2024年广东省惠州市第五中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 在这四个数中，最小的数是( )
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴最小的数是；
故选A．
【点睛】本题考查比较实数的大小．熟练掌握负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键．
2. 第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．
【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意，
B．，故该选项计算错误，不符合题意，
C．，故该选项计算错误，不符合题意，
D．，故该选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
5. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理即可得．
【详解】解：∵，
∴由圆周角定理得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质解答，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
7. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
8. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 95，92B. 93，93C. 93，92D. 95，93
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义求解．
【详解】解：这组数据从小到大排序为：88，89，91，93，94，95，95，
95出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为95；
这组数据最中间数为93，所以这组数据的中位数是93．
故选：D．
【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．也考查了中位数：将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：由得，
由得，
解集在数轴上表示为：
，
则不等式组的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
10. 如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图像上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，代入，确定，，利用正方形的对角线相等计算选择即可．
【详解】∵正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图像上，点B的纵坐标是横坐标的2倍，
∴
设，代入，
得，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，正方形的性质，熟练掌握抛物线的性质，正方形的性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 把a2﹣16分解因式，结果为_____．
【答案】（a+4）（a﹣4）．
【解析】
【分析】直接用平方差公式进行分解因式即可.
详解】解：a2﹣16=（a+4）（a﹣4）.
【点睛】本题主要考查用平方差公式进行分解因式，牢记公式是解题的关键.
12. 使有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：
x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为x≥﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单．
13. 深圳某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：“香港回归”和“改革开放”发生于新中国成立以后．
将“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”分别记为，，，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的结果有：，，共2种，
八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为．
故答案为：．
14. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
【答案】400
【解析】
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．
故答案为：400
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．
15. 如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为___________．

【答案】##
【解析】
【分析】作于点，于点，首先求出正方形的面积，然后根据等边三角形和正方形的性质求出和，从而求出和的面积，最后作差求解即可．
【详解】解：如图所示，作于点，于点，

∵四边形是边长为4的正方形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方和等边三角形的性质，以及角所对的直角边是斜边的一半，掌握图形的基本性质，熟练运用相关性质是解题关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：．
（2）下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是______；
②第_____步是进行分式的通分，通分的依据是_____；
③第_____步开始出现错误．
【任务二】请直接写出正确的化简结果：_____．
【答案】（1）5；（2）任务一：①公式法分解因式；②三，分式基本性质；③四；任务二：
【解析】
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
（2）根据分式的性质进行化简．
【详解】解：（1）
；
（2）任务一：①第一步变形使用的方法是公式法分解因式；
②第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
③第四步开始出现错误；
任务二：
解：原式＝
．
故答案为：任务一：①公式法分解因式；②三，分式的基本性质；③四；任务二：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的性质以及分式的化简，其中对运算法则的准确运用是解题的关键．
17. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）作图见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
18. 公安交警部门提醒市民，笴车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【小问1详解】
设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
【小问2详解】
设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．

（1）求点离地面的高度；
（2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)
【答案】（1）
（2）飞船从处到处的平均速度约为
【解析】
【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
【小问2详解】
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
飞船从处到处的平均速度．
【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
20. 综合与实践：
问题情境
在综合实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的剪拼”为主题展开教学活动，如图1，将一张正方形纸片沿对角线剪开，得到和，点是对角线的中点，操作探究；
（1）图1中的沿方向平移，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为与交于点与交于点，得到图2，则四边形的形状是什么形状？
（2）“探究小组”的同学将图1中的以点为旋转中心，按顺时针方向旋转，得到，点的对应点为与交于点，连接交于点，得到图3，他们认为四边形是菱形，“探究小组”的发现是否正确？请你说明理由．
【答案】（1）平行四边形
（2）正确，理由见详解
【解析】
【分析】（1）利用平移的性质直接得出结论；
（2）先利用旋转的性质和正方形的性质得出四边形是平行四边形，再判断出即可得出结论；
【小问1详解】
解： 是平移得到，
，，
四边形是平行四边形，
故答案为平行四边形；
【小问2详解】
解：正确，理由如下
四边形为正方形，，
将以点为旋转中心，顺时针旋转后，点落在上，点落在的延长线上．
，，
．
，，
．
四边形是平行四边形．
，，
，
又，，
，
四边形菱形．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，平移，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是利用平移的性质，解（2）的关键是判断出四边形是平行四边形．
21. 党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫家，D．洗衣服．要求每个学生必须且只能选择一项参加，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：

（1）本次接受抽样调查的总人数是 人；
（2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
（3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有 人；
（4）小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《熊出没之伴我熊芯》（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率．
【答案】（1）120 （2）见解析
（3）390 （4）
【解析】
【分析】（1）用B组或D组的人数除以它们所占的百分比即可；
（2）先求出C组人数和A组所占百分比，再补全统计图即可；
（3）将A组所占百分比乘以参加活动的学生总数即可；
（4）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【小问1详解】
∵B组45人，占百分比为37.5%，
∴接受抽样调查的总人数是：（人），
故答案为：120；
【小问2详解】
C组人数为：（人），
A组人数所占百分比为：，
补全统计图如下：
【小问3详解】
∵（人），
∴估计该校参加A项目的学生有390人，
故答案为：390；
【小问4详解】
画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的有2种可能的结果，
∴P（两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”）．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计图的意义和列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 综合探究
如图，在圆中，点为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交圆于点，连接交于点．
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
（1）利用圆周四等分点得到，再根据切线的性质得到，所以，从而可判断平分；
（2）根据圆内接四边形的性质证明，则可利用“”判断；
（3）过G点于H点，如图，先利用得到，所以，再根据圆周角定理得到，则可计算出，接着，所以，然后利用勾股定理计算出，于是根据余弦的定义可计算出的值．
【小问1详解】
证明：∵点A，B，C，D为圆周的四等分点，
∴，为直径，
∴，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问3详解】
解：过G点于H点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
即的值为．
23. 综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴正半轴交于点．
（1）求的值及抛物线的解析式．
（2）如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
（3）如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）的坐标为
（3）①当时，线段有最大值为4；②存在，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似
【解析】
【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论．
（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（2）由（1）可得，则，所以，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；
（3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论；②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可．
【小问1详解】
解：直线与轴交于点，
，
，
直线的表达式为；
当时，，
点的坐标为，
将点的坐标为，点的坐标为，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
的坐标为，
将点的坐标代入解析式可得，，
解得或（舍去）
的坐标为；
【小问3详解】
①由（1）可知，直线的解析式为：，
点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
设线段的长度为，
则
，
当时，线段有最大值为4；
②存在，理由如下：
由图形可知，
若与相似，则需要分两种情况，
当时，由（2）可知，，此时；
当时，过点作轴交抛物线于点，
令，
解得（舍或，
综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步