2024年上海市九年级学业水平考试数学适应性练习卷及解析

这是一份2024年上海市九年级学业水平考试数学适应性练习卷及解析，共34页。试卷主要包含了下列计算中，正确的是，如图，是的中位线，点在上，，函数的定义域是 ，分解因式，方程的解是 .等内容，欢迎下载使用。
选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果函数的图像经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．某学校为了了解学生的读书情况，抽查了部分同学在一周内的阅读时间，
并进行了统计，结果如表，则这些学生阅读时间的众数和中位数分别是（ ）
A．20，20B．2，2C．20，10D．2.5，2
如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，
下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A. B. 7C. D. 8
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）
7．函数的定义域是 ．
8．分解因式： ．
9．方程的解是 .
10．不等式组的正整数解是 ．
11．已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是
12．如果从1，2，3，5，8，13，21，24这8个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是素数的概率是 ．
13．将抛物线向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么 ．
14．方程组的解是 ．
如图，在中，点在边上，且，交于点，
如果，，用向量、表示向量＝ ．

如图，在矩形中，，E在边上且．若点H在边上，
将矩形沿直线折叠，折叠后点D落在上的点D′处，
过点D′作于点N，与交于点M，则的值为________．
如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系．
如果通讯费用为60元，那么A方案与B方案的通话时间相差 分钟．
如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，
点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，
设交边于点，那么的值是 ．

解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19．计算：．
20 .先化简：，然后从、、0、2、3中选一个数代入求值．
已知，如图，在中，点是边上一点，，分别与、相交于点，
且．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
小红打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”送给妈妈．
已知买2支康乃馨和3支百合共需花费28元，买3支康乃馨和2支百合共需花费27元．
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
(2)小红准备买康乃馨和百合共9支，且百合花支数不少于康乃馨支数．设买这束鲜花所需费用为元，康乃馨有支，求与之间的函数关系式，并直接写出满足上述条件且费用最少的买花方案．
23．如图，已知在中，点E、F在边上．
(1)如果是等边三角形，且，求证：；
(2)如果，，求证：．
24 .已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
直线经过点与点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点．
①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值；
②如果，求点的坐标．
25 .如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点与点O关于直线对称，
射线交半圆O于点D，弦AC交于点E、交于点F．

(1)如图，如果点恰好落在半圆O上，求证：；
(2)如果，求的值；
(3)如果，求的长．
2024年上海市九年级学业水平考试数学适应性练习卷（解析版）
（考试时间：100分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对各选项逐一进行化简，判断是否为最简二次根式即可得出答案．
【详解】A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选C．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意．
故选：B．
3．如果函数的图像经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象的性质进行求解即可．
【详解】解：∵函数的图像经过第一、三、四象限，
∴，
故选C．
4．某学校为了了解学生的读书情况，抽查了部分同学在一周内的阅读时间，
并进行了统计，结果如表，则这些学生阅读时间的众数和中位数分别是（ ）
A．20，20B．2，2C．20，10D．2.5，2
【答案】B
【分析】本题考查了求众数和中位数；
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：由表格知，阅读时间为2小时的有20人，人数最多，
所以这些学生阅读时间的众数是2；
因为共有人，
所以中位数是排序后第25，26名的平均数，即，
故选：B．
5.如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，
下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由数轴可得，，再结合有理数的加法与减法法则及不等式的性质，绝对值的含义逐一分析即可．
【详解】解：∵，，故D不符合题意；
∴，，故A，B不符合题意；
∵，
∴，故C符合题意；
故选C．
6．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A. B. 7C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）
7．函数的定义域是 ．
【答案】x≠﹣1
【详解】由题意得：x+1≠0，解得：x≠1，
故答案为x≠1.
8．分解因式： ．
【答案】
【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式可进行求解．
【详解】解：；
故答案为：．
9．方程的解是 .
【答案】
【分析】根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验．
【解析】∵，
∴，
∴3-2x=x2，
∴x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0，
解得，x1=-3，x2=1，
经检验，当x=1时，原方程无意义，当x=3时，原方程有意义，
故原方程的根是x=-3，
故答案为x=-3．
10．不等式组的正整数解是 ．
【答案】，
【分析】先分别求出每个不等式的解集，进而得出不等式组的解集，再确定整数解即可．
【详解】
解不等式①，得；
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
可知整数解是3，4．
故答案为：3，4．
11．已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是
【答案】/
【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可，也是解题关键．
【解析】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，
∴，
解得：．
故答案为：．
12．如果从1，2，3，5，8，13，21，24这8个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是素数的概率是 ．
【答案】
【分析】确定出素数有3个，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解析】解：∵1，2，3，5，8，13，21，24这8个数中素数有2，3，5，13这3个，
∴取到的数恰好是素数的概率是．
故答案为：．
13．将抛物线向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么 ．
【答案】2
【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案．
【解析】解：∵，
∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为，
∴此时顶点坐标为．
∵此时它的顶点恰好落在x轴上，
∴，
解得：．
故答案为：2．
14．方程组的解是 ．
【答案】或．
【分析】先把原方程组化为或，再解二元一次方程组即可．
【详解】解：
由①得：，
∴或，
∴或，
解可得：，
解可得：，
∴原方程组的解为：或．
故答案为：或．
15.如图，在中，点在边上，且，交于点，
如果，，用向量、表示向量＝ ．

