第二章 模型4用参变分离法速解参数的取值范围问题模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

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【问题背景】参变分离法是求参数取值范围的一种常用方法，该方法可以避免对参数分类讨论，使问题得到简化．参变分离法广泛应用于不等式恒成立及有解问题、函数的零点问题、已知函数单调性求参数取值范围问题等一系列问题的求解中．
【解决方法】
【典例1】
（2023湖南长沙一模）
已知函数是定义在R上的奇函数，且函数在上单调递增．若对任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为______．
【套用模型】
第一步：分析题意，化简条件．
因为函数为R上的奇函数，所以，
所以，即，
因为函数在上单调递增，所以在R上单调递增，所以．
依题意，对任意，恒成立．
第二步：参变分离．
所以在时恒成立，所以．
第三步：构造函数，求出最值．
令，，
则，
令，得．
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
第四步：得出结论．
因为，所以，即实数k的取值范围为．
【典例2】
（2024广东惠州9月第一次质检）
定义在R上的函数满足，当时，．若关于x的函数在区间上有10个不同零点，则实数m的取值范围是______．
【套用模型】
第一步：分析题意，化简条件．
根据题中函数只有一处含有m，而且是加减关系，故可以参变分离。
第二步：参变分离．
关于x的函数在区间上有10个不同零点关于x的方程在区间上有10个不同的根函数的图象与直线在上有10个不同的交点．
【会转化】关于x的方程有实数根函数有零点函数的图象与直线有交点
第三步：画出函数图象．
由得，所以函数的周期为4，
根据“当时，”作出在区间上的图象，如图1所示，其中，，．
【易混淆】涉及绝对值的函数图象的翻折变换要注意翻折方式：从的图象到的图象，需要将x轴下方图象对称翻折到x轴上方，下方无图；从的图象到的图象，需要将y轴左侧图象删去，将y轴右侧图象对称翻折到y轴左侧，且右侧图象保留
图1
第四步：得出结论．
由图象可知，若函数的图象与直线在上有10个不同的交点，则实数m的取值范围为．
【典例3】
（2024山东潍坊8月月考）
已知二次函数，且不等式的解集为．
（1）求的解析式．
（2）若不等式在时有解，求实数k的取值范围．
（1）由题意知关于x的方程的两个根分别是1，3，
故即故．
（2）【套用模型】
第一步：分析题意，化简条件．
根据第一问中已求出函数，且不等式只有一处含有k，而且是相乘关系，故可以参变分离。
第二步：参变分离．
不等式在时有解，即在时有解．
因为，所以在时有解，
【敲黑板】通过配方法得出，这是分离参数的前提
所以．
第三步：利用基本不等式求最值．
设，，则，．
【灵活换元】不等号右边式子结构看似复杂，但若把看作一个整体，采用换元法，结果便一目了然了
，当且仅当，即时，不等式取等号．
第四步：得出结论．
所以，即实数k的取值范围为．
（2023·甘肃定西·统考一模）
1．已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
（2023·全国·高三专题练习）
2．已知函数，若有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（2023秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期末）
3．在关于x的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（2023秋·浙江·高三期末）
4．已知函数 ，若恒成立，则k的最小值是 ．
（2023·全国·高三专题练习）
5．已知命题：，使得为假命题，则实数的取值范围是 ．
（2023春·山西运城·高三一模）
6．已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)已知，若在上恒成立，求实数的取值范围.
（2023春·江苏南京·高三校考开学考试）
7．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2023春·北京通州·高三通州区运河中学期末）
8．已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.
(1)求的单调区间；
(2)求a，b，c的值；
(3)若函数有三个零点，求m的取值范围.
（2023·安徽安庆·统考二模）
9．已知函数，，..
(1)若曲线在点处的切线方程是，求和的值；
(2)若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围.
（2023春·天津和平·高三天津二十期末）
10．已知函数（其中是自然对数的底数）.
(1)求在上的最值；
(2)若函数没有零点，求实数的取值范围.
（2023春·河南·高三校联考期末）
11．已知函数，（且）.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.
（2023秋·北京·高三清华附中校考期末）
12．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线与直线的公共点个数，并说明理由；
(3)若对于任意，不等式恒成立，直接写出实数的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】依题意可得在上单调递增，则不等式等价于，即，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解；
【详解】解：因为对任意，当时，都有，所以在上单调递增，
则等价于，即，
令，，，
因为，所以，，所以，所以在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为；
故选：B
2．D
【分析】函数为奇函数，且在R上单调递增有解得解
【详解】解：因为的定义域为R，，所以函数为奇函数，
因为，所以函数在R上单调递增.
因为有解，即有解，
所以有解，由函数在R上单调递增，可得有解.
解法一：令，则.
①当时，，函数在R上单调递增，，符合题意；
②当时，，不符合题意；
③当时，令，得；当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此，，
解得.综上，实数的取值范围为.
解法二:若，则有解. 令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，即.
若，则有解，易知恒小于零，
所以，即.若，则，不符合题意.综上，实数的取值范围为.
解法三：若，如图，在同一平面直角坐标系内作出与的图象，
当直线与函数的图象相切时，设切点为，则切线方程为，再结合切线过原点得，故，
由有解，得函数的部分图象在直线的下方，
所以，数形结合可知.
若，易知函数的图象必有一部分在直线的下方，符合题意.
若，由函数的单调性可知，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
故选：D
3．D
【分析】对不等式进行变形，构造两个函数，利用导数，结合数形结合思想、导数进行求解即可.
