湖北省孝感市方子高级中学2024届高三第一次模拟数学试题

这是一份湖北省孝感市方子高级中学2024届高三第一次模拟数学试题，共16页。试卷主要包含了5 C，08等内容，欢迎下载使用。

1.（5分）已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.（5分）下列条件一定能确定一个平面的是（ ）
A.空间三个点 B.空间一条直线和一个点
C.两条相互垂直的直线 D.两条相互平行的直线
3.（5分）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为，则这组数据的第60百分位数是（ ）
A.7 B.7.5 C.8 D.9
4.（5分）已知向量，若，则（ ）
A.3 B.-1 C.2 D.4
5.（5分）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.（5分）“”是“函数的图像关于中心对称”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
7.（5分）如图，在三棱柱中，为的中点为侧面上的一点，且平面，若点的轨迹长度为2，则（ ）
A. B.
C. D.
8.（5分）已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9.（5分）今年“五一”假期，各大商业综合体､超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中将的概率为0.2，则（ ）
A.小王和小张都中奖的概率为0.08
B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
（多选）10.（5分）已知，则（ ）
A. B.
C. D.
（多选）11.（5分）已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.的最小值为 D.
（多选）12.（5分）已知函数和的图象与直线的交点分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（5分）命题“”的否定是__________.
14.（5分）已知圆锥的母线长为1，底面半径为，若圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，则__________.
15.（5分）已知函数为偶函数，则__________.
16.（5分）已知函数（其中）的部分图象如图所示，若在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.（10分）在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若为边上一点，，求的面积.
18.（12分）已知函数且.
（1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（12分）已知函数，其中.
（1）若函数的最大值是最小值的5倍，求的值；
（2）当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，若，求的值.
20.（12分）如图，在三棱锥中，平面平面.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
21.（12分）居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”.某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）在这100名业主中，求评分在区间的人数与评分在区间的人数之差；
（2）估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；
（3）若小区物业服务满意度（满意度）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训.请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由.（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）
22.（12分）如图，在五面体中，面是边长为2的正方形，三角形是等边三角形，且.
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成二面角的正弦值为，求的长.
2024年湖北省孝感市方子高级中学高考数学第一次模拟数学试卷
参考答案与试题解析
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【分析】先求出集合，再结合交集的定义，即可求解.
【解答】解：集合，
故.
故选：C.
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.
2.【分析】根据题意，由空间中点线面的位置关系分析选项，综合可得答案.
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确.
故选：D.
【点评】本题考查平面的基本性质，空间直线､平面的位置关系，属于基础题.
3.【分析】把该组数据从小到大排列，计算，从而找出对应的第75百分位数.
【解答】解：依题意可得这组数据从小到大排列为，
，
所以这组数据的第60百分位数为7.
故选：A.
【点评】本题主要考查百分位数的求解，属于基础题.
4.【分析】由平面向量平行的坐标表示建立方程，求解即可.
【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，解得.
故选：A.
【点评】本题考查平面向量的坐标表示，属于基础题.
5.【分析】将不等式转化为，利用基本不等式求出的最小值，从而可得的范围.
【解答】解：由，有，
又由（当且仅当时取等号），
可得.
故选：A.
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题.
6.【分析】分别根据正弦函数和正切函数的图像的对称性，可得对应的的值，再由充分必要条件的概念，得
解.
【解答】解：若，则，
若函数的图像关于中心对称，则，
所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件.
故选：A.
【点评】本题考查充分必要条件的判断，三角函数图像的对称性，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.
7.【分析】根据面面平行的判定定理证明平面平面，再由平面可得点的轨迹为线段，据此即可得解.
【解答】解：如图，
取的中点的中点，连接，
由，
又平面平面，所以平面，
同理可得平面，又平面
所以平面平面，又平面，
故点的轨迹为线段，
又由，可得.
故选：B.
【点评】本题主要考查了线面平行和面面平行的判定定理，属于中档题.
8.【分析】由题知，该分段函数是增函数，因此只需在每一段上都是增函数，且在分界点处满足不减即可.
【解答】解：因为对于，都有成立，
所以函数是增函数，则函数在上单调递增，所以①；
同时，在上单调递增，则，即②；
且有，即③；
联立①②③得.
故选：C.
【点评】本题考查分段函数单调性，以及一次函数与指数函数单调性的判断，属于中档题.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率公式即可求解.
【解答】解：A：由题意知：小王和小张都中奖的概率为，故A正确；
B：小王和小张都没有中奖的概率为，故B错误；
C：小王和小张中只有一个人中奖的概率为，故C正确；
D：小王和小张中至多有一个人中奖的概率为，故D正确.
故选：ACD.
【点评】本题考查了互斥事件的概率公式的应用，属于基础题.
10.【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式化简求解即可，注意的合理运用.
【解答】解：，
对于A，故A正确；
对于B，故B正确；
对于C，故C错误；
对于D，故D错误.
故选：AB.
【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系的运用，是基础题.
11.【分析】由已知结合对数函数的性质及函数图象的变化可得，即可判断A，B，然后结合基本不等式检验选项C，D即可.
