2022-2023学年广东省深圳市福田区耀华实验学校高二（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市福田区耀华实验学校高二（下）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）数列1，3，7，15，的通项公式等于
A．B．C．D．
2．（5分）某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名
女生，则不同的选法种数为
A．120B．84C．52D．48
3．（5分）在的二项展开式中，的系数是
A．B．C．D．
4．（5分）6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有
A．360种B．180种C．720种D．450种
5．（5分）设，若，则
A．8B．9C．10D．11
6．（5分）函数在区间，上的平均变化率为3，则实数的值为
A．5B．4C．3D．2
7．（5分）记为等比数列的前项和．若，，则
A．B．C．D．
8．（5分）已知等差数列中，，则数列的前11项和等于
A．22B．33C．44D．55
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．（5分）下列结论中，正确的是
A．B．若，则
C．D．
10．（5分）记为等差数列的前项和．已知，，则
A．B．C．D．
11．（5分）在的展开式中，项的系数为
A．60B．30C．20D．
12．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A．60种B．90种C．120种D．360种
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中横线上）
13．（5分）已知数列的前项和，则数列的通项公式为 ．
14．（5分）已知等比数列的各项都为正数，且成等差数列，则的值是 ．
15．（5分）已知抛物线在点处的切线方程为，则 ， ．
16．（5分）的展开式中所有不含字母的项的系数之和为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）由这六个数；
①可组成没有重复数字的数多少个？
②可组成没有重复数字的5位数中偶数多少个？
③可组成没有重复数字的5位数中比24305大的数有多少个？
18．（12分）若，其中．
（1）求的值；
（2）求；
（3）求．
19．（12分）已知函数．
（1）若，求函数的极值点．
（2）若函数既存在极大值又存在极小值，求实数的取值范围．
20．（12分）已知是首项为19，公差为的等差数列，为的前项和．
（Ⅰ）求通项及；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和．
21．（12分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
22．（12分）设数列满足，．
（1）证明是等比数列并求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
2022-2023学年广东省深圳市福田区耀华实验学校高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）数列1，3，7，15，的通项公式等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分别求出，，，结果构成等比数列，进而推断数列是首相为2，公比为2的等比数列，进而各项相加可得答案．
【解答】解：，，，依此类推可得
，
故选：．
【点评】本题主要考查了求数列的通项公式．关键推断是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式．
2．（5分）某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名
女生，则不同的选法种数为
A．120B．84C．52D．48
【分析】根据题意，从反面分析，分别求得“8人中任选3人的组队方案”与“没有女生的方案”的方法数，进而由“没有女生的方案”与“至少有一名女生入选的组队方案”互为对立，计算可得答案．
【解答】解：8人中任选3人的组队方案有，
没有女生的方案有，
所以符合要求的组队方案数为52种；
故选：．
【点评】本题考查组合的运用，处理“至少有一名”类问题，宜选用间接法．
3．（5分）在的二项展开式中，的系数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】写出二项展开式的通项公式，令，即可求解．
【解答】解：二项展开式的通项为：，
令，，因此二项展开式中的系数是：．
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
4．（5分）6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有
A．360种B．180种C．720种D．450种
【答案】
【分析】方案一：每个舱各安排2人，共有90（种不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有360（种不同的方案，共有（种不同的安排方案．
【解答】解：每个舱各安排2人，共有（种不同的方案；
方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种不同的方案．
所以共有（种不同的安排方案．
故选：．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
5．（5分）设，若，则
A．8B．9C．10D．11
【答案】
【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，可得，再利用组合数的计算公式，求得值．
【解答】解：，
若，即，即，
化简可得，求得，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，组合数的计算公式，属于中档题．
6．（5分）函数在区间，上的平均变化率为3，则实数的值为
A．5B．4C．3D．2
【分析】由题意可得，，解方程可求．
【解答】解：由题意可得，，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数平均变化率的简单应用，属于基础试题．
7．（5分）记为等比数列的前项和．若，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．
【解答】解：设等比数列的公比为，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
8．（5分）已知等差数列中，，则数列的前11项和等于
A．22B．33C．44D．55
【答案】
【分析】根据等差数列的性质可知，然后根据等差数列的求和公式解之即可求出所求．
【解答】解：等差数列，
，
则
故选：．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于基础题．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．（5分）下列结论中，正确的是
A．B．若，则
C．D．
【答案】
【分析】运用导数运算公计算可判断结论．
【解答】解：，故错误；
若，则，所以（3），故正确；
由导数公式知都正确．
故选：．
【点评】本题考查导数的基本运算，属基础题．
10．（5分）记为等差数列的前项和．已知，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意，设等差数列的公差为，得，求出首项和公差，然后求出通项公式和前项和即可．
【解答】解：设首项为，公差为，
由，，可得，解得，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．
