△ABD≌△ACD．
(2)求证：AD⊥BC．
21.(本小题6分)
双休日，张老师从家出发，骑自行车去南街碳水王国游玩，途中仅在经过大佛城路口时遇到红灯，他本次骑自行车所经过的路程y米与所用时间x分钟的函数图象如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：
(1)张老师家到南街碳水王国的路程是______米；在大佛城路口遇红灯停留了______分钟；
(2)如果骑车速度超过300米/分钟就存在安全隐患，那么张老师从通过大佛城红绿灯后到南街碳水王国，这段时间的平均速度是否存在安全隐患？请说明理由．
22.(本小题6分)
某商店经营2023杭州亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，销售10套A型和20套B型礼盒的利润和为400元，销售20套A型和10套B型礼盒的利润和为350元．
(1)分别求销售每套A型礼盒和B型礼盒的利润．
(2)该商店计划一次性购进两种型号的礼盒共100套，其中B型礼盒的进货量不超过A型礼盒的2倍，设购进A型礼盒x套，全部售出这100套礼盒的总利润为y元．
①求y关于x的函数表达式．
②该商店购进A型、B型礼盒各多少套，才能使总利润最大？最大利润是多少？
23.(本小题8分)
如图，已知△ABD，分别以AD，AB为边，在△ABD外侧作等边△ACD和等边△ABE，连接BC，DE．
(1)求证：BC=DE．
(2)当∠ABD=30°时，求证：BE2+BD2=BC2．
(3)当∠BAD=90°，BD=6时，求△ACD与△ABE的面积和．
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x−3与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线y=x相交于点A．
(1)求点A的坐标及△AOB的面积．
(2)在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得△PDH是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使∠MAE=∠OAB，请直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故ABD不符合题意；
C、图形是轴对称图形．故C符合题意．
故选：C．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】B
【解析】解：将点(−2,3)向下平移1个单位长度，所得到的点的坐标是(−2,2)，
故选：B．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3.【答案】B
【解析】解：A、5+6=11，不能组成三角形，故此选项错误；
B、5+12>16，能组成三角形，故此选项正确；
C、2+4<8，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+3<7，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边这一关系是解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：根据数轴得：x<1，
故选：A．
根据数轴写出不等式的解集即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得：∠1=90°−60°=30°，
则∠α=45°+30°=75°，
故选：D．
先根据题意求出∠1，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A选项，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，故A选项错误，不符合题意；
B选项，不等式两边同时乘以(或除以减)同一个负数，不等号方向改变，故B选项错误，不符合题意；
C选项，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，故C选项正确，符合题意；
D选项，不等式两边同时乘以(或除以减)同一个正数，不等号方向不变，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
根据不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式，理解并掌握不等式的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，本选项不符合题意；
B、一个钝角的补角是锐角，本选项不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，缺少条件“两直线平行”，本选项不符合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项符合题意；
故选：D．
根据对顶角，平行线的性质，补角及角平分线的定义依次判断各选项即可．
本题考查了对顶角，平行线的性质，补角及角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：③∵BE=CF，
∴BC=EF．
A、①②③根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF；
B、②③④根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；
C、③④⑤根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF；
D、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断△ABC≌△DEF；
故选：D．
根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL依次对各选项分析即可判断．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：当x=−2或−1或0时，函数的值分别y=−5或−3或−1，
即自变量增加1，则函数值增加2，
所以当x=1，函数的值应该等于−1+2=1，
所以点(1,0)明显不对，
故选：C．
根据函数的性质即可判断．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于M、E，
