湖南省长沙市长郡双语白石湖实验中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题．每小题3分，共30分）
一、单选题
1. 下列物体的运动中，属于平移的是（ ）
A. 电梯上下移动B. 翻开数学课本C. 电扇扇叶转动D. 落叶随风飘零
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解.
【详解】解：A. 电梯上下移动是平移，故本选项符合题意；
B. 翻开数学课本为旋转，故本选项不符合题意；
C. 电扇扇叶转动为旋转，故本选项不符合题意；
D. 落叶随风飘零为无规则运动，故本选项不符合题意；
故选A.
2. 下列各数中，无理数的是（ ）
A. B. 0.010010001C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含π的数，有规律但是不循环的数．逐个进行判断即可．
【详解】解：A. 是有理数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 0.010010001是有理数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是无理数，故该选项正确，符合题意；
D. 是有理数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根、立方根等知识，根据算术平方根和立方根的意义进行计算即可作出判断．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
4. 若，则的值是（ ）
A. 10B.
C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，属于常考题型，熟知完全平方式和二次根式的非负性是解答的关键．
根据非负数的性质可得关于x、y的方程，解方程即可求出x与y的值，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解：由题意可知：，
解得：，
所以．
故选B．
5. 如图，直线分别与直线交于点E，F，如果，那么，其依据是（ ）
A. 两直线平行，内错角相等B. 内错角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等D. 同位角相等，两直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，由平行的判定定理即可得到答案，解题关键是掌握平行线的判定方法．
【详解】解：，
（内错角相等，两直线平行），
故选：B．
6. 直线，顶点A在直线a上，且．若，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，根据题意可得、，据此即可求解．
【详解】解：如图所示：
∵．，
∴
∵，
∴
故选：C
7. 如图，实数在数轴上的大致位置是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数大小的估计，估算的大小即可．
【详解】∵，
∴应在点B位置上．
故选：B．
8. 下列命题中，正确的有（ ）
（1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（4）两直线平行，同旁内角相等；（5）点到直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行公理、平行线的性质，对顶角的性质点到直线的距离判断即可．
【详解】解：（1）根据平行线的性质得：两条直线平行时，内错角相等；
∴（1）中的命题是假命题；
（2）根据对顶角性质得：对顶角相等，
∴（2）中的命题是真命题；
（3）根据平行线的性质得：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
∴（3）中的命题是假命题；
（4）根据平行线的性质得：两直线平行，同旁内角互补，
∴（4）中的命题是假命题；
（5）根据点到直线距离的定义得：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
∴（5）中的命题是假命题；
综上所述：真命题是（2）共一个．
故选：A．
9. 如图，长方形沿对折后，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据翻折的性质可得，进而求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可得解．
【详解】解：如图所示，
∵长方形沿对折后两部分重合，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
10. 如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平移的性质．掌握平移的性质和恰当分类是解题的关键．分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解．
【详解】解：当点在线段上时，
∵，
，
，
∴
．
当点在的延长线上时，
∵，
，
，，
．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 的平方根是__________．
【答案】±
【解析】
【详解】分析：根据平方运算，可得平方根、算术平方根．
详解：的平方根是±．
故答案为．
点睛：本题考查了算术平方根．平方运算是求平方根的关键．
12. 比较大小：___________（填，或）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解：，，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 若一个数的两个平方根分别为和，这个数是___________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握一个正数的平方根互为相反数．根据两个数的平方根互余相反数，列出方程解方程即可．
【详解】解：∵一个数的两个平方根分别为和，
∴，
解得，
∴原数是．
故答案为：16．
14. 已知、、在数轴上的位置如图，化简：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及二次根式和立方根的性质去化简原式求出结果．
【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且，
∴，
∴
．
故答案是：．
【点睛】本题考查绝对值的性质、二次根式、立方根和根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减，解题的关键是掌握化简绝对值的方法．
15. 已知图为长是5、宽是3的矩形，空白部分为两条宽1的道路，阴影部分为草坪，则阴影部分的面积为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了用平移求图形面积，解题的关键是掌握平移的性质．将阴影部分进行平移，得出阴影部分面积为一个长方形，即可解答．
【详解】解：如图，将阴影部分平移后为一个长方形，
∴阴影部分面积，
故答案为：8．
16. 为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______．