【答案】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，
根据已知得出，,进而根据三角形法则表示出，进而即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
16.如图，在矩形中，，E在边上且．若点H在边上，
将矩形沿直线折叠，折叠后点D落在上的点D′处，
过点D′作于点N，与交于点M，则的值为________．
【答案】
【分析】先根据矩形性质求得CD=AB=3，AD=BC=5，∠D=90°，继而得DE= 4，由折叠可知：∠ED′H=∠D=90°，则∠ED′N＋∠HD′N=90°，又因为∠DEN+∠ED′N=90°，所以∠END′=∠D=90°，证△ED′N∽△ECD，得，然后由tan∠DEN= tan∠MD′H＝求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴CD=AB=3，AD=BC=5，∠D=90°，
∴DE=AD-AE=5-1=4，
由折叠可知：∠ED′H=∠D=90°，
∴∠ED′N＋∠HD′N=90°，
∵，
∴∠END′=90°，
∴∠DEN+∠ED′N=90°，
∴∠HD′N=∠DEN，即∠MD′H=∠DEN，
∵∠END′=∠D=90°，
∴D′NCD，
∴△ED′N∽△ECD，
∴
∴
∴tan∠DEN= tan∠MD′H＝=，
故答案为：．
17.如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系．
如果通讯费用为60元，那么A方案与B方案的通话时间相差 分钟．
【答案】30
【分析】用待定系数法分别求出A、B方案的函数解析式，
把代入解析式求得A、B方案所用的时间，即可求出结果．
【详解】解：A方案：把、代入得：
，解得：，
∴，
∴A方案移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）函数关系式为：，
∴时，，解得：，
∴A方案通话195分钟，
B方案：把、代入得：
，解得：，
∴，
∴B方案移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）函数关系式为：
，
∴时，，解得：，
∴B方案通话225分钟，
∴（分），
故答案为：30．
18.如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，
点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，
设交边于点，那么的值是 ．

【答案】
【分析】过点A作于点M，则，设则，根据旋转的性质，得，则，证明三点共线，再证明，延长二线交于点，接着即可．
【解析】过点A作于点M，菱形，
则，
设则，连接，
根据旋转的性质，菱形，得，
，，，，
∵，
∴，
∴，，
延长交于点，
∵菱形，
∴，
∴,
∵,
∴,
∴,
∵
∴重合，G，D，F三点共线，
延长二线交于点，
则，
∵
∴，
∴，
解得，
∵
∴，
∴，
故答案为：．
解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19．计算：．
【答案】
【分析】先根据负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简，再计算，即可求解．
【详解】解：
20 .先化简：，然后从、、0、2、3中选一个数代入求值．
【答案】，当时，原式
【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，
约分后得到化简的结果，再选或代入求值即可．
【详解】解：


