山东省菏泽市2023-2024学年高三春季高考下学期4月期中数学试题

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一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分）
1－5 BDCBD; 6－10 CDABC ; 11－15 ADDCC;16－20 DBBCD.
二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
21.3; 22.12π; 23. 2 eq \r(7); 24. 75; 25. eq \f(2 eq \r(5),5).
三、解答题（本大题5个小题，共40分）
26.【解】 (本小题7分) 解：（1）设f(x)=ax （a>0，且a≠1），
y=x2－6x+17=（x－3）2+8，顶点坐标为（3，8），
将（3，8）代入f(x)=ax，a3=8，即a=2.
所以f(x)的解析式为f(x)=2x.
(2) 由（1）知 g（x）=eq \f(f(x)+1,f(x)－1)=eq \f(2x+1,2x－1).要使函数g（x）=eq \f(2x+1,2x－1)有意义，必须满足
2x－1≠0， 2x≠1， x ≠0，
所以g（x）=eq \f(f(x)+1,f(x)－1) 的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称.
又 g（﹣x）=eq \f(2－x+1,2－x－1) =eq \f(1+2x,1－2x) =－g（x），
所以 g（x）=eq \f(f(x)+1,f(x)－1)为奇函数 .
27. 【解】(本小题8分)解：（1）∵an+2=an+1， 即an+1－an =2,
∴ 数列{an}为等差数列 ，公差d=2，
又a4 =7，得 an= a4+（n－4）d=7+（n－4）×2=2n－1.
即数列{an}的通项公式为an=2n－1.
(2)由（1）知 a1 =1，bn=3an，所以 EQ \F(bn+1,bn) = EQ \F(3an+1,3an) = EQ \F(32n+1,32n－1) =9，
∴数列{bn}为等比数列,b1= 3, 公比q=9,
所以Sn = eq \f(b1（1－qn）,1－q)= eq \f(3（1－9n）,1－9)= eq \f(3,8)（9n－1）.
【解】（1）由正弦定理知 eq \f(a,sinA)= eq \f(b,sinB)，所以sinB= eq \f(bsinA,a)= eq \f(2 eq \r(2)sin eq \f(π,3),2 eq \r(3)) = eq \f( eq \r(2),2)
因b（2）由（1）知B= eq \f(π,4)，所以sin（x+2B）=sin（x+2× eq \f(π,4)）=sin（x+ eq \f(π,2)）=csx；
所以 eq \(→,a)=（sinx,1）, eq \(→,b)=（1，﹣csx），；
当x满足﹣ eq \f(π,2)+2kπ≤x－ eq \f(π,4)≤ eq \f(π,2)+2kπ（kZ）时，函数f（x）为增函数 ；
即﹣ eq \f(π,4)+2kπ≤x≤ eq \f(3π,4)+2kπ（kZ）；
所以函数f（x）的单调递增区间为[﹣ eq \f(π,4)+2kπ， eq \f(3π,4)+2kπ]（kZ）.
29．【证明】（1）因四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD；
A
C
B
M
D
P
O
因PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
所以PD⊥AC，即AC⊥PD；
又BD∩PD＝D，BD平面PDB，PD平面PDB，
所以AC⊥平面PDB .
（2）设AC∩BD＝O，连接OM．因四边形ABCD是菱形，
所以O为AC的中点，在△PAC中，又M为PA的中点，
所以OM是△PAC的中位线 ；所以OM//PC ；
因为OM平面MBD，PC eq \(,/)平面MBD ；
所以PC//平面MBD .
30.【解】(本小题9分) 解：（1）由题意直线l过点M（4，0），其法向量为 eq \(→,n)=（1，1）
直线l的方程为x+y－4=0.
设A（x1,y1）,B（x2,y2），则 eq \(→,OA)=（x1,y1）， eq \(→,OB)=（x2,y2）， A（x1,y1），B（x2,y2）
满足 EQ \B\LC\{(\A\AL\COL(x+y-4=0, y2=2px)) ,整理得x2－（2p+8）x+16=0,△=（2p+8）2－4×16
=4p2+32p>0（p>0），则x1+x2=2p+8，x1x2=16，∵OA⊥OB.
∴. eq \(→,OA)• eq \(→,OB)=x1x2+y1y2=0 .即x1x2+（4－x1）（4－x2）=0 ，2x1x2－4（x1+x2）+16=0 ，
即48－4（2p+8）=0 ， p=2 ， ∴ 抛物线的方程为y2=4x.
由（1）得x1+x2=12，x1x2=16，直线l的斜率k=﹣1 ，所以|AB|= eq \r(2（122-4×16）)=4 eq \r(10)，O(0,0)到直线AB的距离d= eq \f(4, eq \r(2))=2 eq \r(2),
所以△ABO的面积为S= eq \f(1,2)|AB|d= eq \f(1,2)×4 eq \r(10)×2 eq \r(2)=8 eq \r(5). 2（122-4×16）2)