第二章 模型3用同构思想速解指、对型比大小问题模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

这是一份第二章 模型3用同构思想速解指、对型比大小问题模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳，共24页。

【问题背景】指、对型比大小问题是高考常考题型，大多以选择题的形式出现，其解题方法灵活多变，有作差法、作商法、不等式性质法、特值法、中间值法、图象法、构造函数法等．其中，构造函数法既可以考查函数的图象和性质，又可以考查“同构”这一重要思想，故该方法成为近几年高考比大小问题中的考查热点，难度较大．在利用同构思想解指、对型比大小问题时，需要先将式子通过变形化为同一结构形式，从而构造函数，或将式子化为含有相同数的式子，作差后构造函数，再利用该函数的图象和性质进行比大小．
【解决方法】
【典例1】（2024江苏扬州中学8月开学考试）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【套用模型】
第一步：观察式子，化为相同结构．
对已知不等式变形可得：．
【会转化】观察不等式，发现要想将左、右两边化为相同的形式，需要将右边变形，根据对数的运算性质，可得
第二步：构造函数，判断单调性．
令，．
易知函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数．
第三步：利用函数的单调性比大小．
即，根据函数在上为增函数，可得，则．
【易错提醒】根据对数的真数部分大于0，可知a与2b均大于0，处在同一单调递增区间内
第四步：得出结论．
因为，所以，则，A错，B对．
无法确定与1的大小，故无法确定与0的大小，CD都错．故选B．
【典例2】（2024湖南长沙一中9月开学考试），，，则（ ）
A． B． C． D．
【套用模型】
第一步：观察式子，化为含有相同数的式子．
，，．
第二步：构造函数，判断单调性．
设，则，
【作差法】因为与中均含有相同数字，作差得，构造函数，利用函数的单调性比较大小
当时，，当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
第三步：利用单调性比大小．
因为函数在上单调递增，
所以，所以，，即．
根据第二步与第三步同理可得b与c，a与c的大小关系，步骤如下：
设，则，
当时，，当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，故，即．
令，，则，易知，
【会分析】通过函数图象或构造函数，易证，，所以，所以，即
所以在上单调递减，
所以，所以，故，即．
第四步：得出结论．
综上，，，，所以．故选B．
【典例3】（2024江苏盐城一模）已知偶函数在上单调递增，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【套用模型】
第一步：观察式子，化为相同结构．
，．
【转化技巧】这里之所以将转化为，是因为构造函数后，发现自变量不在同一单调区间，需将其转化到同一单调区间内
第二步：构造函数，判断单调性．
设，则．
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
第三步：利用单调性比大小．
因为在上单调递减，且，
所以，即，故．
第四步：得出结论．
因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减．
【记重点】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反
，因为，
所以，即．故选C．
【典例4】（2024江苏宿迁8月开学统考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【套用模型】
第一步：观察式子，化为含有相同数的式子．
，，，所以，．
，．
【转化技巧】对b和c同时取对数，加负号，将其转化为含有相同数的两个式子
第二步：构造函数，判断单调性．
令，其中，则．
当时，，当时，．
【扫清障碍】，或（结合定义域舍去）
所以在上单调递增，在上单调递减．
第三步：利用单调性比大小．
因为在上单调递减，且，所以，所以，即，．
第四步：得出结论．
又函数在上单调递增，所以．故．故选D．
（22-23高三下·浙江台州·期末）
1．已知是定义在的增函数，设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
（2023·河北·模拟预测）
2．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
（22-23高三下·四川成都·期中）
3．已知是定义在的减函数.设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
（23-24高三上·浙江·期中）
4．若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
（22-23高三上·全国·阶段练习）
5．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
（22-23高三下·湖北荆州·开学考试）
6．已知．且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
（2023·四川·模拟预测）
7．已知函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则（ ）
A．B．
C．D．
（2023·福建漳州·模拟预测）
8．正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
（2024高三·全国·专题练习）
9．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
（22-23高三下·福建莆田·期末）
10．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
（2023·浙江·模拟预测）
11．已知，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
（23-24高三上·四川成都·开学考试）
12．设，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
（23-24高三上·四川成都·期中）
13．已知函数的导函数是，的图象关于点对称，对任意实数都有，且在上单调递增，设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
（23-24高三上·四川成都·期中）
14．已知偶函数对任意实数都有，且在上单调递增，设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
（22-23高三上·江苏扬州·期末）
15．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
（2022·全国·高考真题）
16．设，则（ ）
A．B．C．D．
参考答案：
1．C
【分析】构造函数和，利用导数求得函数的单调性，得到，再结合函数的单调性，即可求解.