【详解】，
设，原问题转化为：不等式的解集中，有且仅有两个大于2的整数，函数恒过点，，
，当时，单调递减，当时，单调递增，故，两个函数的图象在同一直角坐标系内如下图所示：
要想不等式的解集中，有且仅有两个大于2的整数，只需满足：
，
故选：D
【点睛】方法点睛：对于不等式有整数解问题，往往构造函数，利用数形结合思想、导数的性质进行求解.
4．1
【分析】根据分段函数解析式，分段讨论不等式恒成立，当时，采用数形结合方法可求得k的范围，当时，分离参数，利用导数求函数的最值，综合可得k的最小值.
【详解】由题意可知，当时，恒成立，即恒成立，
作出函数的图象如图示，
，即在原点处的切线斜率为1，
由图象可知，当时，即有时，恒成立，
故当时，恒成立，则；
当时，恒成立，即恒成立，
设，所以在内恒成立，
即在上单调递减，所以，则，
综上所述，k的最小值为1，
故答案为：1
5．
【分析】构造函数，若命题为真命题，则，利用导数可求得，得到的范围，取补集即可得到命题为假命题时的范围.
【详解】令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
若命题为真命题，则，即，
若命题为假命题，则，即的取值范围为.
故答案为：.
6．(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；
（2）分离参数得出在上恒成立，利用导数得出的最大值，进而得出实数的取值范围.
【详解】（1）若时，，，
，故有，
所以在处的切线方程为，即.
（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，所以，
所以的取值范围为.
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）求导，分，两种情况讨论函数的单调区间和极值即可；（2）问题转化为，对于恒成立，构造函数，得，判断单调性，求得，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
所以，
当时，
因为，
所以，
所以的单调增区间是，无单调减区间，无极值，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以的单调减区间是，单调增区间是，
极小值为，无极大值.
（2）因为对于任意，都有成立，
所以，
即问题转化为，对于恒成立，
即，对于恒成立，
令，
所以，
令，
所以，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以，
所以在区间上单调递增，
所以函数，
要使，对于恒成立，只要，
所以，即，
所以实数的取值范围为；
8．(1)单调递减区间是；单调递增是和.
(2)
(3)
【分析】(1)通过导函数的图象与原函数单调性的联系可得结果；
(2)由导函数零点与原函数极值点可建立方程组，从而解得a，b，c的值；
(3)由图象可知函数的单调性及极值，函数有三个零点等价于与有三个交点，继而可得m的取值范围.
【详解】（1）根据图象可知时，，即单调递减；
和时，，即 单调递增；
故答案为：单调递减区间是；单调递增是和.
（2）由已知可得：和是的两个根，
由（1）可得的极大值在处取得，故
解得：
故答案为：
（3）由（2）知，的极小值为：
结合的单调性可作其草图，如下所示
函数有三个零点等价于与有三个交点，所以.
故答案为：
9．(1)，
(2)
【分析】（1）由及求得和的值；
（2）恰有两个零点转化为有两根，用导数研究的图象，由与有两个交点得的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程是，
所以即
解得
（2）由得，.显然
因此.
令且，则，
解方程得，，
因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为.的大致图象如下：
由图象可知,当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.
故的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数零点问题主要有两种方法:
（1）利用导数研究函数的最(极)值，转化为函数图象与轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题;
(2)分离参变量，即由分离参变量，得，研究与图象交点问题。
10．(1)最小值为，最大值为.
(2)
【分析】（1）利用导数直接求解函数最值即可；
（2）由题知方程没有实数根，进而构造函数，研究其值域得，进而转化为解即可得答案.
【详解】（1）解：，
所以，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，，，，
所以，函数在上的最小值为，最大值为.
（2）解：因为函数没有零点，
所以方程无实数根，即方程没有实数根，
令，则，
所以，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，函数在处取得最大值
因为当时，当时，
所以，函数的值域为，
所以，当方程没有实数根，，即，
所以，实数的取值范围为.
11．(1)增区间为，减区间为
(2)
【分析】（1）直接对函数进行求导，根据导数与0的关系即可得结果；
（2）将已知转化为在有两个不等实根，变形可得，令，利用的单调性及其图象即可得结果.
【详解】（1）当时，，
当时，，当时；
故的单调递增区间为，递减区间为.
（2）由题意知在有两个不等实根，
，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
又，，，，，，
作出的图象如图所示：
由图可知，解得且，
即a的取值范围为.
12．(1)
(2)曲线与直线的公共点只有一个，证明见解析
(3)实数的取值范围是
【分析】（1）根据导数的几何意义，求切点坐标与切线斜率即可得曲线在点处的切线方程；
（2）构造函数，，确定函数的单调性与取值情况，从而可得的根的个数，即可得曲线与直线的公共点个数；
（3）直线定点作曲线的切线，设切点为，通过导数的几何意义结合函数单调性与取值情况无法解出,则直线不与曲线相切，结合曲线的图象分析直线与其交点情况即可求得实数的取值范围．
【详解】（1）解：函数的定义域是，所以，
则，，
切线方程是：，
故切线方程为：；
（2）解：曲线与直线的公共点只有一个，理由如下：
设，，则
令，则恒成立，所以在上单调递减，
又，所以，，函数单调递增，，，函数单调递减；
则，故，有且只有一个根，即有且只有一个根，
故曲线与直线的公共点只有一个.
（3）解：若对于任意，不等式恒成立，则
又直线过定点，
则过点作曲线的切线，设切点为，则斜率，
则切线方程为，将代入得：，
设，，则，得，
所以当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，所以关于的方程无解，
则说明过点的切线不存在，则直线不与曲线相切，
又函数的定义域是，所以，得，
所以当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，又时，，且，则可得的大致图象如下：
根据上述结论结合函数图象可知当时，直线与曲线无交点，当时，直线与曲线总有交点，
从而要使对于任意，不等式恒成立，实数的取值范围是.