湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高三下学期第三次高考模拟数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M=xx+3x−3≤0,x∈Z,N=x1A．x12．若a，b是平面上两个非零的向量，则“a+b=a+b”是“a⋅b=a⋅b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数y=fx的图象如图所示，则fx的解析式可能是（ ）
A．f(x)=−x−sinxex+e−xB．f(x)=x−csxex+e−x
C．f(x)=x+sinxex+e−xD．f(x)=x+csxex+e−x
4．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A．144种B．72种C．36种D．24种
5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡bmdm.若a=C201⋅2+C202⋅22+⋯+C2020⋅220,a≡bmd9，则b的值可以是（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
6．在△ABC中，已知sinAsinB=nsinC,csAcsB=ncsC．若tanA+π4=−3，则n=（ ）
A．无解B．2C．3D．4
7．在侧棱长为2的正三棱锥A−BCD中，点E为线段BC上一点，且AD⊥AE，则以A为球心，2为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A．32π4B．2πC．32π2D．32π
8．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A．事件M与事件N相互独立B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立D．事件N与事件Y相互独立
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设z=1−i，则（ ）
A．zz=2B．z+zi=0
C．z2=z2D．z−z=z−2
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．设有一个经验回归方程为y=1−2x，变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位
B．已知随机变量ξ∼N0,σ2，若P(ξ>2)=0.2，则P−2≤ξ≤2=0.6
C．两组样本数据x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4.若已知xi+yi=10且xiD．已知一系列样本点xi,yii=1,2,3,⋯的经验回归方程为y=3x+a，若样本点m,3与2,n的残差相等，则3m+n=10
11．已知fx是定义在R上连续的奇函数，其导函数为gx，f4x=f2−4x，当x∈−2,−1时，g′x>0，则（ ）
A．gx为偶函数B．fx的图象关于直线x=12对称
C．4为gx的周期D．gx在x=2026处取得极小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数fx=x+mx−1（m为大于0的常数）在1,+∞上的最小值为3，则实数m的值为 ．
13．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M,N分别在两个半圆弧上，P是大圆上一动点，则PM⋅PN的最小值为 ．
14．如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，其内切圆与AC边相切于点D，且AD=1，延长BA到E，使BE=BC，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则e1e2的取值范围是 ．
（第13题图） （第14题图）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知Sn是各项均为正数的数列an的前n项和，an+12−2an+1an−3an2=0,S3=13．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=4n−1an，求数列bn的前n项和Tn．
16．（15分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥A1B1，AB⊥BC，四边形BCC1B1是菱形．
(1)证明：AC1⊥B1C；
(2)若AB=BC=33B1C，求二面角B−AC1−C的正弦值．
17．（15分）垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：
(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平α=0.05）？
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d，Pχ2≥3.841≈0.05．
(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢3局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为23，主持人B提问甲赢的概率为12，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．
（i）求比赛只进行3局就结束的概率；
（ii）设X为结束比赛时甲赢的局数，求X的分布和数学期望EX．
18．（17分）已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2pxp>0，过点G1,0的直线交抛物线于A，B两点，OA⋅OB=−1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点D−1,0，连接AD，BD，证明：AD⋅BG=BD⋅AG；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求△AMN面积的最小值．
19．（17分）如果函数Fx的导数F′x=fx，可记为Fx=∫fxdx．若fx≥0，则abfxdx=Fb−Fa表示曲线y=fx，直线x=a,x=b以及x轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若Fx=∫1xdx，且F1=1，求Fx；
(2)已知0<α<π2，证明：αcsα<0acsxdx<α，并解释其几何意义；
(3)证明：1n1+csπn+1+cs2πn+1+cs3πn+⋯+1+csnπn<22π，n∈N*．
男生
女生
总计
A等级
40
20
60
B等级
20
20
40
总计
60
40
100