【详解】令，可得，
当时，，单调递增，
又由，所以，即，所以；
令，可得，
当时，，单调递增，
又由，所以，即，所以，
所以，
因为是定义在的增函数，所以，即.
故选：C.
2．B
【分析】根据所给数的结构特征，设函数，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大小，可得答案.
【详解】设函数，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，
又，，，
因为，故，即，
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.
3．B
【分析】构造研究其在的单调性可得，再由指数函数的性质有，结合的单调性即可得答案.
【详解】令且，则，
所以上，即递减，故，
则，又，即，
由在的减函数，则.
故选：B
4．ABC
【分析】将条件转化为，在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，判断他们与有交点时横坐标的大小情况.
【详解】实数，，满足，
∴，，
如图在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，再作直线，
变换的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故、、正确，错误．
故选：．
5．B
【分析】把不等式进行变形，引入函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系得结论．
【详解】由已知，，则．
设，则．
因为，则．又，则，即，从而．
当时，，则在内单调递增，
所以，即，
故选：B．
6．B
【分析】构造函数和，利用导数分别判断其单调性，由即可得，最后可得.
【详解】令，则，即在上单调递减，
∴，即，
设，则，
即在上单调递增，
又∵，∴.
故选：.
7．C
【分析】构造函数，求导得函数的单调性，进而可判断，结合的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意知，，
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
又，所以，即，
又为奇函数且在上单调递减，所以在上单调递减，
所以，即.
故选：C.
8．A
【分析】由，得，而与的图象在只有一个交点，从而可得在只有一个根，令，然后利用零点存在性定理可求得，同理可求出的范围，从而可比较出的大小
【详解】，即，即，与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，
，，，则；
，即，即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，故；
，即，
即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，则；
故选：A.
9．C
【分析】设， ，利用导数分别求出函数的最大最小值，从而比较大小.
【详解】设，则，
当，，为增函数，
当，，为减函数；
又，所以恒成立，
所以，则，所以．
设，则，
当，，为减函数，
当，，为增函数；
又，所以恒成立，
所以，则．所以．
所以．
故选：C．
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1）；（2）.
10．D
【分析】由于，，，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用函数单调性可比较大小，
【详解】，，，
令，则，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，所以，
所以，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此考查比较大小，解题的关键是对变形，使形式相同，然后构造函数，判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
11．B
【分析】变形给定的等式，构造函数，利用导数探讨单调性，借助单调性比较大小作答.
【详解】由，得，
由，得，
由，得，
令函数，显然，求导得，
当时，，单调递减，当时，单调递增，
于是，即有，而，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
12．D
【分析】构造，，求导得到函数单调性，从而得到，故，再构造，，求导得到函数单调性，从而得到，得到，得到答案.
【详解】设，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
又，故，即，
故，
令，，
则在恒成立，
故在上单调递增，
又，故，即，
故，
综上：.
故选：D
13．D
【分析】根据已知条件可得是偶函数，图象关于直线对称，周期为2，在上的单调性，，，构造函数，利用导数判断出的单调性可得答案.
【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
是奇函数，是偶函数，关于直线对称，
所以的周期为2，因为在上单调递增，所以在上单调递减，
在上单调递增，
令，则，
当时，，单调递减，
且，所以，
即，可得，，
设，则，
设函数，，，
所以在上是减函数，
，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用函数的单调性比较大小.
14．D
【分析】先根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期，进而可求出函数的单调区间，构造函数，求出的范围，构造函数，，利用导数可求出的大小，再结合函数的对称性及单调性即可得出答案.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
又，所以，即，
所以函数是以为周期的一个周期函数，
又因为在上单调递增，
是以函数在上单调递增，
因为，所以函数关于对称，
所以函数在上单调递减，
令，
则，
所以函数在上单调递减，
所以，所以，
故，
又，
因为，
，
令，，则，
所以函数在上是减函数，
，，
，
所以
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数，和，，是解决本题的关键.
15．C
【分析】构造，求导根据单调性得出，即，所以，即，所以；构造，求导根据单调性得出，即.
【详解】令，，
则，
当时，，∴在区间上单调递增，
∴，即，
又∵在上单调递增，∴，即，∴，即；
令，，
则，
当时，，∴在区间上单调递增，
∴，即，∴，
综上所述，，，的大小关系为.
故选：C.
【点睛】本题考查构造函数比较大小问题，解题关键是能够根据，，的形式，构造适当的函数模型，利用导数确定函数的单调性，根据单调性，比较特殊函数值之间的大小.
16．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故