；
∵原分式有意义，则，，
∴当时，原式.
21.已知，如图，在中，点是边上一点，，分别与、相交于点，
且．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
【解析】（1）证明：
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，连接DG，
，，
，
，
，
，，
，
．
22.小红打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”送给妈妈．
已知买2支康乃馨和3支百合共需花费28元，买3支康乃馨和2支百合共需花费27元．
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
(2)小红准备买康乃馨和百合共9支，且百合花支数不少于康乃馨支数．设买这束鲜花所需费用为元，康乃馨有支，求与之间的函数关系式，并直接写出满足上述条件且费用最少的买花方案．
【答案】(1)买一支康乃馨需要5元，买一支百合需要6元
(2)，买4支康乃馨和5支百合时，花费最少，花费50元
【分析】（1）设买一支康乃馨需元，买一支百合需元，根据“买2支康乃馨和3支百合共需花费28元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多27元”列出方程组求解即可；
（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，由康乃馨和百合共9支求出的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出最少费用．
【解析】（1）解：设一支康乃馨的价格是元，一支百合的价格是元，
根据题意可知：解得，
答：买一支康乃馨需要5元，买一支百合需要6元；
（2）解：由题意知：，
，
由可知，且是正整数，
当时，的值最小，即买4支康乃馨和5支百合时，花费最少，花费50元．
23．如图，已知在中，点E、F在边上．
(1)如果是等边三角形，且，求证：；
(2)如果，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）先根据等边三角形的性质得，进而可得出，根据，得，再根据三角形的外角定理可得，由此得，据此可得出结论；
（2）过点A作于H，先由得，进而可判定，从而，进而得，再证，由此可判定相似，从而得，然后根据三角形的面积公式得，，则，据此可得出结论．
【解析】（1）解：证明：是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）过点A作于H，如图2所示：
∵，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
24 .已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
直线经过点与点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点．
①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值；
②如果，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①②
【分析】（1）先由一次函数求出，再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答．
（2）①依题意，得，，根据角的等量代换，即，先求出点B的坐标．的正切值等于；
②先表达出，，，，再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答．
【解析】（1）解：∵直线经过点与点
则当；
∴
∴
解得
；
（2）解：①如图：
∵，且两点关于抛物线的对称轴对称，
∴，
则
∵
∴轴
则
∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点．
∴
则
∵轴交于两点（点在点的左侧），
∴
∴，
∴
∵
则的正切值等于；
②设，的解析式为
∴把代入
得
解得
∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点
∴设的解析式为
把代入
得
∴
令，
即
当
解得
则把代入
得
∴
∵过点作轴，过点作轴，
∴
∴
∵
∴
∵，，
∴，
∴
解得
∵点在线段下方的抛物线上，
∴（舍去）
∴．
把代入
∴
∴点的坐标
25 .如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点与点O关于直线对称，
射线交半圆O于点D，弦AC交于点E、交于点F．

(1)如图，如果点恰好落在半圆O上，求证：；
(2)如果，求的值；
(3)如果，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或．
【分析】（1）如图：连接，先根据圆的性质和对称的性质说明是等边三角形，，然后再说明即可证明结论；
（2）设圆的半径为，则，如图：作于N；先根据对称的性质和等腰三角形的性质可得，然后解直角三角形可得、，最后代入计算即可；
（3）分在半圆O内和圆外两种情况，分别利用面积法解答即可．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵点恰好落在半圆O上，
∴，
∵点与点O关于直线对称
∴,，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设圆的半径为，则，
如图：作于N
∵，
∴，
在中，,，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
由轴对称可得：，,
,，
∴为等腰直角三角形
∴，
∴．
（3）解：当在半圆O内时， 则，
由对称性可得：，
如图：过F作于N，于M，
∴
∴，
又∵，
，即，
又∵，
∴；
当在半圆O外时，由对称性可得：，
如图：作于M，于N，
∴，
∴，
又∵，
，
又∵，
∴,即，
又∵，
∴．
综上，或．
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