∵∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°．
∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°．
∴∠ADE=∠CAN，
∵AD=CA，
∴△ADE≌△CAN(AAS)，
∴AE=CN，
同理可证△BGM≌△CBN≌△GHP，
∴BM=CN=GP，GM=NB，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，CN=AE=BM=125，BN= 42−(125)2=165，
∴S阴影=(125+5+125)×(5+165+125)−32−42−52−12×3×4=119725，
故选：A．
过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN得到AE=CN同理可证△BGM≌△CBN≌△GHP，得到BM=CN=GP，GM=BN，再利用等面积求出CN，利用勾股定理求出BN即可解答．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
11.【答案】−2
【解析】解：点P(2,3)关于y轴的对称点是点P′(a,3)，
则a=−2．
故答案为：−2．
直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)，进而得出a的值．
此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，正确掌握关于y轴对称点的性质是解题关键．
12.【答案】132
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB= 52+122=13，
∵D为斜边AB的中点，
∴CD=12AB=132，
故答案为：132．
根据勾股定理求得AB=13，再根据斜边中线的性质即可求解．
本题考查了勾股定理，斜边中线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
13.【答案】3x−y>0
【解析】解：“x的3倍减去y的差是正数”用不等式表示为3x−y>0，
故答案为：3x−y>0．
x的3倍即3x，正数即大于0，据此列不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式．
14.【答案】35°
【解析】解：∵等腰三角形的一个外角是70°，
∴与它相邻的内角的度数为110°，
①当110度为顶角时，底角的度数为12×(180°−110°)=35°，
②当110度为底角时，此时顶角的度数为180°−2×110°=−40°<0，不满足题意；
故答案为：35°．
根据外角的度数求出与它相邻的内角的度数，再根据这个角为顶角和底角2种情况进行讨论求解．
本题考查等腰三角形的性质，注意分类讨论．
15.【答案】n<1
【解析】解：∵直线l1：y=2x+1，把直线l1沿y轴向上平移，得直线l2：y=mx+m−n，
∴m=2m−n>1，
解得：n<1．
故答案为：n<1．
根据平移得出m=2，m−n>1，解不等式即可．
本题考查了一次函数的平移，解一元一次不等式，理解平移的特点是解题的关键．
16.【答案】2或 3
【解析】解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=12(180°−∠A)=30°，
①当B′D⊥BC时，如图，
∵线段B′D与BC交于点F，
∴DF⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠B=30°，BD=2 3，
∴DF=12BD= 3；
②当B′D⊥AB时，如图，
则：∠FDB=90°，
∵∠B=30°，
∴BF=2DF，
∴BD= 3DF=2 3，
∴DF=2；
综上：DF的长是2或 3；
故答案为：2或 3．
分B′D⊥BC和B′D⊥AB，两种情况进行讨论求解即可．
本题考查含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
17.【答案】解：(1)3x−2x≤4，
x≤4．
(2)2x+1>0①2−x2≥x+33②，
由①得：x>−12；
由②得：x≤0；
则不等式组的解集为−12【解析】(1)移项，合并同类项，系数化成1即可；
(2)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，根据不等式的性质进行变形是解(1)的关键，能求出不等式组的解集是解(2)的关键．
18.【答案】解：(1)如图1，等腰△PEF即为所求(答案不唯一)；
；
(2)平面坐标系如图2所示，

点D的坐标(3,2)．
【解析】(1)根据题意，由等腰三角形的定义即可画出图；
(2)根据题意作出坐标系，根据点的位置即可求解．
本题考查作图−复杂作图，坐标与图形性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
19.【答案】解：(1)把点(1,−3)，(4,6)的坐标分别代入y=kx+b，
得：k+b=−34k+b=6，
解得k=3b=−6，
∴y与x之间的函数关系式为：y=3x−6．
(2)当x=−1时，y=−9；当x=4时，y=6，
∵k>0，y随x的增大而增大，
∴当−1≤x≤4时，−9≤y≤6．
【解析】(1)把点(1,−3)，(4,6)的坐标分别代入y=kx+b，得到二元一次方程组，然后求得k、b的值，即可得到答案；
(2)根据k>0，y随x的增大而增大，即可得出对应自变量取值范围函数值y的取值范围．
本题主要考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数表达式的方法．
20.【答案】证明：(1)∵∠1=∠2．
∴BD=CD．
又∵∠ABD=∠ACD=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(HL)．
(2)∵△ABD≌△ACD．
∴∠BDE=∠CDE．
∴DE为∠BDC的角平分线．
∵BD=CD，
∴DE⊥BC，即AD⊥BC．
【解析】(1)根据等角对等角证明BD=CD，进而证明△ABD≌△ACD(HL)．
(2)根据全等三角形的性质可证∠BDE=∠CDE，结合BD=CD，根据等腰三角形三线合一即可证明AD⊥BC．
本题考查全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质是关键．
21.【答案】2000 1
【解析】解：(1)由图可知，南街碳水王国的纵坐标为2000，张老师家的纵坐标为0，张老师家到南街碳水王国的路程是2000米；