【答案】##35度
【解析】
【分析】过E作，则，利用平行线的性质求得，，进而可求解．
【详解】解：过E作，

∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，作平行辅助线，利用平行线的性质求解是解答的关键．
三、解答题（共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）．
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先进行开方运算，再计算加减即可．
（2）计计算乘方和去绝对值符号，再计算加减即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 求下列方程中未知数的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解法和用平方根的意义解方程，熟练掌握相关解法是解题的关键．
（1）利用加减法解二元一次方程组即可；
（2）利用平方根的意义把原方程变为两个一元一次方程，求出未知数的值即可．
【小问1详解】
解：
①×2－②得，，
把代入①得，，
解得
∴
【小问2详解】
∴
∴，
则或
解得或
19. 甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
【答案】0
【解析】
【分析】因为甲看错了方程①中的a，而方程②中的b没有看错，所以满足方程，将代入可求，同理乙看错了方程②中的b，而方程①中的没有看错，所以满足方程，将代入可求，最后将、代入求解即可．
【详解】解：将代入方程中得：，即；
将代入方程中的得：，即，.
将，代入，
则．
【点睛】本题考查解二元一次方程组的错看问题，掌握方程组的解为使方程组中两个方程同时成立的未知数的值是解题的关键．
20. 如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．
（1）补全；
（2）根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
①边上的高线；
②连接，则两条线段之间的数量和位置关系是___________．
（3）求出的面积___________．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②图见解析，相等且平行
（3）8
【解析】
【分析】此题考查了平移的作图和性质、网格中求三角形的面积等知识，准确作图是解题的关键．
（1）根据点B的平移规律找打点A和点C的对应点，再顺次连接即可；
（2）①根据高的定义和网格特点作图即可；②根据要求作出线段，再根据平移的性质解答即可；
（3）根据三角形面积公式进行解答即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，
【小问2详解】
①如图，即为所求；
②如图，即为所求，两条线段之间的数量和位置关系是相等且平行；
故答案为：相等且平行
【小问3详解】
的面积
故答案为：8
21. 如图，，点D、E分别在线段上，分别与交于点M、N，若，，求证：．（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据）
证明：，（已知）
又，（___________）
___________．（等量代换）
．（___________）
___________．（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
．（___________）
∴___________．（内错角相等，两直线平行）
．（___________）
，（己知）
．
．
．（___________）
【答案】对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；；等量代换；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判断，对顶角相等，垂直的定义，根据平行线的性质与判定条件， 以及对顶角相等和垂直的定义结合已给推理过程求解即可．
【详解】证明：，（已知）
又，（对顶角相等）
．（等量代换）
．（同位角相等，两直线平行）
．（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
．（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
，（己知）
．
．
．（垂直的定义）
故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；；等量代换；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义．
22. 如图，已知线段，相交于点，平分，交于点，．

（1）求证：；
（2）若，，的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据补角的性质得到，即可证明；
（2）根据已知得到，再根据三角形外角的性质计算可得结果．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的判定方法．
23. 某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求A、B两种型号电风扇的销售单价；
（2）超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由．
【答案】（1）种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元；
（2）不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键．
（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【小问1详解】
解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元．
依题意，得
解得
答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元；
【小问2详解】
不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下：
设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，

解得
∵根据题意，m，n都正整数，
∴不合题意，舍去，
不能实现利润恰好为1200元的目标．
24. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小龙探究过程，请补充完整：
（1）口算并填空：个位数字为___________；
（2）求．
①由，可以确定是___________位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是___________；
③如果划去后面的三位得到数，而，可以确定的十位上的数是___________，由此求得___________．
（3）已知：和也是一个整数的立方，请用类似的方法求出和；
【答案】（1）5； （2）①两，②；③，；
（3），
【解析】
【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键．
（）根据的个位数字即可判断；
（）题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；
（）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
【小问1详解】
解：∵，个位数字为，
∴个位数字为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①∵，，
∴，
∴可以确定是两位数，
故答案为：两；
②由的个位上的数是，个位数字为，
∴的个位上的数是，
故答案为：；
③∵，，，
∴，
∴可以确定的十位上的数是，
∴求得
故答案为：．
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∴可以确定是两位数，
∵的个位数字是，
∴可以确定的个位数字是，
∵，
∴，
∴可以确定的十位上的数是，
∴求得，
∵，，
∴，
∴可以确定是两位数，
∵的个位数字是，
∴可以确定的个位数字是，
∵，
∴，
∴可以确定的十位上的数是，
∴求得，
25. 直线，将一副三角板中的两块直角三角形如图放置，在直线上，在上，在同一直线上，，，，．
（1）若三角形如图摆放时，此时与重合，求；
（2）先固定三角形的位置不变，将三角形沿方向平移，使得点正好落在上，与直线交于点，在内部，如图的位置所示，，若，求的值．
（3）将（）中三角形固定，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，旋转时间为，当的某条边与的一条边平行时，请直接写出的值
【答案】（1）
（2）
（3）的值为或或或或．
【解析】
【分析】本题考查了旋转变换，以及平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）如图中，过点作，证明，可得结论；
（）如图中，根据（）可证．再由得，构造方程求解可得结论；
（）分种情形∶当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别讨论求出的度数，可得结论．
【小问1详解】
解：如图中，过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由（）得．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即
解得；
【小问3详解】
解：①当时，如图，
∴
∴，
∵，点E，，三点共线，，
∴，，即，解得；
②当时，过点作，如图，
∴，
∴
∴．
∴，
∴，
当时，情况不存在；
④当时，同②；
⑤当时，同①；
⑥当时，如图，
此，即，解得；
⑦当时，如图，
∵
∴，
∴，即，
解得；
⑧当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
⑨当时，此情况不存在．
综上所述，的值为或或或或．
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3
5
1750元
第二周
4
10
3000元