第三章 模型2用设而不求法速解函数零点问题模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

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【问题背景】函数的零点问题，在高考中是一种常考的热点问题，在解决有关函数的零点、范围、最值等问题时，常常会遇到其导函数在某个区间内一定存在零点，但又无法直接求得该零点的情况，对此，我们通常采用“设而不求”的方法.
【解决方法】
【典例1】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数，若对任意实数x，恒成立，则整数b的最大值为______．
【套用模型】
第一步：分析题干，转化问题，找零点．
对任意实数x，恒成立，即恒成立，
令，则．
【会转化】通过分离参数，转化为求函数的最值问题
，令，则，
所以在R上单调递增，
又，，则由函数零点存在定理知，存在唯一，使得．
第二步：设零点，找等量关系．
设，且，则，所以．
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
所以在时取得最小值．
第三步：根据零点所满足的等量关系，整体代入，“设而不求”求得结果．
由，得，
【会代换】整体代换要向着解决问题的方向去靠，如本题要求代数式的最小值，消去指数项，代数式变为二次函数型，便易于求解了
又，所以，所以，
又，所以整数b的最大值为1．
【典例2】（2024河北保定开学测试）已知函数，，是的导函数，若关于x的不等式有解，则a的取值范围为______．
【套用模型】
第一步：分析题干，转化问题，找零点．
，，则，
，即，
设，，则．
当，即时，，在上单调递增，
，，所以符合题意．
当，即时，，在上单调递减，则，即，所以符合题意．
当时，存在唯一的，使得．
第二步：设零点，得出零点满足的关系式．
设，且，则，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减．
第三步：根据零点所满足的等量关系，整体代入，“设而不求”，转化为不含参数的函数的最值问题．
所以．
令，，
【会研究】关于零点的代数式比较复杂，其最值不能直接观察得出，所以另设函数研究
则，所以，成立，所以符合题意．
综上，a的取值范围为．
【典例3】（2024江苏连云港灌南高级中学9月月考）已知函数．当时，恒成立，则整数a的最大值为______．
【套用模型】
第一步：分析题干，转化问题，找零点．
由，得，
当时，，．
【易错提醒】分离参数时，注意参数的系数可能为0
当时，，
设，则，
设，则，则在上单调递增，
又，，所以在上存在唯一零点．
第二步：设零点，得出零点满足的关系式．
设，且，则．
当时，，即，当时，，即，
则有在上单调递减，在上单调递增，所以．
第三步：根据零点所满足的等量关系，整体代入，“设而不求”，结合零点的取值范围求解．
所以，
【会转化】实施“”和“”之间的转化，从而可以化简得出结果
因为，所以，所以整数a的最大值为4．
（2023·山东临沂·模拟预测）
1．设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
（22-23高三下·浙江杭州·阶段练习）
2．设函数．
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．
（2024上·山西运城·高三统考期末）
3．已知函数f(x)=-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
（22-23高三下·江苏南京·二模）
4．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间：
(2)若在恒成立，求实数的取值范围.
（2024上·山西·高三统考期末）
5．设函数(其中).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；
(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.
（2023·福建泉州·二模）
6．已知函数，.
（1）证明：函数的极小值点为1；
（2）若函数在有两个零点，证明：.
（2024·湖南邵阳·统考一模）
7．设函数
(1)求的单调区间
(2)若，k为整数，且当时，求k的最大值
（2023·河北衡水·一模）
8．已知函数在处的切线方程为.
(1)求函数的单调区间；
(2)若为整数，当时，恒成立，求的最大值（其中为的导函数）.
（2023·浙江·一模）
9．已知，．
（1）当时，求f（x）的最大值．
（2）若函数f（x）的零点个数为2个，求的取值范围．
（2023下·广东肇庆·高三广东肇庆中学期末）
10．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
参考答案：
1．（Ⅰ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（Ⅱ）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.
当时,，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，;
当时，.
故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，.
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.
2．（1）在单调递减，在单调递增；（2）.