【解答】解：因为函数，且，
所以-，且，
所以，即A正确，B错误；
，当且仅当，即时取等号，但显然与已知矛盾，错误；
，当且仅当时取等号，但显然等号无法取得，故D正确.
故选：AD.
【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题.
12.【分析】由题意可得两点的中点为（1，1），从而可得，且，即可判断AB；由，即可判断C；由，即可判断D.
【解答】解：因为函数和互为反函数，
所以函数和的图象关于直线对称，
由解得，
又因为直线与直线垂直，
所以两点的中点为，
所以，且，所以A正确，B错误；
由，可得，所以C正确；，所以D正确.
故选：ACD.
【点评】本题主要考查了指数及对数函数对称性的应用，属于中档题.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解.
【解答】解：命题“”的否定是“”.
故答案为：.
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.
14.【分析】根据圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，得到扇形的圆心角为，然后列等式求解.
【解答】解：圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，可知扇形的圆心角为，
由弧长公式可得，即，则.
故答案为：3.
【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，考查弧长公式的应用，是基础题.
15.【分析】求得函数的定义域为，再由求解即可.
【解答】解：由，可得，
又因为函数为偶函数，
所以
又因为，
所以，
解得.
当时，，
.
故.
故答案为：1.
【点评】本题考查了偶函数的性质，属于基础题.
16.【分析】由图象对称性可知，函数的图象与轴正半轴第一个交点的横坐标为，可知为其对称轴，进而可求周期，利用周期公式可求的值，由，结合，可求，由，可求的值，可得函数解析式，进而利用正弦函数的性质即可求解.
【解答】解：由图象对称性可知，函数的图象与轴正半轴第一个交点的横坐标为，
由图可知为其对称轴，
则，解出，
由于，
故，
则，
因为，
所以，
于是，
由于，
故，
因此，
易知，
因为在上有且仅有两个零点，
所以.
故答案为：.
【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.【分析】（1）利用正弦定理以及余弦函数的性质即可求解；（2）利用余弦定理求出的值，由此得出的值，再利用三角形的面积公式即可求解.
【解答】解：（1）由正弦定理有，
由，有，
又由，
有，由，则，
又由，可得；
（2）在中，利用余弦定理，，
将代入，化简有.
解出或（舍去），由于，则，
因此的面积为.
【点评】本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.
18.【分析】（1）根据题意，由对数函数的性质可得，解可得函数的定义域，由函数奇偶性的定义证明可得结论；
（2）根据题意，设，分析其单调性，分与两种情况讨论函数的单调性，由此可得关于的不等式，解可得答案.
【解答】解：（1）根据题意，函数，有，解可得，
即函数的定义域为，
为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
且，
则为奇函数，
（2）根据题意，函数，定义域为，
设，则，
易得，在上为增函数，
当时，在上为增函数，此时函数在为增函数，
，
解可得：，即的取值范围为；
当时，在上为减函数，此时函数在为减函数，
，
解可得：，即的取值范围为；
故当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题.
19.【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出的最值，即可得到方程，解得即可；
（2）依题意可得，令，求出，即可求出，从而得解.
【解答】解：（1）因为，
所以，
当时，，
当时，，
由，解得，故；
（2）当时，，
令，有，有或，
可得或，
取，可得，
又由，有，解得，故.
【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的性质，属于中档题.
20.【分析】（1）作，垂足为，可得，又，可得平面，根据线面垂直的性质即可证明；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量即可求二面角的余弦值.
【解答】解：（1）证明：如图，作，垂足为，连接，
，且，
是等腰直角三角形，又，
，
又，
由余弦定理得，
，
平面，又平面，
.
（2）平面平面，且平面平面，
平面，
平面，又平面，
，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，
则，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图知是锐角，
.
【点评】本题考查线面垂直､线线垂直的判定与性质､二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
21.【分析】（1）由题意，先求出评分在区间的人数，进而即可求解；
（2）根据众数和百分位数的定义以及计算方法，列出等式进行求解即可；
（3）先求出业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分，得到小区物业服务满意度，进而即可求解.
【解答】解：（1）易知评分在区间的人数分别为，所以评分在区间的人数与评分在区间的人数之差为（人）；
（2）易知在频率分布直方图中面积最大的矩形条所在区间为），
所以业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75（分），
因为在区间的频率为，在区间的频率为，
所以业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数在区间内，
不妨设业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数为，
此时，
解得；
（3）易知业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分，
因为，
故物业公司需要对物业服务人员进行再培训.
【点评】本题考查频率分布直方图以及平均数､众数和百分位数的应用，考查了逻辑推理和运算能力.
22.【分析】（1）证明出平面，利用线面平行的性质可得出，进而可得出，由已知条件得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）取的中点，连接，分析出，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正
方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可.
【解答】（1）证明：四边形为正方形，则，
平面平面平面，
平面，平面平面，
，则，
平面平面.
（2）解：取的中点，连接是等边三角形，则，
又平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系：
设，则，
设为平面的一个法向量，，
则，
取，则平面的法向量，
易知平面的一个法向量为，
由题意可得，
，解得，
因此，当时，平面与平面所成二面角的正弦值为.
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.