张老师在大佛城路口遇红灯停留为从(3分)到(4分)
故在大佛城路口遇红灯停留了1分钟．
故答案为2000；1
(2)不存在安全隐患．理由如下：
这段时间的平均速度=2000−6009−4=14005=280
∵280<300．
∴不存在安全隐患．
(1)根据函数图象可以直接写出张老师家到南街碳水王国的路程，以及等待红绿灯所用的时间；
(2)根据函数图象可以得到在这段时间段内张老师骑车的速度，比较即可得到答案．
本题考查函数的图象，从函数图象获取信息是解答本题．
22.【答案】解：(1)设A型礼盒的利润为a元，B型礼盒的利润为b元．由题意得，
10a+20b=40020a+10b=350，
解得：a=10b=15，
答：每套A型礼盒和B型礼盒的利润分别为10元和15元；
(2)①∵购进A型礼盒x套，
∴购进B型礼盒(100−x)套，
∴y=10x+15(100−x)=−5x+1500，
且有0解得，1003≤x<100，
∴y=10x+15(100−x)=−5x+1500(1003≤x<100)；
②由①得，
∵k=−5，
∴y随x的增大而减少，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取到最大值，
y最大=−5×34+1500=1330(元)，
答：该商店购进A型34套、B型礼盒66套时，才能使总利润最大为1330元．
【解析】(1)根据两种搭配的费用列方程组求解即可得到答案；
(2)①根据利润等于利润单价乘以数量，列式求解即可得到答案；②先求出x的范围，再根据一次函数的性质求解即可得到答案
本题考查二元一次方程组解决实际应用问题，求一次函数解析式，正确记忆相关知识点是解题关键．
23.【答案】(1)证明：∵△ACD和△ABE是等边三角形．
∴AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE=60°．
∴∠CAD+∠BAD=∠BAE+∠BAD．
即：∠CAB=∠DAE．
∴△CAB≌△DAE(SAS)．
∴BC=DE．
(2)证明：在等边△ABE中∠ABE=60°．
∵∠ABD=30°．
∴∠DBE=∠ABE+∠ABD=90°．
∴在Rt△DBE中：BE2+BD2=DE2．
∵由(1)知BC=DE．
∴BE2+BD2=BC2．
(3)解：∵∠BAD=90°．
∴在Rt△ABD中：AB2+AD2=BD2．
∵BD=6．
∴AB2+AD2=36．
∵△ACD是等边三角形．
∴S△ACD= 34AD2．
同理：S△ABE= 34AB2．
∴S△ACD+S△ABE= 34AD2+ 34AB2= 34BD2=9 3．
【解析】(1)根据等边三角形的性质利用SAS证明△CAB≌△DAE即可解题；
(2)根据∠ABD=30°得到∠DBE=90°，即可得到结论；
(3)根据等边三角形的性质得到S△ACD= 34AD2，S△ABE= 34AB2，然后借助勾股定理即可解题．
本题考查等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】解(1)解方程组y=2x−3y=x，得x=3y=3．
∴点A的坐标为(3,3)．
把y=0代入y=2x−3得2x−3=0，
解得：x=32，
∴点B的坐标为(32,0)，
∴OB=32，
∴S△AOB=12OB⋅yA=12×32×3=94；
(2)存在．
如图，

设P(a,a)，则D(a,2a−3)．
∴PD=a−(2a−3)=−a+3．
∵PH⊥y轴．
∴PH=a．
∵△PDH是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
∴PH=PD．
∴a=−a+3．
∴a=32．
∴H(0,32)．
(3)M(0,2)或(0,4)．
分两种情况：
①若点M在点E的下方，
如图，过点B作BN⊥AB与AM的延长线交于点N．

∵A(3,3)，AE⊥y轴，
∴AE=EO=3，∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠AOE=12(180°−∠AEO)=12(180°−90°)=45°，
∵∠MAE=∠OAB．
∴∠MAB=∠MAO+∠OAB=∠MAO+∠MAE=∠EAO=45°．
∵BN⊥AB，
∴∠ABN=90°，
∴∠ANB=90°−∠NAB=90°−45°=45°，
∴∠NAB=∠ANB，
∴BN=BA．
过点N作NF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥x轴于点G．
∴∠NFB=∠AGB=90°，
∴∠FNB+∠NBF=90°，
∵∠ABN=90°，
∴∠ABG+∠NBF=180°−∠ABN=180°−90°=90°，
∴∠FNB=∠GBA，
∵BN=BA，
∴△NFB≌△BGA(AAS)．
∴NF=BG，BF=AG．
∵G(3,0)，B(32,0)．
∴NF=BG=32，BF=AG=3．
∴FO=BF−OB=32．
∴N(−32,32)．
设直线NA解析式为y=kx+b，
∵直线NA经过点N(−32,32)，A(3,3)，
∴−32k+b=323k+b=3，解得：k=13b=2，
∴直线NA解析式为y=13x+2，
令x=0，得y=2．
∴点M的坐标为(0,2)．
②若点M在点E的上方，
如图，

由对称性可知M(0,4)．
综上所述：M(0,2)或(0,4)．
【解析】(1)解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把y=0代入y=2x−3中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到△AOB的面积；
(2)设P(a,a)，则D(a,2a−3)，则PD=−a+3，PH=a，由等腰Rt△PDH得到PH=PD，即a=−a+3，求解即可解答；
(3)分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作BN⊥AB与AM的延长线交于点N.证明△ABN是等腰直角三角形，得到AB=NB.过点N作NF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥x轴于点G.易证△NFB≌△BGA(AAS)，得到NF=BG=32，BF=AG=3，进而得到N(−32,32).通过待定系数法求出直线AN的解析式，令x=0，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解．
本题考查一次函数的综合应用，掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
−5
−3
−1
0
3
…