【详解】（Ⅰ）．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．
考点：导数的综合应用．
3．(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析
【详解】(1)．
由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．
于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．
函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)0，从而当时，f(x)取得最小值．
由f '(x0)=0得=，，
故．
综上，当m≤2时， f(x)>0．
4．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后分析导函数的单调性，结合导函数的零点求单调性即可；
（2）参变分离得到，令，再求导结合零点存在定理确定导函数的零点区间，进而根据极值点满足的关系式，代入求出最小值即可
【详解】（1）当时
设，则
即在递减，在递增，
当，当
而当所以当递减；
递增.
故函数增区间为，减区间为
（2），
令
在递增，而，
，使，即
当时，在递减，当时，在递增
因为可变形为
又在递增，
由（**）可得
故取值范围为
【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性，同时也考查了利用导数解决恒成立的问题，需要参变分离，设函数后再求导分析，根据零点存在性定理确定极值点的区间，最后将极值点满足的关系式代入原函数化简求最值.属于难题
5．(Ⅰ)函数的递减区间为,递增区间为,.
(Ⅱ)函数在上的最大值.
【详解】（1）当时,,
令,得,
当变化时,的变化如下表:
右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.
（2）,
令,得,，令，则，所以在上递增，所以,从而,
所以，所以当时,;
当时,；
所以
令，则，
令，则
在上递减，而
所以存在使得，且当时，,
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
因为，
所以在上恒成立，当且仅当时取等号，
所以，
综上，函数在上的最大值.
考点：1、导数在研究函数性质中的综合应用；2、等价转化的思想.
6．（1）见解析（2）见解析
【分析】(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2) 函数在有两个零点，即方程在区间有两解， 令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.
【详解】解：（1）证明：因为，
当时，，，
所以在区间递减；
当时，，
所以，所以在区间递增；
且，所以函数的极小值点为1
（2）函数在有两个零点，
即方程在区间有两解，
令，则
令，则，
所以在单调递增，
又，
故存在唯一的，使得， 即，
所以在单调递减，在区间单调递增，
且， 又因为，所以，
方程关于的方程在有两个零点，
由的图象可知，，
即.
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.
7．(1)答案见解析
(2)2
【分析】(1)求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母，故应按照的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间.
(2)由题设条件结合(1),将不等式成立转化为，由此将转化为求在给定区间的最值问题.
【详解】（1）函数的定义域是，，当时，，所以函数在上单调递增，
当时，时， ，当，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）
由于，所以，故当， ，等价于
令，①
则，
由(1)可知，当时，函数在上单调递增，
而，所以在存在唯一零点，
故在存在唯一零点，设此零点为，则有，
当时，，当时，，
所以在上的最小时为，又由，可得，
所以 ，由于①等价于，故整数的最大值为2.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
8．(1)单调区间递增区间为，递减区间为；
(2)2.
【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；
（2）由已知，及整理得，当时恒成立，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可得存在，使得，此时， ，从而可得结果.
【详解】（1），由已知得，故，解得，
又，得，解得，
，所以，
当时，；当时，，
所以的单调区间递增区间为，递减区间为.
（2）由已知，及整理得
，当时恒成立，
令，，
当时，，；由（1）知在上为增函数，
又，，
所以存在，使得，此时，
当时，；当时，，
所以 ，
故整数的最大值为.
【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
9．（1）；（2）.
【分析】（1）求出，再求出，利用的正负判断的单调性，从而判断的正负，从而判断的单调性，进而求得函数的最值．
（2）求出，再求出，求得函数单调性，对参数的范围分类讨论，求得函数的最值，结合函数的单调性，从而判断函数的零点个数．
【详解】解：（1）当时，

.因为时，
所以在上为减函数.（递减说明言之有理即可）
又，所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；故.
（2），，
当，且时，.
所以在上为减函数
时，，时，，故存在使得
，且有在上递增，
在递减，.
①当时由（1）知只有唯一零点
②当时，即有，
此时有2个零点
③当时，，
又有，故.
令，
，故在定义域内单调递增.
而，故，于是，所以时不存在零点.
综上：函数的零点个数为2个，的取值范围为．
【点睛】（1）主要考查了利用导数来判断函数的单调性，从而求得最值．
（2）考查了分类讨论思想，利用导数来判断函数的单调性及转化思想，计算难度大，转化次数较多，考查学生的计算能力，考查函数方程的转化思想，属于较难题．
10．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调性，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点；当，可证得；综合上述情况可证得结论.
【详解】（1）由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增
在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减
又，
即，又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时，，
即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点
【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增