11．（5分）在的展开式中，项的系数为
A．60B．30C．20D．
【答案】
【分析】根据分步乘法原理，组合数公式，即可求解．
【解答】解：根据题意可得含的项为：
，
项的系数为．
故选：．
【点评】本题考查分步乘法原理，组合数公式的应用，属基础题．
12．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A．60种B．90种C．120种D．360种
【答案】
【分析】这是一个组合问题，从6同学中选出1人安排到甲场馆是，再安排2人到乙场馆是，最后剩余3人安排到丙场馆，根据分步乘法原理相乘即可．
【解答】解：依题意从6同学中选出1人安排到甲场馆是，再从剩余5人安排2人到乙场馆是，最后剩余3人安排到丙场馆，
根据分步乘法原理，不同的安排方法共有种．
故选：．
【点评】本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中横线上）
13．（5分）已知数列的前项和，则数列的通项公式为 ．
【分析】当时，直接由前项和求首项，当大于等于2时，由求解．
【解答】解：由，
当时，．
当时，．
所以．
故答案为．
【点评】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了由前项和求通项，注意分类讨论，是基础题．
14．（5分）已知等比数列的各项都为正数，且成等差数列，则的值是 ．
【分析】设等比数列的公比为，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，运用等比数列的通项公式，进而得到所求值．
【解答】解：等比数列的公比设为，，且成等差数列，
可得，即为，
化为，解得（负数舍去），
则．
故答案为：．
【点评】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知抛物线在点处的切线方程为，则 ， ．
【分析】求导数，利用抛物线在点处的切线方程为，建立方程，即可求出，的值．
【解答】解：抛物线，
，
抛物线在点处的切线方程为，
，，
，，
故答案为：，9．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，正确求导是关键．
16．（5分）的展开式中所有不含字母的项的系数之和为 32 ．
【答案】32．
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：的展开项的通项公式为，
欲使得不含，则，
，
令，，则所以不含字母的项的系数之和．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）由这六个数；
①可组成没有重复数字的数多少个？
②可组成没有重复数字的5位数中偶数多少个？
③可组成没有重复数字的5位数中比24305大的数有多少个？
【分析】（1）注意到没有限定是几位数，则利用排列公式分别求出可以组成1、2、3、4、5、6位数的个数，由加法原理计算可得答案；
（2）根据题意，①5位数中无0，②5位数中有0且0在个位，③5位数中有0且0不在个位，利用排列公式分别求出每种情况下5位数的个数，由加法原理计算可得答案；
（3）根据题意，分4种情况讨论：①首位以是3，4，5的5位数，②前2位是25的数，③前3位是245的数，④前3位是243的数，利用排列公式分别求出每种情况下符合条件的5位数的个数，由加法原理计算可得答案．
【解答】解 （1）由这六个数，可以组成1位数个，
可以组成2位数个，
可以组成3位数个，
可以组成4位数个，
可以组成5位数个，
可以组成6位数个，
则共可以组成个；
（2）根据题意，要求是五位数且首位不能是0，则个位必须是偶数，
分3种情况讨论：
①5位数中无0，个位有种取法，其余有种取法，则共有个，
②5位数中有0且0在个位，共有个，
③5位数中有0且0不在个位，有个，
共有个
（3）根据题意，分4种情况讨论：
①首位以是3，4，5的5位数都符合要求，共计个，
②其次前2位是25的数有个，
③前3位是245的数有个，
④前3位是243的数的有4个数比24305大
共有个．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，是一个数字问题，解题时注意题意条件以及0不能在首位，其次注意分类和分步方法的应用．
18．（12分）若，其中．
（1）求的值；
（2）求；
（3）求．
【答案】（1）；
（2）；
（3）0．
【分析】（1）由展开式的通项求解即可；
（2）令与即可求解；
（3）令并结合（2）即可求解得
【解答】解：（1）的展开式的通项为，
所以，
所以，解得；
（2）由（1）知，
令，可得，
令，可得，
所以；
（3）令，可得，
由（2）知，
所以．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
19．（12分）已知函数．
（1）若，求函数的极值点．
（2）若函数既存在极大值又存在极小值，求实数的取值范围．
【答案】（1）极小值点为，极大值点为0；
（2）．
【分析】（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的极值点；
（2）先求导数，由函数既有极大值又有极小值，转化为在定义域上两个不同实根，再由二次方程的根的分布即可求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，定义域为，
则，令，可得或，
列表：
由上表可知，函数的极小值点为，极大值点为0；
（2），定义域为，，
记，，
因为函数既存在极大值又存在极小值，
所以在上有两个不同实根，即在上有两个不同实根，
由二次方程的根的分布可得，解得，
所以的取值范围为．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
20．（12分）已知是首项为19，公差为的等差数列，为的前项和．
（Ⅰ）求通项及；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和．
【分析】（1）利用通项公式与求和公式即可得出．
（2）由是首项为1，公比为3的等比数列，可得，可得，利用求和公式即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：．
．
（2）由是首项为1，公比为3的等比数列，
，
，
数列的通项公式及其前项和．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；
（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．
【解答】解：（1）由，得
，（2），
曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，，
切线方程为，
切线经过原点，
，
，．
则，
所求的切线方程为；
切点为．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．
22．（12分）设数列满足，．
（1）证明是等比数列并求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）．
【分析】（1）由已知条件构造出，利用定义法即可证明；
（2）利用错位相减法，分组求和法，即可求解．
【解答】解：（1）因为，，所以
因为，所以，
所以是以3为公比3为首项的等比数列，
所以，所以．
（2），所以．
设①，
所以②，
①②可得，
所以，
故．
【点评】本题考查等比数列的定义与通项公式的应用，错位相减法求和，化归转化思想，属中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/18 0:18:03；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：298415650
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